2024～2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺專(zhuān)題之圖形與幾何綜合含答案

2024～2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺專(zhuān)題之圖形與幾何綜合一、解答題1．（1）如圖1，BP平分∠ABC,M,N分別在射線(xiàn)BA,（2）如圖2，在△ABC中，CP⊥CB交邊AB于點(diǎn)P,PH⊥AC于點(diǎn)H．已知∠ACP=∠B,（3）如圖3，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，P為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)，已知CA平分∠PCD,∠ADE=∠CPD,2．已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，連接EF，CF．（1）如圖①，線(xiàn)段EF，CF之間的數(shù)量關(guān)系為，∠EFC的度數(shù)為；（2）如圖②，將△AED繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α<30°)，請(qǐng)判斷線(xiàn)段EF，CF之間的數(shù)量關(guān)系及∠EFC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D落到直線(xiàn)AB上時(shí)，連接BE，若BC=3，AD=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．3．如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P為線(xiàn)段BO上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O重合），連接CP并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)G，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．（1）當(dāng)點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：△AGH≌△BGC；（2）求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△APH為直角三角形時(shí)，求HPPC（4）如圖2，作線(xiàn)段CG的垂直平分線(xiàn)，交BD于點(diǎn)N，交CG于點(diǎn)M，連接NG，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，連接DM．（1）求證：DM是⊙O的切線(xiàn)；（2）點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接CQ．①當(dāng)tan∠BAP=13時(shí)，求②求CQAP5．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，N為AC的中點(diǎn)，連接ON交AC于點(diǎn)H．（1）如圖①，求證BC=2OH；（2）如圖②，點(diǎn)D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點(diǎn)E，若DB=DC，求證OD∥AC；（3）如圖③，在（2）的條件下，點(diǎn)F在BD上，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DO，交DO于點(diǎn)G．DG=CH，過(guò)點(diǎn)F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF：DF=3：2，點(diǎn)T在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接AT，過(guò)點(diǎn)T作TM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，若FR=CM，AT=42，求AB6．小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．[探究1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上．若AB＝1，求BC的長(zhǎng)．[探究2]如圖2，連結(jié)AC′，過(guò)點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線(xiàn)段D′M與DM相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[探究3]在探究2的條件下，射線(xiàn)DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．7．已知正方形ΑΒCD的對(duì)角線(xiàn)ΑC，ΒD相交于點(diǎn)Ο．（1）如圖1，Ε，G分別是ΟΒ，ΟC上的點(diǎn)，CΕ與DG的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．若DF⊥CΕ，求證：ΟΕ=ΟG；（2）如圖2，Η是ΒC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Η作ΕΗ⊥ΒC，交線(xiàn)段ΟΒ于點(diǎn)Ε，連結(jié)DΗ交CΕ于點(diǎn)F，交ΟC于點(diǎn)G．若ΟΕ=ΟG，①求證：∠ΟDG=∠ΟCΕ；②當(dāng)ΑΒ=1時(shí)，求ΗC的長(zhǎng)．二、實(shí)踐探究題8．已知正方形ABCD，E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn).

①②③（1）【建立模型】如圖①所示，連接BE，DE.求證：BE=DE；（2）【模型應(yīng)用】如圖②所示，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，EF交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)B⊥BE，判斷△FBG的形狀，并說(shuō)明理由；（3）【模型遷移】如圖③所示，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，EF交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)B⊥BE，BE=BF，求證：GE=(2-1)DE.9．【問(wèn)題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，連接AD，BE，探究（1）如圖1，當(dāng)m=1時(shí)，直接寫(xiě)出AD，BE的位置關(guān)系：；（2）如圖2，當(dāng)m≠1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】當(dāng)m=3，AB=47，DE=4時(shí)，將10．（1）【特例感知】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PD，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．求證：△DAP≌△DCM．（2）【變式求異】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AB，交AC于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PQ，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求PQQM（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)Q在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點(diǎn)作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求PQQM的值（用含m，n11．【問(wèn)題背景】人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P落在線(xiàn)段OC上，PAPC（1）【特例證明】如圖1，將RtΔPEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)M，N．①填空：k=▲；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明ΔPAM?ΔPBN；也可過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線(xiàn)構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．)（2）【類(lèi)比探究】如圖2，將圖1中的ΔPEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說(shuō)明理由．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，點(diǎn)N在邊BC上，∠BPN=45°，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E，若EN=kPN，求k的值．12．【問(wèn)題情境】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α．點(diǎn)D在邊BC上將線(xiàn)段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段DE（旋轉(zhuǎn)角小于180°），連接BE，CE，以CE為底邊在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，連接AF．（1）【嘗試探究】如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，易知AF=BE；如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖3，寫(xiě)出AF與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說(shuō)明理由；（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，當(dāng)α=30°，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)．若BC=47，BD=1513．【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a，BC=b，由勾股定理，得AC2=（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a，（2）【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線(xiàn)，AB=a，BC=b，（3）【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8，BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB14．綜合與實(shí)踐，【問(wèn)題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線(xiàn)交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問(wèn)題．請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問(wèn)題．（2）【實(shí)踐探究】希望小組受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，可以求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP周長(zhǎng)的最小值．15．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：△BFG≌△BCG（2）【類(lèi)比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交BC邊于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H，（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形ABCD中，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D=60°，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)P，求16．華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)習(xí)題19.3第2小題及參考答案.2.如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF.求證：CE=DF.證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD.∴∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF，∴∠COD=90°.∴∠CDF+∠DCE=90°.∴∠CDF=∠BCE.∴△CBE≌△DFC.∴CE=DF.某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究（1）【問(wèn)題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線(xiàn)段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.試猜想EGFH（2）【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，點(diǎn)E、F、G、H分別在線(xiàn)段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.則EGFH=（3）【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AB、AD上，且CE⊥BF.求CEBF17．（1）【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG=EG．（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2，在(1)的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC（3）【拓展提高】

如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF=40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G=10，求BF的長(zhǎng)．

18．如圖，（1）【推理】

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著B(niǎo)E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G.求證：△BCE≌△CDG.（2）【運(yùn)用】

如圖2，在（推理）條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H.若HDHF=4（3）【拓展】

將正方形改成矩形，同樣沿著B(niǎo)E折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線(xiàn)AD于G，兩點(diǎn)，若ABBC=k，HDHF19．如圖（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD=∠B.求證：AC（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的長(zhǎng).（3）【拓展提高】如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=1三、綜合題20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M的直線(xiàn)分別交x軸，y軸的正半軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn)．以O(shè)M為直徑的⊙P分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E（位于點(diǎn)M右下方），連結(jié)DE交OM于點(diǎn)K．（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4），①求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②求ME的長(zhǎng)．（2）若OKMK（3）設(shè)tan∠OBA=x（0＜x＜1），OKMK21．（1）[問(wèn)題探究]如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O．在線(xiàn)段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．①求證：PD=PB；②將線(xiàn)段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長(zhǎng)至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，OB，OC（1）求證：四邊形BOCG為菱形．（2）如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙O①判斷直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，求證：AE+AF為定值．23．綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=°，設(shè)AC=1，BC=x，那么AE=（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC=5拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．24．綜合與實(shí)踐．（1）提出問(wèn)題.如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，連接BD，連接CE交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O．①∠BOC的度數(shù)是．②BD：CE=．（2）類(lèi)比探究.如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，連接AD、BE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)O．①∠AOB的度數(shù)是；②A(yíng)D：BE=．（3）問(wèn)題解決.如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上(不與A重合)，以AE為邊在A(yíng)D的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度.如圖4，M為EF的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．①說(shuō)明△MND為等腰三角形．②求∠MND的度數(shù)．

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，又∵BP=BP,∴△BMP≌△BNP(SAS)，∴PM=PN；（2）解：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．∵CP⊥CB,∴∠PCD=∠B，又∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠PCD，∵PH⊥AC，PD⊥CD，∴CH=CD=2，∴S（3）解：如圖，在線(xiàn)段CP上取一點(diǎn)F，使CD=CF，并連結(jié)AF．∵CA平分∠PCD，∴∠FAC=∠ACD，又∵CD=CF,∴△CAF≌△CAD(SAS)，∴AF=AD=3,∴∠PAF=60°，∵∠PAF=∠DAE=60°，∠ADE=∠CPD，∴△PAF∽△DAE，∴APAD∴AP=92．【答案】（1）EF=CF；120°（2）解：EF=CF，∠EFC=120°；理由：如圖，取AB的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MC，MF，EN，F(xiàn)N．∵BM=MA，BF=FD，∠ACB=90°，∴MF∥AD，MF=12AD∵AN=ND，∴MF=AN，∴四邊形MFNA是平行四邊形，∴NF=AM=MC，∠FMA=∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN=ND，∠AED=90°，∴EN=1在△AEN和△ACM中，∠AEN=∠EAN，∠MCA=∠MAC，∵∠MAC=∠EAN，∴∠AMC=∠ANE，又∵∠FMA=∠ANF，∴∠FMC=∠ENF，∴△MFC≌△ENF(SAS)，∴FE=FC，∠NFE=∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD=∠ABD，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，△BMC是等邊三角形，∠MCB=60°，∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°；（3）解：BE的長(zhǎng)為21或573．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAB=∠ABC，∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴AG=BG，∵∠AGH=∠BGC，∴△AGH≌△BGC(AAS)；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=60°，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠ABD=1∴∠AOB=90°，∴AO=1∴BO=A∴BD=2BO=63（3）解：∵△APH為直角三角形，∴AP⊥AD，∴∠DAP=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB=12∠ADC=30°，AD=AB=6∴AP=1∵AP2+A∴PD=43，AP=2∵AD∥BC，∠ABC=60°，∴∠BAD=180°?∠ABC=180°?60°=120°，∴∠BAP=∠BAD?∠PAD=120°?90°=30°=∠ABP，∴BP=AP=23∵AD∥BC，∴△BPC∽△DPH，∴DP∴HP（4）解：∠CGN的度數(shù)是定值，如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接OH、HM、NC，，∵M(jìn)N是CG的垂直平分線(xiàn)，∴GN=CN，GM=CM，∴∠NGC=∠GCN，∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，GM=CM，∴MH∥AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，AC⊥BD，∠CBO=1∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，AO=CO，∴OH∥AB，∴點(diǎn)M、點(diǎn)H、點(diǎn)O三點(diǎn)共線(xiàn)，∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，AC⊥BD，∴HO=HB=CH，∴∠CBO=∠BOH=30°，∵∠COB=∠NMC=90°，∴∠CON+∠NMC=180°，∴點(diǎn)O、點(diǎn)C、點(diǎn)M、點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，∴∠BOH=∠NCM=30°，∴∠CGN=∠NCM=30°．4．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=180°?∠ADC=90°，∵點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，即∠MCD+∠OCD=90°，∴∠MDC+ODC=∠MCD+∠OCD=90°，即∠ODM=90°，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DM是⊙O的切線(xiàn)；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，在Rt△ABC中，AB=A設(shè)PT=x，∵tan∠BAP=1∴PT∴AT=3PT=3x，∴BT=AB?AT=10?3x，∵tan∠ABC=PT∴x解得：x=8∴PT=8∵sin∠ABC=PTBP=∴BP=10當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AP于點(diǎn)K，∵tan∠BAP=1∴BK設(shè)BK=a，則AK=3a，在Rt△ABK中，AK即(3a解得：a1=10，a∴AK=310，BK=∵S∴AP設(shè)BP=m，則AP=4在Rt△ACP中，AC即82解得：m1=509，∴BP=50綜上所述，BP的長(zhǎng)為103或50②設(shè)CP=n，則AP=A如圖，∵AC是⊙O的直徑，∴CQ⊥AP，∵CQ?AP=AC?CP，∴CQ=AC?CP∴CQ∵n>0，∴(∴64+n∴CQ∴CQAP的最大值為5．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵N為AC的中點(diǎn)，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC中位線(xiàn)，∴BC=2OH；（2）證明：如圖，連接OC，設(shè)∠BDC=2α，∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，

∴△DOB≌△DOC，

∴∠BDO=∠CDO=12∠BDC=α，∴∠DBO=∠BDO=α，∴∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴DO∥AC；（3）解：連接AD，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌△CHE，∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴CE=AE=DF，∴∠EAC=∠ECA=α，∠AED=∠EAC+∠ECA=2α，∴∠BDC=∠AED，∴DF∥AE，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴四邊形ADFE矩形，∴∠EFD=90°，∴tan過(guò)點(diǎn)A作AS⊥DE垂足為S，∴sin∵FR⊥DC，∴sin∵FD∥AE，∴∠FDR=∠AES，∴sin∴FR=AS，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACS=90°，∵∠ASC=90°，∴∠CAS+∠ACS=90°，∴∠BCE=∠CAS，∵∠BCE=∠TCM，∴∠CAS=∠TCM，∵TM⊥DC，∴∠TMC=90°，∴∠TMC=∠ASC，∵FR=CM，∴AS=CM，∴△CAS≌△TCM，∴CT=AC，∵∠ACT=180°?90°=90°，∴∠CAT=∠CTA=45°，∴AC=AT?sin∵∠EDF=∠BAC，∴tan∴BC∴BC=6，∴AB=A6．【答案】[探究1]如圖1，設(shè)BC=x，

∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得到矩形AB'C'D'，點(diǎn)A，B，D'在同一直線(xiàn)上，

∴AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，

∴D'B=AD'-AB=x-1，

∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，

又∵點(diǎn)C'在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴D'C'AD=D'BAB，即1x=x?11，

解得x1=1+52，x2=1?52(不合題意，舍去)；

[探究2]D'M=DM，理由如下：

證明：如圖2，連結(jié)DD'，

∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，

∴AD'=AD，∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB，

∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，

∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，

∵AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，

∴∠MDD'=∠MD'D，

∴D'M=DM；

[探究3]關(guān)系式為：MN2=PN·DN，理由如下：

證明：如圖3，連結(jié)AM，

∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，

∴△AD'M≌△ADM(SSS)，

∴∠MAD'=∠MAD，

∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN=∠NAM，

∴MN=AN，

在△NAP與△NDA中，

∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，

∴△NAP∽△NDA，

∴PNAN=7．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形.∴AC⊥BD，OD=OC.∴∠DOG=∠COE=90°.∴∠OEC+∠OCE=90°.∵DF⊥CE.∴∠OEC+∠ODG=90°.∴∠ODG=∠OCE.∴△DOG≌△COE（ASA）.∴OE=OG.（2）①證明∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°.又OE=OG.∴△DOG≌△COE（SAS）.∴∠ODG=∠OCE.②解：設(shè)CH=x，∵四邊形ABCD是正方形，AB=1∴BH=1-x∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°∵EH⊥BC∴∠BEH=∠EBH=45°∴EH=BH=1-x∵∠ODG=∠OCE∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE∴∠HDC=∠ECH∵EH⊥BC∴∠EHC=∠HCD=90°∴△CHE∽△DCH∴EHHC=HC∴HC2=EH·CD得x2+x-1=0解得x1=5?12，x2=∴HC=5?18．【答案】（1）證明：∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°.∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE.（2）解：△FBG為等腰三角形.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GAD=90°，∴∠AGD+∠ADG=90°.由(1)知△ABE≌△ADE，∴∠ADG=∠EBG，∴∠AGD+∠EBG=90°.∵FB⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠FBG+∠EBG=90°，∴∠AGD=∠FBG.∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，∴FG=FB，∴△FBG是等腰三角形.（3）證明：∵FB⊥BE，∴∠FBE=90°.在Rt△EBF中，BE=BF，∴EF=BE2+BF由(1)知BE=DE，由(2)知FG=BF，∴FG=BF=BE=DE，∴GE=EF-FG=2BE-DE=2DE-DE=(2-1)DE.9．【答案】（1）BE⊥AD（2）解：成立；理由如下：

∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵DCCE∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°?∠ACB=90°，∴∠AGB=180°?90°=90°，∴BE⊥AD；（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，連接BE，如圖所示：設(shè)AE=x，則AD=AE+DE=x+4，根據(jù)解析（2）可知，△DCA∽△ECB，∴BEAD∴BE=3根據(jù)解析（2）可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得：AE即x2解得：x=2或x=?8（舍去），∴此時(shí)BE=3當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AE上時(shí)，連接BE，如圖所示：設(shè)AD=y，則AE=AD+DE=y+4，根據(jù)解析（2）可知，△DCA∽△ECB，∴BEAD∴BE=3根據(jù)解析（2）可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得：AE即(y+4)2解得：y=4或y=?6（舍去），∴此時(shí)BE=3綜上分析可知，BE=63或410．【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°-∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，∠A=∠DCMAD=CD∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如圖2，作QN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四邊形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴PQQM∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴AB=A∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴DQBC∴DQ=16∴PQQM（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC-CQ＝（m-mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴BC=A如圖3，作QN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴PQQM∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴QNBA∴QN=mn∴PQQM11．【答案】（1）解：①1；②證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EPF是直角三角形.∴∠APB=∠MPN=90°，∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，∴∠APB?∠BPM=∠MPN?∠BPM，即∠APM=∠BPN，∴△PAM?△PBN(∴PM=PN．（2）解：PMPN過(guò)點(diǎn)P作PG//BD交BC于G，如圖∴∠AOB=∠APG，∠PGC=∠OBC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°，∠PGC=∠PCG=∠PAM，∴PG=PC，∠APG?∠MPG=∠MPN?∠MPG，即∠APM=∠GPN，∴△PAM∽△PGN，∴PM（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如圖3，則∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°，∴∠MPN?∠GPN=∠GPH?∠GPN，即∠MPG=∠NPH，∴∠PMG=∠PNH，由（2）得PMPN=k

∴PM=kPN，

又∴PM=EN，∴△PGM?△ECN(∴GM=CN，PG=EC，∵∠BPN=∠PCB=45°，∠PBN=∠CBP，∴△BPN∽△BCP，∴PB∴PB2=BC?BN，

∵BC=BA，∴BM=BN，∴AM=CN=GM，∴AG=2CN，∵∠PAB=45°，∴PG=AG，∴EC=2CN，∴tan令HN=a，則PH=2a，CN=3a，EC=6a，∴EN=(PN=a∴k=EN12．【答案】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB=AC，∠ACB=α，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°?2α．∵△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，∠FCE=α，∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．∴∠EFC=180°?2α．∴∠BAC=∠EFC．∴△ABC∽△FEC．∴BCEC∴BCAC∵∠ACB=∠FCE=α，∴∠BCE=∠ACF．∴△BCE∽△ACF．∴BEAF∵AB=AC，H為BC的中點(diǎn)，∴BC=2CH．在Rt△AHC中，∠AHC=90°，∴cos∠ACH=∴BEAF∴BE=2cos又α=45°，∴BE=2（2）解：BE=2cos如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB=AC，∠ACB=α，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°?2α．∵△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，∠FCE=α，∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．∴∠EFC=180°?2α．∴∠BAC=∠EFC．∴ΔABC∽ΔFEC．∴BCEC∴BCAC∵∠ACB=∠FCE=α，∴∠BCE=∠ACF．∴△BCE∽△ACF．∴BEAF∵AB=AC，H為BC的中點(diǎn)，∴BC=2CH．在Rt△AHC中，∠AHC=90°，∴cos∠ACH=∴BEAF∴BE=2cos（3）解：AF=4如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF，交BF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∴DM∥CH．∵線(xiàn)段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段DE，∴DB=DE．∴BM=EM．∵△FEC是以CE為底邊的等腰三角形，∠FCE=30°，∴FE=FC，∠FEC=∠FCE=30°．∴∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°．∴∠HCF=180°?∠H?∠HFC=30°．∴FC=2FH．∵FE=FC，∴FE=2FH．設(shè)BM=x，則BE=2x，∵DM∥CH，∴BMBH∴BH=5BM=5x．∴EH=BH?BE=3x．∵FE=2FH，∴FE=FC=2x，F(xiàn)H=x．∴HC=3在Rt△BHC中，∠BHC=90°，BC=47∴BH∴(5x)2+(∴BE=2x=4．∵△BEC∽△AFC，∴AF=313．【答案】（1）解：結(jié)論依然成立，理由如下：

作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠AEB=∠CFD=90°，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a，BC=b，

∴AB=DC=a，AD∥BC，AD=BC=b，∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴AE=DF，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，

∴BE=CF，

∴AC2+BD2=AE2（2）證明：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C，使OD=BO，

∵BO為△ABC的一條中線(xiàn)，

∴OA=CO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=a，BC=b，AC=c．

∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2=2(AB2+BC（3）20014．【答案】（1）解：AE＝EP，理由如下：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，∵F、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）解：在A(yíng)B上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；（3）解：作DG⊥CP，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，交CP于O，連接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點(diǎn)D與G關(guān)于CP對(duì)稱(chēng)，∴AP+DP的最小值為AG的長(zhǎng)，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45∴△ADP周長(zhǎng)的最小值為AD+AG＝4+4515．【答案】（1）解：∵將ΔAEB沿BE翻折到ΔBEF處，四邊形ABCD是正方形，∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，∴∠BFG=90°=∠C，∵AB=BC=BF，BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(（2）解：延長(zhǎng)BH，AD交于Q，如圖：設(shè)FH=HC=x，在Rt△BCH中，BC∴8解得x=7∴DH=DC?HC=11∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，∴ΔBFG∽ΔBCH，∴BFBC=∴BG=254，∵EQ//GB，∴ΔEFQ∽ΔGFB，ΔDHQ∽ΔCHB，∴BCDQ=∴DQ=88設(shè)AE=EF=m，則DE=8?m，∴EQ=DE+DQ=8?m+88∵ΔEFQ∽ΔGFB，∴EQBG=解得m=9∴AE的長(zhǎng)為92（3）解：（Ⅰ）當(dāng)DE=13DC=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交AD于Q，過(guò)Q作QH⊥CD設(shè)DQ=x，QE=y，則AQ=6?x，∵CP//∴ΔCPE∽ΔQDE，∴CP∴CP=2x，∵ΔADE沿AE翻折得到ΔAFE，∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，∴AE是ΔAQF的角平分線(xiàn)，∴AQAF=QE∵∠D=60°，∴DH=12DQ=12在Rt△HQE中，HE∴(1?聯(lián)立①②可解得x=3∴CP=2x=3（Ⅱ）當(dāng)CE=13DC=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于Q'，過(guò)D作DN⊥AB交同理∠Q∴AQ'由HQ'2可解得x=12∴CP=1綜上所述，CP的長(zhǎng)為32或616．【答案】（1）解：EGFH過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，∴AM＝HF，AN＝EG，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH，∴EGFH（2）n（3）解：∵∠ABC=60°，AB=BC，∴ΔABC是等邊三角形，∴設(shè)AB=BC=AC=a，過(guò)點(diǎn)CN⊥AB，垂足為N，交BF于點(diǎn)M，則AN=BN=1在RtΔBCN中，CN=B∵CN⊥AB，CE⊥BF，∴∠ABF+∠BMN=90°，∠ECN+∠CMF=90°，又∵∠CMF=∠BMN，∴∠ABF=∠ECN，∵CN⊥AB，∠DAB=90°，∴∠DAB=∠CNE=90°，∴ΔNCE∽ΔABF，∴CEBF=CN17．【答案】（1）證明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=∴DG∵BF=CF，∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DE（3）解：如圖，延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)M，連結(jié)FM，作MN⊥BC，垂足為N．在?ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，F(xiàn)N=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．18．【答案】（1）證明：如圖1，

∵△BFE由△BCE折疊得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°.又∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠BCE=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，又∵正方形ABCD，∴BC=CD，，∴△BCE≌△CDG(AAS)（2）解：如圖，連接EH，由（1）得△BCE≌△CDG，∴CE=DG=9，由折疊得BC=BF，CE=FE=9，∴∠BCF=∠BFC.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD//BC，∴∠BCG=∠HGF，又∵∠BFC=∠HFG，∴∠HFG=∠HGF，∴HF=HG.∵HDHF=∴HD=4，HF=HG=5.∵∠D=∠HFE=90°∴HF∴5∴DE=310（DE=?3（3）解：如圖，連結(jié)HE，由已知HDHF=45可設(shè)DH=4m，①當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊時(shí)，如圖，

同（2）可得，HF=HG，∴DG=9m，由折疊得BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°，又∵∠D=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，又∵∠BCE=∠D=90°，∴△CDG∽△BCE，∴DG∵CD∴9m∴CE=9m∴DE=9mx∵∠D=∠HFE=90°，∴HF∴(5m)∴x=k2+9∴②當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)右邊時(shí)，如圖，同理得HG=HF，∴DG=m，同理可得△BCE∽△CDG，可得CE=mk=FE∵HF∴(5m)∴x=9k2∴19．【答案】（1）解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A∴△ADC∽△ACB∴AD∴AC2=AD·AB（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，---6分又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF2=BE·BC，∴BC=B∴AD=16（3）解：如圖，分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=12∵AC∥EF，∴四邊形AEGC為平行四邊形，∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，∵∠EDF=12∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴DE2=EF·EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，∴DE=2EF，又∵DG∴DG=2DF=52，∴DC=DG-CG=52-220．【答案】（1）解：①連接DM、MC，如圖1．∵OM是⊙P的直徑，∴∠MDO=∠MCO=90°．∵∠AOB=90°，∴四邊形OCMD是矩形，∴MD∥OA，MC∥OB，∴BDDO=BM∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，即BM=AM，∴BD=DO，AC=OC．∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4），∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，∴AB=OB∴BM=12∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，∴△OBM∽△EBD，∴BMBD=BO∴54=8∴BE=325∴ME=BE﹣BM=325﹣5=（2）解：連接DP、PE，如圖2．∵OKMK∴OK=3MK，∴OM=4MK，PM=2MK，∴PK=MK．∵OD=BD，OP=MP，∴DP∥BM，∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．在△DPK和△EMK中，∠PDK=∠MEK∠DPK=∠EMK∴△DPK≌△EMK，∴DK=EK．∵PD=PE，∴PK⊥DE，∴cos∠DPK=PKPD=1∴∠DPK=60°，∴∠DOM=30°．∵∠AOB=90°，AM=BM，∴OM=BM，∴∠OBA=∠DOM=30°（3）解：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=21?提示：連接PD、OE，如圖3．設(shè)MK=t，則有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM=(y+1)t2PK=(y+1)t2﹣t=(y?1)t由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，則有DPME=PKMK，可得ME=∵OM是⊙P的直徑，∴∠OEM=90°，∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[y+1y?1t]2=(y+1)2t即OE=(y+1)ty?1?yBE=BM+ME=（y+1）t+y+1y?1t=(y+1)yt∴x=tan∠OBA=OEBE=y∴x2=y2?2yy整理得：y=21?21．【答案】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，

∵CP=CP，

∴△DCP≌△BCP，

∴PD=PB；

②∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ=90°；

理由如下：如圖所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠B