中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點過關(guān)練習(xí)專題24 與圓有關(guān)的位置關(guān)系的核心知識點精講（講義）（原卷版）

專題24與圓有關(guān)的位置關(guān)系的核心知識點精講1.探索并了解點和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系．2．知道三角形的內(nèi)心和外心．3．了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會過圓上一點畫圓的切線.考點1：點與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<rSKIPIF1<0點P在⊙O內(nèi)；d=rSKIPIF1<0點P在⊙O上；d>rSKIPIF1<0點P在⊙O外?？键c2：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0無交點；2、直線與圓相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0有一個交點；3、直線與圓相交SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0有兩個交點；考點3：切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0過半徑SKIPIF1<0外端∴SKIPIF1<0是⊙SKIPIF1<0的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個?？键c4：切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是的兩條切線∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0考點5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。（2）三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=SKIPIF1<0。BOAD（3）S△ABC=SKIPIF1<0，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。BOAD（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D?！绢}型1：點、直線與圓位置關(guān)系的判定】【典例1】（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．81．（2022?六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行2．（2021?浙江）已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【題型2：切線的判定與性質(zhì)】【典例2】（2023?鹽城）如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點A，C）的一點，⊙O恰好經(jīng)過點A，B，AD⊥CB于點D，且AB平分∠CAD．（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長．1．（2023?河南）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長為．2．（2023?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．3．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長．4．（2023?東營）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的長．【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】【典例3】（2021?畢節(jié)市）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D，連接BD，BE．（1）求證：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的長．1．（2023?攀枝花）已知△ABC的周長為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（）A．rl B．πrl C．rl D．πrl2．（2020?濟(jì)寧）如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．43．（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長．用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于步（注：“步”為長度單位）．4．（2023?湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交OA于點E，連結(jié)OB．（1）求證：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長．一．選擇題（共8小題）1．平面內(nèi)，已知⊙O的半徑是8cm，線段OP＝7cm，則點P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O內(nèi) D．不能確定2．已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，A、B、E是切點，CD分別交線段PA、PB于C、D兩點，若∠APB＝40°，則∠COD的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．75°4．已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為6，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定5．已知⊙O和直線l相交，圓心到直線l的距離為10cm，則⊙O的半徑可能為（）A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm6．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，點I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC的度數(shù)為（）A．40° B．70° C．110° D．140°7．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC．若∠A＝36°，則∠C的度數(shù)為（）A．18° B．27° C．36° D．54°8．如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且CO＝CD，則∠A的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°二．填空題（共4小題）9．如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM＝cm時，⊙M與OA相切．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交直徑AB的延長線于點D，若∠ABC＝65°，則∠D的度數(shù)是度．11．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點．若∠P＝50°，則∠AOB＝．12．如圖是一塊直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可裁圓形木料的最大半徑為．三．解答題（共3小題）13．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且AC平分∠BAD．（1）求證：直線MN是⊙O的切線；（2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的半徑．14．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連EA．（1）求證：EA與⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半徑．15．如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長交BE的延長線于點A．（1）證明：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長．一．選擇題（共6小題）1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O是內(nèi)心，若CO＝2，△ABC的周長為16，則△ABC的面積為（）A． B． C．16 D．322．一個等邊三角形的邊長為2，則這個等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為（）A． B．1 C． D．3．如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣b4．在平面直角坐標(biāo)系中，以點A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜55．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法判斷6．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠C＝55°，則∠P等于（）A．110° B．70° C．140° D．55°二．填空題（共4小題）7．在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．8．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P＝60°，PA＝6，則⊙O的半徑為．9．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝2，若⊙C的半徑為1，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為．10．如圖，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線上運動，當(dāng)⊙P與x軸相切時，請寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)為．三．解答題（共3小題）11．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，且AD＝DC，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直徑．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊上的中點，連接DE．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）連接OC交DE于點F，若⊙O的半徑為3，DE＝4，求的值．13．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若cosC＝，AC＝6，求BF的長．1．（2020?廣州）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時，⊙B與AC的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．（2023?湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（）A． B． C． D．3．（2020?泰州）如圖，直線a⊥b，垂足為H，點P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動點，若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長為．4．（2021?青海）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．5．（2023?黑龍江）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠B＝28°，則∠P＝°．6．（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）7．（2023?鄂州）如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，點C為的中點，過點C作CD⊥AE，交AE的延長線于點D，延長DC交AB的延長線于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半徑長．8．（2023?遼寧）如圖，AB是⊙O的