山東省臨沂市河?xùn)|區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023級(jí)普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷的指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為，即可得出答案.【詳解】∵，∴，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.3.如圖，平行四邊形中，是的中點(diǎn)，在線段上，且，記，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取，作為基底，把用基底表示出來(lái)，利用向量的減法即可表示出.【詳解】取，作為基底，因?yàn)槭茿D中點(diǎn)，則.因?yàn)?，所以，所?故選：D.4.將正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再將所得圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期變換和平移變換的原理即可得解.【詳解】把的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，可得的函數(shù)圖象，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，所以.故選：B.5.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的2倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)臺(tái)體的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為，可知較大的底面半徑為，則，解得，所以圓臺(tái)較小底面的半徑為4.故選：C.6.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔的南偏西，距燈塔64海里的處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向處，則該船航行的速度為（）A.海里/小時(shí) B.海里/小時(shí) C.海里/小時(shí) D.海里/小時(shí)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用正弦定理求得，進(jìn)而可得該船航行的速度.【詳解】如圖所示，在中，由題意可知：海里，由正弦定理可得（海里），且該船航行時(shí)間為4小時(shí)，所以該船航行的速度為海里/小時(shí).故選：A.7.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過(guò)作下底面投影，垂足為，上底面對(duì)角線長(zhǎng)，下底面對(duì)角線長(zhǎng)，則，可得正四棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：C8.在中，，，，點(diǎn)分別在邊上，且滿足，，若相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為平面向量一組基底，將與用基底表示，求得其模與數(shù)量積，利用向量夾角公式即可求得結(jié)論.【詳解】由，，可得，，所以，所以，又，所以，，，，則，則.故選；C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，是與同向的單位向量，則（）A. B.與可以作為一組基底C. D.向量在向量上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及投影向量的意義，逐項(xiàng)計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，不共線，可以作為一組基底，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，向量在向量上的投影向量，D正確.故選：BCD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B.若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C.若是關(guān)于的方程的根，則也是該方程的根D.復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘方可判斷B選項(xiàng)；分析可知為方程的兩根，利用韋達(dá)定理可求出、的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，所以為實(shí)數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)（互為共軛復(fù)數(shù)），所以為方程兩根，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的幾何意義，可知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，因?yàn)楸硎緢A周上的點(diǎn)到圓外點(diǎn)0,1的距離，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，正八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，若正方形的邊長(zhǎng)為，則（）A.正八面體的表面積為B.正八面體的體積為C.正八面體的外接球的表面積為D.正八面體的內(nèi)切球的體積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)正八面體結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：設(shè)，可得，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；對(duì)于C：分析可知為正八面體的外接球的球心，且半徑，進(jìn)而可得表面積；對(duì)于D：分析可知為正八面體的內(nèi)切球的球心，內(nèi)切球的半徑即為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求半徑，即可得體積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：正八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以其表面積為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，則為的中點(diǎn)，且平面，可知，可得，所以正八面體的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知：，即為正八面體的外接球的球心，且半徑，所以正八面體的外接球的的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)對(duì)稱性可知：為正八面體的內(nèi)切球的球心，則內(nèi)切球的半徑即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)?，即，解得，所以正八面體的內(nèi)切球的體積為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直觀圖得到平面圖形，利用勾股定理求出，即可得解；【詳解】解：由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，所以，所以在直角三角形中，斜邊邊上的中線為；故答案為：13.已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫作把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)，若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合特殊角的正余弦值、向量的坐標(biāo)表示公式和向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】由點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)，得點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)，設(shè)，則有，由點(diǎn)，點(diǎn)，得，因此，且，解得，即，而，則，所以.故答案為：14.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約）獨(dú)立推出了“三斜求積”公式，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”把以上這段文字寫(xiě)成從三條邊長(zhǎng)求三角形面積的公式，就是．現(xiàn)有滿足，且的面積是，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意可設(shè)，結(jié)合題中公式可求得，即可得周長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，設(shè)，則，可得的面積是，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求得，再結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，則，若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，若，則，解得，可得，，則，且，所以向量與的夾角.16.用一個(gè)過(guò)圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形．如圖，圓錐底面圓的半徑是4，軸截面的面積是12．（1）求圓錐的母線長(zhǎng)；（2）過(guò)圓錐的兩條母線，作一個(gè)截面，求截面面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積關(guān)系可得，進(jìn)而可得母線長(zhǎng)；（2）取的中點(diǎn)，由題意可得，利用基本不等式求面積最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檩S截面的面積為，解得，所以圓錐的母線長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以截面面積的最大值.17.（1）已知都是銳角，，，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正切公式，兩角和的正切公式求解即可；（2）將兩邊同時(shí)平方，再相加即可得解；【詳解】（1）因?yàn)槭卿J角，，所以，所以，則，所以.（2）因?yàn)?，，所以，，上述兩式相加得，即，解?18.已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為6，（1）求常數(shù)的值；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使成立的的取值集合．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解；（2）由（1）可知：，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；（3）分析可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，即，解得.小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】由（1）可知：，令，可得，則，解得，所以的解集為.19.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）若，，為邊上的中點(diǎn)，求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值