課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題八立體幾何2空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系試題理

PAGEPAGE10空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,了解有關(guān)可以作為推理依據(jù)的公理和定理.②能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明空間圖形的位置關(guān)系2024浙江,2,5分點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系線面平行、垂直的性質(zhì)★★☆2024福建,7,5分線、面的位置關(guān)系充分條件、必要條件2.異面直線所成的角會求異面直線所成的角2024課標(biāo)Ⅱ,9,5分異面直線所成的角余弦定理、空間向量★★★2024課標(biāo)Ⅱ,10,5分異面直線所成的角余弦定理、空間向量2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分異面直線所成的角面面平行的性質(zhì)2024課標(biāo)Ⅱ,11,5分異面直線所成的角余弦定理、空間向量分析解讀1.會用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面問題;會用反證法證明有關(guān)異面或共面問題.2.會判定和證明兩條直線異面;會應(yīng)用三線平行公理和等角定理及推論解決有關(guān)問題,會求兩條異面直線所成的角;了解兩條異面直線間的距離.3.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查常以棱柱、棱錐為依托,求異面直線所成的角,分值約為5分,屬中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2024四川瀘州模擬,6)設(shè)a,b是空間中不同的直線,α,β是不同的平面,則下列說法正確的是()A.a∥b,b?α,則a∥αB.a?α,b?β,α∥β,則a∥bC.a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α∥βD.α∥β,a?α,則a∥β答案D2.(2024江西期中,4)如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過()A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D3.(2024河北邯鄲調(diào)研,5)如圖,在三棱錐S-ABC中,G1,G2分別是△SAB和△SAC的重心,則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是()A.相交B.平行C.異面D.以上都有可能答案B考點(diǎn)二異面直線所成的角1.(2024河北唐山3月模擬,10)已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),若MN=BC=4,PA=43,則異面直線PA與MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A2.(2024廣東東莞模擬,6)在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60°,E為PC的中點(diǎn),則異面直線PA與BE所成角為()A.90°B.60°C.45°D.30°答案C煉技法【方法集訓(xùn)】方法1點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用1.(2024四川瀘州模擬,4)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A.4B.5C.6D.7答案C2.(2024河北邢臺二模,5)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.給出下列四個命題:①若m∥n,m⊥β,則n⊥β;②若m∥n,m∥β,則n∥β;③若m∥α,m∥β,則α∥β;④若n⊥α,n⊥β,則α⊥β.其中真命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2024安徽皖南八校聯(lián)考,15)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1,點(diǎn)M在線段BC上(點(diǎn)M異于點(diǎn)B,C),點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn),若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形,則線段BM長的取值范圍為.

答案0方法2異面直線所成角的求法1.(2024河北、山西、河南三省4月聯(lián)考,10)在三棱錐P-ABC中,△ABC和△PBC均為等邊三角形,且二面角P-BC-A的大小為120°,則異面直線PB和AC所成角的余弦值為()A.58B.34C.7答案A2.(2024上海普陀一模,18)如圖所示的圓錐的體積為33π,底面直徑AB=2,點(diǎn)C是AB(1)求該圓錐的側(cè)面積;(2)求異面直線PB與CD所成角的大小.解析(1)∵圓錐的體積為33∴13π×12×PO=3解得PO=3,∴PA=(3∴該圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×1×2=2π.(2)連接OC.∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),O為底面圓心,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O(shè)為原點(diǎn),OC所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),P(0,0,3),D0,-12,32,B(0,1,0),C(1,0,0),PB=(0,1,-設(shè)異面直線PB與CD所成角為θ,則cosθ=|PB·CD||∴θ=π4∴異面直線PB與CD所成角為π4過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2024課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.32B.155C.10答案C2.(2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32B.22C.3答案A3.(2024課標(biāo)Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.110B.25C.30答案C4.(2024課標(biāo)Ⅲ,16,5分)a,b為空間中兩條相互垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;③直線AB與a所成角的最小值為45°;④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是.(填寫全部正確結(jié)論的編號)

答案②③B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2024廣東,8,5分)若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案B2.(2024福建,7,5分)若l,m是兩條不同的直線,m垂直于平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B3.(2024廣東,7,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論肯定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D考點(diǎn)二異面直線所成的角(2024四川,14,5分)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面相互垂直,動點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為.

答案2C組老師專用題組1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿意l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l答案D2.(2024廣東,18,14分)如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.解析(1)證明:因?yàn)镻D=PC,點(diǎn)E為DC的中點(diǎn),所以PE⊥DC.又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,交線為DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)由(1)可知,PE⊥AD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長方形,所以AD⊥DC.又因?yàn)镻E∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD?平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定義,可知∠PDC為二面角P-AD-C的一個平面角.在Rt△PDE中,PE=PD2-所以tan∠PDC=PEDE=7從而二面角P-AD-C的正切值為73(3)連接AC.因?yàn)镕BAB=BGBC=所以FG∥AC.易求得AC=35,PA=PD所以直線PA與直線FG所成角等于直線PA與直線AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC=PA2+A所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為95【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(2025屆廣東汕頭第三次聯(lián)考,4)下列命題中,錯誤命題的個數(shù)為()(1)直線a與平面α不平行,則直線a與平面α內(nèi)的全部直線都不平行;(2)直線a與平面α不垂直,則直線a與平面α內(nèi)的全部直線都不垂直;(3)異面直線a、b不垂直,則過直線a的任何平面與直線b都不垂直;(4)若直線a和b共面,直線b和c共面,則直線a和c共面.A.1B.2C.3D.4答案C2.(2025屆黑龍江哈爾濱師范高校附中期中,6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,則直線A1B與AC1所成角的大小為()A.30°B.60°C.90°D.120°答案B3.(2025屆遼寧沈陽東北育才學(xué)校模擬,8)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是()A.CC1與B1E是異面直線B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1為異面直線且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案C4.(2025屆廣東肇慶第一次統(tǒng)測,9)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長度均相等,D為AA1的中點(diǎn),M,N分別是線段BB1和線段CC1上的動點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿意BM=C1N,當(dāng)M,N運(yùn)動時,下列結(jié)論中不正確···A.在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱錐A1-DMN的體積為定值D.△DMN可能為直角三角形答案D5.(2024廣東惠州三調(diào),11)如圖是一個幾何體的平面綻開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面4個結(jié)論:①直線BE與直線CF異面;②直線BE與直線AF異面;③直線EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案B6.(2024四川成都二診,5)已知m,n是空間中兩條不同的直線,α,β為空間中兩個相互垂直的平面,則下列命題正確的是()A.若m?α,則m⊥βB.若m?α,n?β,則m⊥nC.若m?α,m⊥β,則m∥αD.若α∩β=m,n⊥m,則n⊥α答案C7.(2024山東泰安二模,9)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,下列命題正確的是()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βC.若m∥α,m∥β,則α∥βD.若m⊥α,n⊥α,則m∥n答案D8.(2024四川瀘州模擬,7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),F為B1C1的中點(diǎn),則異面直線AF與C1E所成角的正切值為()A.52B.23C.2答案C9.(2024河南百校聯(lián)盟聯(lián)考,11)如圖所示,在四棱錐A-BCDE中,三角形ACD與三角形ADE均為正三角形,三角形ACE為直角三角形,四邊形BCDE為平行四邊形,M,N分別為AB,D