三角形的內(nèi)切圓

切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。APO。BECD∵PA、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB6.5三角形的內(nèi)切圓1、確定圓的條件是什么？1.圓心與半徑2、表達(dá)角平線的性質(zhì)與判定性質(zhì)：角平線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。判定：到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。3、以下圖中△ABC與圓O的關(guān)系？△ABC是圓O的內(nèi)接三角形；圓O是△ABC的外接圓圓心O點(diǎn)叫△ABC的外心知識(shí)回顧ACBO2.不在同一直線上的三點(diǎn)李明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。以下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)們幫他確定一下。思考ABC三角形的內(nèi)切圓CBADFEOr課題思考以下問(wèn)題：1．如圖，假設(shè)⊙O與∠ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點(diǎn)？圓心0在∠ABC的平分線上。

2．如圖2，如果⊙O與△ABC的夾內(nèi)角∠ABC的兩邊相切，且與夾內(nèi)角∠ACB的兩邊也相切，那么此⊙O的圓心在什么位置？圓心0在∠BAC,∠ABC與∠ACB的三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)上。OMABCNO圖2ABC探究：三角形內(nèi)切圓的作法3．如何確定一個(gè)與三角形的三邊都相切的圓心的位置與半徑的長(zhǎng)？

4．你能作出幾個(gè)與一個(gè)三角形的三邊都相切的圓么？

作出三個(gè)內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是符合條件的圓心，過(guò)圓心作一邊的垂線，垂線段的長(zhǎng)是符合條件的半徑。

只能作一個(gè)，因?yàn)槿切蔚娜龡l內(nèi)角平分線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。IFCABED探究：三角形內(nèi)切圓的作法作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I。I2．過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D。3．以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓。DMN探究：三角形內(nèi)切圓的作法·思考如下圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截一個(gè)面積最大的圓形鐵皮？·ABCABCMDNI結(jié)論與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心；這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。．o．o．o．．o外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。外接圓的半徑：交點(diǎn)到三角形任意一個(gè)定點(diǎn)的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓．o內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)切圓的半徑：交點(diǎn)到三角形任意一邊的垂直距離。AABBCC辨析明確1.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓；一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓2.一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形4.三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；它到三角形三邊的距離

相等。3.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等。1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。識(shí)記2、性質(zhì):內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角。3、和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形。O圖2ABC三角形的外心與內(nèi)心對(duì)照畫出的圖形，討論解決以下問(wèn)題：1、什么是三角形的外心與內(nèi)心?2、試比較三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別，并填表：外心是指三角形外接圓的圓心內(nèi)心是指三角形內(nèi)切圓的圓心三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等例1:△ABC的內(nèi)切圓⊙O與

BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13．

求AF，BD，CE的長(zhǎng)．解決問(wèn)題，加深理解ABCDEFO例題2：如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，點(diǎn)O是內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。分析：

∠O=?

∠1+∠3=?

O為△ABC的內(nèi)心

BO是∠ABC的角平分線

CO是∠ACB的角平分線

OA243BC1三角形內(nèi)心性質(zhì)的應(yīng)用解：

∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心

∴∠1＝∠2＝

∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA三角形內(nèi)心性質(zhì)的應(yīng)用∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB延伸與拓展如圖，在△ABC中，∠A=n°，點(diǎn)I是內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù)。解：∠BIC=1800－(∠IBC+∠ICB)

=1800－=1800－=1800－900+＝900+一般地：△ABC的內(nèi)心為Ｉ，∠A=n0則∠BIC＝900+·BDEFOCA如圖，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,△ABC的周長(zhǎng)為l,求△ABC的面積S.解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，面積為S，那么△ABC的內(nèi)切圓的半徑r＝結(jié)論2Sa＋b＋c三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算·ABCEDFO如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓.求：Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑

r.設(shè)AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O與Rt△ABC的三邊都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD則有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF那么OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2結(jié)論設(shè)Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋cABCOabcDEr如：直角三角形的兩直角邊分別是5cm，1