三角函數(shù)復(fù)習(xí)

高中三角函數(shù)復(fù)習(xí)一、角的概念及任意角三角函數(shù)1.角的概念(1)正角、負(fù)角和零角：按

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫

；按

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫

；沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成一個(gè)

角．負(fù)角正角零逆順2.象限角與終邊相同的角的表示:(1)象限角：使角的頂點(diǎn)與

重合，角的始邊與

重合，角的終邊落在第

象限，就說這個(gè)角是第

象限角．原點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸幾幾{|=2k+,kZ}或{|=360k+,kZ}(,終邊相同)x軸正半軸=2k,kZx軸負(fù)半軸=2k+,kZ

2y軸正半軸=2k+,kZy軸負(fù)半軸=2k+,kZ32

22k+2k<<,kZ終邊相同的角軸線角象限角ⅠⅡⅢⅣ2k+<<2k+2,kZ322k+<<2k+,kZ322k+<<2k+,kZ

2(2)與角α終邊相同的角的集合：

．一、角的概念及任意角三角函數(shù){θ|θ＝2kπ＋α，k∈Z}3.角的度量:【思考探究】

(1)終邊相同的角相等嗎？它們的大小有何關(guān)系？(2)銳角是第一象限角，第一象限角是銳角嗎？小于90°的角是銳角嗎？提示：

(1)終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍．(2)第一象限角不一定是銳角，如390°，－300°都是第一象限角，但它們不是銳角．小于90°的角也不一定是銳角，如0°，－30°，都不是銳角．1．終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合為()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C練習(xí)一(3題)2.2弧度的圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)扇形的面積為______。AOB3.(1)將－570°用弧度制表示出來，并指出它所在的象限．(2)將用角度制表示出來，并在－720°～0°之間找出與它有相同終邊的所有角．(1)扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)；(2)一扇形的圓心角是72°，半徑等于20cm，求扇形的面積．①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.當(dāng)r＝1cm時(shí)，l＝8(cm)，此時(shí)，θ＝8rad＞2πrad舍去；當(dāng)r＝4cm時(shí)，l＝2(cm)，此時(shí)，θ＝rad.(1)扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)；(2)一扇形的圓心角是72°，半徑等于20cm，求扇形的面積． 一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)l.(1)假設(shè)α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)假設(shè)扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？【變式訓(xùn)練】(1)定義：任意角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離為r,那么4．任意角的三角函數(shù)一、角的概念及任意角三角函數(shù)(3)三角函數(shù)的定義域正弦函數(shù)y＝sinα的定義域：

余弦函數(shù)y＝cosα的定義域：

正切函數(shù)y＝tanα的定義域：_______________________{α|α∈R}．{α|α∈R}．.PO

xy

(2)三角函數(shù)的符號(hào)如下圖：即：____________________ 一全正，二正弦，三兩切，四余弦．(5)特殊角的三角函數(shù)值:sin

cos

tan

cot

0

6

4

3

2

322(4)三角函數(shù)線:正弦線MP、余弦線OM、正切線AT、(余切線)OMAPTxy01222332232323310-1101210不存在不存在-100不存在0010不存在不存在0133一、角的概念及任意角三角函數(shù) 角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值． 角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【變式訓(xùn)練】1.角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.練習(xí)二(6題)BD4.函數(shù)y=的值域是__________{3,-1}1.假設(shè)角α滿足條件sin2α＜0，cosα－sinα＜0,那么α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B6.利用單位圓寫出符合以下條件的角x的范圍．B二、同角三角函數(shù)根本關(guān)系式1.關(guān)系式(三倒二商三平方):

(1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1(2)tan=;cot=(3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2

cossin

sin

cos2.利用上述關(guān)系,可以解決以下問題:(1)某角的一個(gè)三角函數(shù)值,求其他各三角函數(shù)值;(2)化簡(jiǎn)某些三角函數(shù)式;(3)證明某些三角恒等式.解:

sincos=,而sin2+cos2=1,∴(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos=1-=又<<∴sin>cos,∴cos-sin=-

1814342

4

32例:已知sincos=,且<<,則cos-sin=_______.184

2

2.已知tan

=,則=_________.cos+sincos-sin2提示:顯然cos≠0,分子分母同除以cos后代入即得1.是第三象限角,那么sec1+tan2+tansec2-1=()(A)1(B)1(C)-1(D)以上都不對(duì)3.已知:(0,),化簡(jiǎn)1+2sincos-1-2sincos.

2-3-22C解:原式=(sin+cos)2-(sin-cos)2

=|sin+cos|-|sin-cos|當(dāng)0<≤時(shí),0<sin≤cos;當(dāng)<<時(shí),0<cos<sin∴原式=2sin2cos(0,](,)2

4

2

4

4

4

練習(xí)三(4題)提示:原式=sec|sec|+tan|tan|,又為第三象限角,∴sec<0,tan>0,從而得.三、誘導(dǎo)公式1.常用的六組誘導(dǎo)公式:(1)2k+(即k360+)組(2)-(即180-)組(3)+(即180+)組(4)-組(5)-(即90-)組(6)+(即90+)組

2

2用公式時(shí)都是把看作銳角,先化簡(jiǎn)式子,最后再轉(zhuǎn)化!2.利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值,一般步驟:任意角的三角函數(shù)0到360角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0到90角的三角函數(shù)練習(xí)四(4題)3.計(jì)算:sin210

+sin280

+tan10tan80=_____.1964.化簡(jiǎn)求值:(1)sin(-)=_______.tan(+)cos3(--)cot(+4)cos(+)sin2(+3)(2)=_____.C21212.若cos(-x)=,x(-,),則x的值為()(A)或(B)(C)(D)32

676565623四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.正、余弦函數(shù)、正、余切函數(shù)的圖象與主要性質(zhì){x|xR且x≠k+,(kZ)}

21-12xyO1-1

2xO

2

2xyO-函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx一周期圖象定義域值域單調(diào)性奇偶性周期2k+]↑(kZ)

2[2k-,

22k+]↓(kZ)32[2k+,

2RR[-1,1]R在[2k+,2k]↑

(kZ)在[2k,2k+]↓(kZ)

2k-,

2k+)在((kZ)上都是增函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2

2[-1,1]四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)2.周期函數(shù)和最小正周期的意義

對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)常數(shù)T≠0,使得當(dāng)x取定義域中的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x)成立,那么函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),T叫做f(x)的周期.

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)來說,如果在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),就把這個(gè)最小正數(shù)叫做最小正周期.

三角函數(shù)的周期概指最小正周期.3.正弦型函數(shù)y=Asin(

x+)的振幅、周期、相位、初相及其圖象與函數(shù)y=sinx之間的關(guān)系(1)當(dāng)A>0,>0時(shí),A稱為該函數(shù)的振幅,2

=T稱為函數(shù)的周期,(為角速度),

x+稱為函數(shù)的相位,稱為函數(shù)的初相.(2)當(dāng)A>0,>0,xR時(shí),y=Asin(x+)的圖象,可以看作把y=sinx的圖象上的所有的點(diǎn)向左(當(dāng)>0)或向右(<0)平移||個(gè)單位,再把所得的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(>1)或伸長(zhǎng)(0<<1)到原來的1/倍(縱坐標(biāo)不變),最后再把所得的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變).四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)題型一：求三角函數(shù)的值域和最值注:最終化為一個(gè)角的三角函數(shù)式或其復(fù)合式.題型一：求三角函數(shù)的值域和最值變式練習(xí)題型二：三角函數(shù)的單調(diào)性題型二：三角函數(shù)的單調(diào)性變式練習(xí)CB變式練習(xí)練習(xí)五(5題)1.下列函數(shù)中,既在區(qū)間(0,)內(nèi)遞增,又是以2為最小正周期的偶函數(shù)是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot2x2x2.要得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象()(A)向左平移個(gè)單位

3(C)向左平移個(gè)單位

6(D)向右平移個(gè)單位

6(B)向右平移個(gè)單位

3

33.函數(shù)y=asinx+b的最大值為2,最小值為-4,那么a=____,b=____.4.函數(shù)y=Asin(x+)(其中>0,A>0)的圖象如右,那么函數(shù)的解析式為________________________.yxO-

(0,-)352-5.函數(shù)y=log0.5cos2x.(1)求定義域、值域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.BD3-1y=2sin(+)2x353答案:(1)定義域(k-,k+)(kZ);值域{y|y≥0};(2)偶函數(shù);(3)在(k-,k],在[k,k+)

(kZ)

4

4

4

4(五)方法指導(dǎo)1.坐標(biāo)法2.主元法3.遞歸法4.幾何模型法5.圖象變換法3.遞歸法:(1)誘導(dǎo)公式可化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù).(2)誘導(dǎo)公式中的角為任意角,確定符號(hào)時(shí)當(dāng)銳角處理.(3)研究周期函數(shù)圖象性質(zhì)時(shí),可先歸到一特殊周期研究.1.坐標(biāo)法(數(shù)形結(jié)合法的表現(xiàn)):角的概念在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn),能直觀地說明角的內(nèi)涵,終邊相同的角、象限角等概念能把眾多角歸類.2.主元法:當(dāng)問題涉及多種三角函數(shù)或多個(gè)角時(shí),據(jù)條件選取其中一個(gè)三角函數(shù)或一個(gè)角為主元,把其他各三角函數(shù)或角進(jìn)行變換,化為主元三角函數(shù)或同角三角函數(shù).簡(jiǎn)單說成:

化同名,化同角,切割?；?返回證明:在平面直角坐標(biāo)系中,取單位圓(如圖).依定義可知,sin=MP,tan=AT,而即為弧AP的長(zhǎng).考慮三角形OMP和OAT及扇形OAP的面積,有S△OMP<S扇形OAP<S△OAT,

再據(jù)三角形及扇形面積計(jì)算得:MP<弧長(zhǎng)AP<AT,故命題成立.[注:該結(jié)論應(yīng)記住.]4.幾何模型法:單位圓能直觀地解釋三角函數(shù),因而成為幾何工具.主要應(yīng)用有:(1)用三角函數(shù)射影法作根本三角函數(shù)的圖象;(2)直觀地表示簡(jiǎn)單三角方程或簡(jiǎn)單三角不等式的解集;

(3)證明誘導(dǎo)公式及一些重要的三角等式和不等到式.5.圖象變換法:討論正弦型函數(shù)y=Asin(

x+)+h(A>0,>0)的圖象作法,除了用“五點(diǎn)法”外,還有圖象變換法(平移變換、伸縮變換).OMAPTxy例:(0,90),求證:sin<<tan.(六)注意問題1.區(qū)分“角”2.判斷符號(hào)3.恒等變換4.活用公式5.由形察數(shù)6.對(duì)稱問題1.區(qū)分“角”:

主要指當(dāng)角相同時(shí),三角函數(shù)值相等;而當(dāng)三角函數(shù)值相等時(shí),角不一定相等!特別是終邊相同的角并不就是相同的角!初學(xué)三角函數(shù)時(shí)常會(huì)把它們混在一起.2.判斷符號(hào):

一指誘導(dǎo)公式中各符號(hào)的判斷;二指利用“一倒二商三平方”的“平方關(guān)系”求值時(shí),需根據(jù)角的范圍來確定平方根號(hào)前的“+”或“-”號(hào).

如:sin=0.5,(360,450),那么=390,千萬不能寫成了30!如果用弧度制寫更易出錯(cuò)!返回3.恒等變換:主要指在化簡(jiǎn)或證明過程中,必須在定義域上對(duì)式子進(jìn)行保“值”變“形”,防止會(huì)改變定義域的變換.4.活用公式:

在化簡(jiǎn)求值等變形中,要合理決定變換的簡(jiǎn)捷程序,善于觀察角,如x+30和60-x互余,x+45與135-x互補(bǔ)等.例:函數(shù)y=在x(-,)時(shí)為奇函數(shù),而在xR時(shí)卻是非奇非偶函數(shù),原因即在此.1+sinx-cosx1+sinx+cosx2

2

5.由形察數(shù):

這是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)方面.既可從圖形中發(fā)現(xiàn)一些函數(shù)性質(zhì),又可從圖形中得到函數(shù)解析式.6.對(duì)稱問題:

函數(shù)y=Asin(

x+)的對(duì)稱軸可由圖象的直觀性得到,為“過最高(低)點(diǎn)且與x軸垂直的直線”,即x=

(kZ).又令x+=k,就得到函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(

,0)(kZ).

k+-

2k-

試做一題題:下面函數(shù)中,圖象以直線x=為對(duì)稱軸的是()(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=tanxy=cotx12解:y=sinx的對(duì)稱軸由x=k+得到,即x=k+,(kz),令k=0,即得x=;y=cosx的對(duì)稱軸由x=k得到,即x=k,(kz);而y=tanx和y=cotx的圖象都不是軸對(duì)稱圖形.故選(A)

22121答案為-1,你做對(duì)了嗎?注:若把這種題變形,出這樣一道題,看會(huì)不會(huì)做:如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱,那么a=_______.

8返回這章又結(jié)束了，你學(xué)到了什么？任意角三角函數(shù)根本關(guān)系式誘導(dǎo)公式圖象性質(zhì)注意問題方法指導(dǎo)1.角的概念2.三角函數(shù)1.關(guān)系式2.應(yīng)用1.常用的六組誘導(dǎo)公式2.利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值1.函數(shù)的圖象與主要性質(zhì)2.周期函數(shù)3.正弦型函數(shù)y=Asin(

x+)的一些概念、性質(zhì)1.坐標(biāo)法2.主元法3.遞歸法4.幾何模型法5.圖象變換法1.區(qū)分“角”2.判斷符號(hào)3.恒等變換4.活用公式5.由形察數(shù)6.對(duì)稱問題返回首頁結(jié)束放映返回題：是第二象限角,那么-、、各是第幾象限角?解:∵為第二象限角,∴2k+<<2k+(kZ)∴-2k-<-<-2k-(kZ),即-是第三象限角.又k+<<k+(kZ),分別令k為奇數(shù)和偶數(shù),可知為第一或第三象限角,同法可求得是第一或第二或第三象限角.返回題:tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+)解:∵tan(-)=-tan=a2,∴tan=-a2≤0,又|cos(-)|=|cos|=-cos,∴cos≤0,而tan≤0,∴為第二象限角或在y軸負(fù)半軸,∴sec≤0,且sec=-1+tan2=-1+a4,∴sec(+)=-sec=1+a4.返回xx題:以下函數(shù)中,既在區(qū)間(0,)內(nèi)遞增,又是以2為最小正周期的偶函數(shù)是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot22解:(A)答案是以為周期的函數(shù),且在[,)上是減函數(shù),可排除;(C)答案中,t=cosx在(0,)單調(diào)遞減,而y=2t為增函數(shù),故該函數(shù)在(