廣東省廣州市2023屆高三上學(xué)期8月階段測試數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市2023屆高三上學(xué)期8月階段測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若全集，，，則（）A． B． C． D．2．若，，且，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．43．記“方程表示橢圓”，“函數(shù)無極值”，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．如右圖，2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳中心（水立方）的設(shè)計(jì)靈感來于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形），已知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長為1，則該多面體的表面積是（）A． B． C． D．5．4名同學(xué)各擲了5次骰子，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．若下列是根據(jù)4名同學(xué)各自的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)字特征，則可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．中位數(shù)為3，方差為2.8 D．平均數(shù)為2，方差為2.46．的展開式中的系數(shù)是（）A．45 B．84 C．120 D．2107．若空間中經(jīng)過定點(diǎn)O的三個(gè)平面，，兩兩垂直，過另一定點(diǎn)A作直線l與這三個(gè)平面的夾角都相等，過定點(diǎn)A作平面和這三個(gè)平面所夾的銳二面角都相等．記所作直線l的條數(shù)為m，所作平面的個(gè)數(shù)為n，則（）A．4 B．8 C．12 D．168．設(shè)，，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家韋塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為z對應(yīng)的點(diǎn)z到原點(diǎn)O的距離．下列說法正確的有（）A．若，則或B．復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量與，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為C．若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為10．若，則下列說法正確的有（）A．的最小正周期是 B．方程是的一條對稱軸C．的值域?yàn)镈．，，對都滿足，（a，b是實(shí)常數(shù)）11．已知拋物線上的四點(diǎn)，B，C，P，直線AB，AC是圓的兩條切線，直線PQ、PR與圓M分別切于點(diǎn)Q、R，則下列說法正確的有（）A．當(dāng)劣弧QR的弧長最短時(shí)， B．當(dāng)劣弧QR的弧長最短時(shí)，C．直線BC的方程為 D．直線BC的方程為12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，對任意的，，恒有，則下列說法正確的有（）A． B．必有奇函數(shù) C． D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，滿足，，則______．14．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)______．15．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______．16．折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙．課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是______cm．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，…．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）若，求m的值；（2）求的值．18．（12分）某校所在省市高考采用新高考模式，學(xué)生按“”模式選科參加高考：“3”為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考科目；“1”由考生在物理、歷史2門中選考1門科目；“2”由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門中選考2門科目．（1）為摸清該校本屆考生的選科意愿，從本屆750位學(xué)生中隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位學(xué)生，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)分布：選物理方向選歷史方向合計(jì)男生3040女生合計(jì)50100請?jiān)诖痤}卡的本題表格中填好上表中余下的5個(gè)空，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該?！皩W(xué)生選科的方向”與“學(xué)生的性別”有關(guān)；（2）記已選物理方向的甲、乙兩同學(xué)在“4選2”的選科中所選的相同的選科門數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求證：；（2）求的最小值．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让妫?）求證：；（2）若直線AC與平面所成的角為，二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明．21．（12分）設(shè)．（1）求在上的極值；（2）若對，，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM、AN分別交雙曲線于M、N兩點(diǎn)．設(shè)線段AM、AN的中點(diǎn)分別為B、C，直線OB、OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)A作（D為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．廣州市2023屆高三年級階段測試數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案CDBADCBB二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9．BCD 10．BC 11．BD 12．BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14． 15． 16．四、解答題：本題共6小題，共70分．17．（10分）（1）解：因?yàn)?，所以?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，排列后為1，3，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17．（2）因?yàn)?，，，所以?shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，所以．18．（12分）（1）解：選物理方向選歷史方向合計(jì)男生301040女生204060合計(jì)5050100由于，故而有99.9%的把握認(rèn)為該?！皩W(xué)生選科的方向”與“學(xué)生的性別”有關(guān)（2）解：可能取值為0，1，2，；；（或） ；分布列如下表：012所以19．（12分）（1）解：在中，由已知及余弦定理，得，即．由正弦定理，得，又，故．∵，∴．∵，∴，．（2）解：由（1）得，∴，．由（1），得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．20．（12分）（1）證明：作于D，連接CD，由平面平面，平面平面，得平面．又平面，所以．因?yàn)槿庵侵比庵?，則平面ABC．所以．又，所以平面，又平面，所以．（2）解1：由（1）知是直線AC與平面所成的角，是二面角的平面角，即，．在中，，在中，，由于，得，又，，所以．解2：由（1）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC，BA，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，，，，于是，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得可取，于是，與的夾角為銳角，則與互為余角．，，所以．于是由，得．即，又，，所以．21．（12分）（1）解：由，得的單調(diào)減區(qū)間是， 同理，的單調(diào)增區(qū)間是故的極小值為，極大值為【注：若只用得出結(jié)果至多給3分】（2）解：由對稱性，不妨設(shè)，則即為．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立．【方法一】（含參討論）設(shè)，則，，解得．，，．①當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；此時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，符合條件．②當(dāng)時(shí)，同①當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；∵，，∴由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知，，．于是，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．∵，，∴，符合條件．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法二】（必要性探路法）設(shè)，則，，解得．由于時(shí)，故只需證：．設(shè)，，則，，，．設(shè)，，則，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；∵，，∴，．由單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．∵，，∴．，，得證．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法三】（參變分離）由對稱性，不妨設(shè)，則即為．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立．∵，∴在上恒成立，得，．設(shè)，，則，．設(shè)，，則，．由，，得，在，上單調(diào)遞增；由，，得，在，上單調(diào)遞減．故時(shí)；時(shí)．從而，，，又時(shí)，，故，，，單調(diào)遞減，，．于是，．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．（12分）解：（1）設(shè)、，線段AM、AN的中點(diǎn)分別為、，由已知，得；，兩式相減，得，即①根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率公式，得，，，．代入①，得② 同理，得③，②③相乘，得．∵，，∴④