江西省贛州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué)含解析

贛州市2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C.或 D.2.已知命題，則為（）A. B.C. D.3.正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的增區(qū)間是B.函數(shù)的減區(qū)間是C.是函數(shù)的極大值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)5.“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論中，根據(jù)不同的需要，設(shè)置不同激活神經(jīng)單元的函數(shù)，其中函數(shù)是比較常用的一種，其解析式為.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.有解 B.奇函數(shù)C.不是周期函數(shù) D.是單調(diào)遞增函數(shù)7.已如是函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為（）A B.4 C. D.8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.使得成立的最小自然數(shù)是20C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)項(xiàng)得0分.9.已知，且，都不為0，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10.已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為1 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最小值為11.記方程的實(shí)數(shù)解為（是無(wú)理數(shù)），被稱為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)的結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.函數(shù)最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，則__________.13.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.14.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________個(gè).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線恰好與直線平行.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.16.已知等差數(shù)列的公差成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和公式為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.已知函數(shù)為二次函數(shù)，有，__________，從下列條件中選取一個(gè)，補(bǔ)全到題目中，①，②函數(shù)為偶函數(shù)，③（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)，記，其中為常數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，①求取值范圍；②求證：.19.若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，4，3：第二次得到數(shù)列：依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和記為，如.（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）證明：.贛州市2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，又所?故選：A.2.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】全稱量詞命題的否定，首先把全稱量詞改成存在量詞，然后把后面結(jié)論改否定即可.【詳解】因?yàn)槊}是全稱量詞命題，則命題為存在量詞命題，由全稱量詞命題的否定得，命題：.故選：D.3.正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出即可得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，解得，所以，故選：B4.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的增區(qū)間是B.函數(shù)的減區(qū)間是C.是函數(shù)的極大值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】根據(jù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此函數(shù)在時(shí)取得極小值，在取得極大值.故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C5.“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：要滿足函數(shù)在單調(diào)遞增，需要，因?yàn)?，所以“”是“函?shù)在單調(diào)遞增”的必要不充分條件．故選：B．6.在人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論中，根據(jù)不同的需要，設(shè)置不同激活神經(jīng)單元的函數(shù)，其中函數(shù)是比較常用的一種，其解析式為.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.有解 B.是奇函數(shù)C.不是周期函數(shù) D.是單調(diào)遞增函數(shù)【答案】A【解析】【分析】考慮函數(shù)的值域可判斷A，根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義判斷B，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析可判斷D，由D結(jié)合周期定義判斷C.【詳解】由，因，則，可得，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，故B正確；，因是增函數(shù)，是增函數(shù)且恒為正數(shù)，則是減函數(shù)，故是增函數(shù)，故D正確；由D可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故C正確.故選：A7.已如是函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函數(shù)斜率為的切線，然后切線與直線的距離即為所求.【詳解】因?yàn)?，（），所以，由，得，又，所以過(guò)點(diǎn)的切線為：即.直線與的距離為：即為所求.故選：C8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.使得成立的最小自然數(shù)是20C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列單調(diào)遞減且，由通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可判斷A，由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)為遞減數(shù)列即可判斷C，由的關(guān)系及的符號(hào)可判斷D.【詳解】由公差為可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列且，對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所以由一次函?shù)單調(diào)性知為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，故C正確；對(duì)D，由B知，且，所以，因?yàn)?，，若，則，且，即，即，而，，顯然矛盾，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)項(xiàng)得0分.9.已知，且，都不為0，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性，判斷選項(xiàng)中的不等式是否成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，得，B選項(xiàng)正確；，，得，C選項(xiàng)正確；函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為1 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)均值不等式分別建立不等式解不等式可判斷AB，先變形為關(guān)于的二次函數(shù)求最值判斷C，利用條件變形可得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子由均值不等式判斷D.【詳解】由正數(shù)滿足，可得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；由正數(shù)滿足，可得，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；，由A知，由二次函數(shù)的單調(diào)性知，即時(shí)，的最小值為8，故C錯(cuò)誤；由可得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD11.記方程的實(shí)數(shù)解為（是無(wú)理數(shù)），被稱為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)的結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.函數(shù)的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷B選項(xiàng)，對(duì)于A：對(duì)，，取對(duì)數(shù)整理即可；對(duì)于C：根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性判斷；對(duì)于D：結(jié)合不等式分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【詳解】構(gòu)建，則為的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若，則，可知內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，即，兩邊取?duì)數(shù)可得：，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由上可知，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)稱軸為，而，故單調(diào)遞增，當(dāng)，最小值為，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類問(wèn)題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得出，再由解析式得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為：213.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】先按通項(xiàng)進(jìn)行分組求和，再由分式數(shù)列用裂項(xiàng)法求和，而數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以按每4個(gè)數(shù)一組求和即可.【詳解】由得：，故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________個(gè).【答案】【解析】【分析】由題意可得函數(shù)為周期函數(shù)，再由一個(gè)周期內(nèi)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)小于1，一個(gè)大于2，即可得出在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由可得，所以周期，當(dāng)時(shí)，，令，解得，即一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋栽谏系牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線恰好與直線平行.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為4；最小值為：【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，得到關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，又得到關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式，可求的值.（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最大、最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以.又因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線恰好與直線平行，所以，由得：，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，由，由或.所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，所以在上的最大值為4，最小值為.16.已知等差數(shù)列的公差成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和公式為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】由題意：，，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以或，又，所以，所以.所以.對(duì)數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比得等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以：，，兩式相減得：，所以.17.已知函數(shù)為二次函數(shù)，有，__________，從下列條件中選取一個(gè)，補(bǔ)全到題目中，①，②函數(shù)為偶函數(shù)，③（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.（2）分別求函數(shù)的值域，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系求參數(shù).【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題意：，兩式相減的：若選①，則：拋物線的對(duì)稱軸為：，即.所以，所以；若選②，則：拋物線的對(duì)稱軸為：，同上；若選③，則：，由，得：，所以.綜上：【小問(wèn)2詳解】對(duì)：當(dāng)時(shí)，由；由；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立.觀察可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，由.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：18.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，記，其中為常數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，①求的取值范圍；②求證：.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，分類討論，利用，解不等式即可得解；（2）①先分析不合題意，再求出時(shí)函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件，再此條件下分析即可得解；②對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只需證，換元后利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，得出函數(shù)最值，即可得證.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，，，當(dāng)時(shí)，g′(x)>0恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，解得，令，則，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，時(shí)，最多一個(gè)根，不符合題意，故，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件是g12a=解得，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，g1由