新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第71講 圓錐曲線中的最值問題（微專題）（解析版）

第71講圓錐曲線中的最值問題題型一與線段、周長有關(guān)的最值問題例1、（2023·云南·統(tǒng)考一模）若P，Q分別是拋物線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)點SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值即為SKIPIF1<0的最小值減去圓的半徑，求出SKIPIF1<0的最小值即可得解．【詳解】依題可設(shè)SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，根據(jù)圓外一點到圓上一點的最值求法可知，SKIPIF1<0的最小值即為SKIPIF1<0的最小值減去半徑．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0恒成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．變式1、（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線上一動點，則SKIPIF1<0周長的最小值為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】過SKIPIF1<0作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，進而結(jié)合拋物線的定義求解即可.【詳解】解：由題知SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0.如圖，過SKIPIF1<0作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周長SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與拋物線的交點SKIPIF1<0時等號成立.故答案為：SKIPIF1<0.變式2、（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）（多選題）平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】設(shè)點SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，對于A，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，解不等式SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0，A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，B正確；對于C，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，當(dāng)SKIPIF1<0時，點P在以線段MN為直徑的圓SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0，C正確；對于D，因為點SKIPIF1<0在動點P的軌跡上，當(dāng)點P為此點時，SKIPIF1<0，D錯誤.故選：BC變式3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，且經(jīng)過點SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點SKIPIF1<0作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出SKIPIF1<0，進而討論最值.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）當(dāng)直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設(shè)直線l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0在x軸上方，則SKIPIF1<0在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A處切線斜率為SKIPIF1<0，得切線方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.同理可得B處的切線方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓在x軸上方的部分方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得過SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，為2變式4、（2022·全國·江西師大附中模擬預(yù)測）已知拋物線C：SKIPIF1<0（p＞0），拋物線C的焦點為F，點P在拋物線上，且SKIPIF1<0的最小值為1．(1)求p；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，A，B為拋物線C上不同的兩點，直線OA，OB的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，求｜AB｜的取值范圍．【解析】(1)因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0直線方程為SKIPIF1<0聯(lián)立方程組SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0過焦點SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．題型二與面積有關(guān)的最值問題例2、（2022·廣東廣州·二模）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，短軸長為4；(1)求C的方程；(2)過點SKIPIF1<0作兩條相互垂直的直線上SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與C相交于兩個不同點A，B，在線段SKIPIF1<0上取點Q，滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交y軸于點R，求SKIPIF1<0面積的最小值．【解析】(1)由題可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓C的方程為SKIPIF1<0；(2)由題可知直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0四點共線，知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互垂直，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0等號成立，所以SKIPIF1<0面積的最小值為1.變式1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考一模）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且橢圓的長軸長為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出SKIPIF1<0的值，將點SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程，可得出SKIPIF1<0，即可得出橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）分析可知直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，列出韋達定理，寫出直線SKIPIF1<0的方程，可求得點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】（1）解：因為橢圓SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）解：若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，則SKIPIF1<0不存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，不合乎題意，所以，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入直線SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.變式2、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，它上面的每一點到點SKIPIF1<0的距離減去到SKIPIF1<0軸的距離的差都是2.若點SKIPIF1<0分別在該曲線SKIPIF1<0上，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0(1)求曲線SKIPIF1<0方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）曲線上每一點到點SKIPIF1<0的距離減去到SKIPIF1<0軸的距離的差都是2，即曲線上每一點到點SKIPIF1<0的距離與到直線SKIPIF1<0的距離相等，所以曲線SKIPIF1<0為拋物線，SKIPIF1<0；（2）設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由相似三角形可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.變式3、（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點MSKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點為A，過定點SKIPIF1<0且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點，設(shè)直線AB，AC與直線SKIPIF1<0的交點分別為P，Q，求SKIPIF1<0面積的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）把點代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達，然后表示出直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程，進而求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合韋達定理即可求解.(1)由題意知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)過點SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，代入橢圓SKIPIF1<0的方程，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，由（1）得SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，SKIPIF1<0把①式代入，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面積的最小值為SKIPIF1<0題型三與向量有關(guān)的最值問題例3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系SKIPIF1<0中，已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距為2，且與雙曲線SKIPIF1<0共頂點．P為橢圓C上一點，直線SKIPIF1<0交橢圓C于另一點Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，求過P、Q、SKIPIF1<0三點的圓的方程；(3)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由焦距為2得到SKIPIF1<0，再由雙曲線的頂點求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，橢圓方程；（2）求出SKIPIF1<0的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量共線得到SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出SKIPIF1<0，從而表達出SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】（1）雙曲線SKIPIF1<0的頂點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故橢圓的方程為SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得點Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．設(shè)過P，Q，SKIPIF1<0三點的圓為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF