2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=l-2,（i為虛數(shù)單位），則Z虛部為（）

A.1B.-2/C.2D.-2

【正確答案】D

利用復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案.

【詳解】???z=l-2,是虛數(shù)單位），的虛部是一2.

故選：D.

本題考查復(fù)數(shù)的虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知￡=（1,1）,各=（2,0）,c=（2,4）,則下列各組向量中，不能作為平面內(nèi)一組基底的是

（）

A.a，b-cB.a>b+cC.a，2b—cD.a，2b+c

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合基底向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：=（0,-4）,則1x（-4）-1x0=-470,

可得Z，右一］不共線，則Z，君可以作為一組基底，故A正確；

對(duì)于B：6+c=（4,4）,貝！Jlx4-lx4=0,

可得Z，B+工共線，則Z，B+工不可以作為一組基底，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：2力一：=（2,—4）,貝收x（—4）—1x2=—6w0,

可得入25-工不共線，則Z，2書(shū)可以作為一組基底，故C正確；

對(duì)于D：22+。=（6,4）,貝I」lx4—1x6=—2w0,

可得Z，23+工不共線，則Z，23+工可以作為一組基底，故D正確；

故選：B.

3.在“5C中，^a2+b2=c2+^ab,則角。等于（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【正確答案】A

【分析】根據(jù)余弦定理可得cosC的值，即得答案.

【詳解】在"3C中，a2+b2^c2+^ab,可得cosC="+"一'

2ab2

由于0。＜。＜180。，故C=30。，

故選：A.

4.已知不重合的直線/,加和不重合的平面a,/3,下列命題正確的是（）

A.若/〃a,HIP,則a〃￡B.若/_Lcz,ILm,則7〃//a

C.若/_La,U0,則a〃6D.若/ua,加ua,〃/￡,mlip,則a〃6

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間中的線、面關(guān)系分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：若///a,〃/尸，則平面a,尸的位置關(guān)系有：平行、相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若/_La,Zlm,則見(jiàn)a的位置關(guān)系有：機(jī)//&或加ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若/，/?,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：。邛,故C正確；

對(duì)于D：根據(jù)面面平行的判定定理可得：若/，加相交，則a〃￡,否則不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.設(shè)向量Z與B的夾角為。，定義￡十]=|去山。+層os4已知向量"為單位向量，W=0,

卜-0=1,貝壯十各=（）

A.—B.V2C.—D.273

22

【正確答案】C

【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量々與B的夾角，代入新定義求解即可.

22

【詳解】由題意得歸-坂卜+片=A/l-2xlxV2cos6?+（V2）=b

又。E[0,兀],所以sin。=

所以々十加=?！?^Z

22

故選：C

6.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究：如圖1,水平放置的正方體容器中注入了

一定量的水；現(xiàn)將該正方體容器其中一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DB,DC三條棱與

此時(shí)水平面為mK,如圖2所示.若在圖2中鬻j則在圖I中

水平面所成角均相等,

一

圖1圖2

448

A.-B.D.—

98127

【正確答案】B

【分析】設(shè)出正方體的邊長(zhǎng)，利用水的體積相等建立方程求解

【詳解】當(dāng)D/,DB,OC三條棱與水平面所成角均相等時(shí)，三棱錐”次為正三棱錐,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3,

則DH=DK=DJ=2,

11144

所以VD-HJK=^SADHJ.DK=\XXX2X2X2=彳，則題圖1中k=32.￡尸=彳,

33233

4

則收，所以箓=4

EG81

故選：B

7.已知中，角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若/+62>°2,則“3C是銳角三角形

B.若sin/=cos8,則23C是直角三角形

C.若/tanB=b2tanA，則^ABC是等腰三角形

D.若cos（/-_B）cos（8-C）cos（C-/）=1,則"3c是等邊二角形

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正、余弦定理結(jié)合三角函數(shù)、三角恒等變換逐項(xiàng)分析判斷.

2>2_2

【詳解】對(duì)于A：若/+62>02,則cosC="+"-c>0,

2ab

因?yàn)镃e（O,兀），可得C為銳角，

但不確定45是否為銳角，所以不能確定力5。的形狀，給A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)?￡（0,兀）,則sin/=cos8>0,

可得5￡（0,]],且sinA=cosB=sin或sinA=cosB=sin[3+臺(tái)]，

7TTT

可得N=或/=彳+2,故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C：若/tan8=62tanN,由正弦定理可得：sin2^x^-=sin2

cos3cosA

因?yàn)?3E（0,兀），則sin/w0,sinBw0,

可得sin4cos4=sin5cos3,整理得sin2/=sin23,

JT

所以2/=22或24+23=兀，即/=8或/+2=—,

2

可知“BC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：因?yàn)?因Ce（o,7i）,則e（-兀，兀）,B-Ce（-7t,7t）,C-/e]兀,兀）,

可得cos（4-8）e（-1,1],cos（3-C）e卜1,1]cos=^1,1],

若cos(N-2)cos(8-C)cos(C-/)=1,則cos(/-8)=l,cos(5-C)=l,cos(C-/)=1,

可得Z-8=0,6-C=0,C-/=0,即Z=8=C,

則是等邊三角形，故D正確；

故選：D.

8.如圖，平面尸48,平面a,ABua,且AP/B為正三角形，點(diǎn)。是平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

N2CD是菱形，點(diǎn)。為中點(diǎn)，/C與。D交于點(diǎn)。，/ua,且則尸。與/所成

角的正切值的最小值為（）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意分析可得尸。與/所成角即為ZP0N,設(shè)//8C=8,分析可得

tanZPg^=.-1+VUSt7：°，換元結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

V1-COS26(

【詳解】分別過(guò)2。作的垂線，垂足為連接尸N,

由題意可得：P。與/所成角即為NPQN,

因?yàn)镼NJ.4B,平面P48_L平面c,平面P/Bc平面e=48,0Nu平面e,

所以0N1平面尸4g,

尸Nu平面P48,則0N_LPN,

設(shè)AB=3,NABC=9,

在RtZ14DAf中，可得DVf=3sin。,4M=3cos6,

HQN==sin0,ON=^OM=；+cos6,

又因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)。為48中點(diǎn)，則尸O_L48,尸。=孑?，

可得PN=y/po2+ON2=j乎]+[-

+cos可=Jcos20+cos0+7，

mlPNJcos2e+cos6+7_/cos2^+cos^+7_1]+cos6+8

則tan/PON=——=----------------------二

~QNsin6V1-cos20v1-cos26

令％=8+cos3G(7,9),貝!Jcos3=t-Sf

—rZQtanZ.PQN—/1+2—J1+t]?1

可得\l-(t-8)2V-f2+16?-63r63、，/

因?yàn)棰水?dāng)且僅當(dāng)一=，，即/

=6,=36■時(shí)，等號(hào)成立,

所以tan*小+覆+]6=7，

即P。與/所成角的正切值的最小值為J+字.

故選：D.

P

/占/

關(guān)鍵點(diǎn)睛：尋找合適變量表示相關(guān)長(zhǎng)度，本題選擇=進(jìn)而可結(jié)合基本不等式運(yùn)算

求解.

二、多選題

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.2+i>l+i

C.若z=（l-2i『，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足目=2,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以。為圓心，以2為半徑的圓

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，運(yùn)算，幾何意義，判斷選項(xiàng).

234

【詳角軍]A.i+i+i+i=i-i-i+i=o,故A正確；

B.虛數(shù)不能比較大小，故B錯(cuò)誤；

C.z=（l-2i『=-3-4i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-3,-4）,在第三象限，故C錯(cuò)誤；

D.根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，可知D正確.

故選：AD

10.關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若.〃],b//c>則a〃c

B.若1=（1,2）,6=（4,3）,則Z在B方向上的投影向量是

C.若￡=（4,2）,S=（l+2,-l）,且"與B的夾角為鈍角，則（-2,1）

ABADAC

D.若CU+OC=O8+O。且同+國(guó)=園，則四邊形48。為菱形

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)向量共線的概念判斷A；根據(jù)投影向量的概念判斷B；根據(jù)向量夾角的概念判

斷C；由向量的線性運(yùn)算得方=友，可得43co是平行四邊形，貝I益+石=就，由條

件結(jié)合平面向量基本定理可判斷D.

【詳解】若否=6,雖然有￡〃幾g〃"但不一定有￡〃入A錯(cuò)；

1一/、a'bb4+6.....86、

“=（1,2）,b=（4,3）,則&在B方向上的投影向量是耳聞=?。?,3）=（不?，B正確；

2

當(dāng)％=-]€(-2,1)時(shí)，a=-2b>兩向量方向相反，夾角為兀不是鈍角，C錯(cuò)；

^OA+OC=OB+OD>^OB-OA=OC-OD<貝1益=反，

所以/BCD是平行四邊形，則在+詬=就，

又衛(wèi)+通工即名將匹赤=元?jiǎng)t可=4=1,

\AB\\AD\\AC\\AB\\AD\\AB\\AD\

所以囤=|而卜斥J,所以/BCD是菱形，D正確.

故選：BD.

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體43co-4耳G，中，E,F分別為4B,BC的中點(diǎn)，貝！I()

A.過(guò)點(diǎn)，，E,尸的平面截正方體/BCD-4片G。所得的截面周長(zhǎng)為3行+逐

B.異面直線。。與片尸所成角的余弦值為手

c.點(diǎn)p為正方形44G〃內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)。尸〃平面與￡尸時(shí)，DP的最小值為逑

4

..3兀

D.當(dāng)三棱錐4-8射的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上時(shí)，球。的表面積為三

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行關(guān)系求截面，進(jìn)而可得周長(zhǎng)；對(duì)于B：根據(jù)異面直線夾角分析運(yùn)

算；對(duì)于C：根據(jù)面面平行分析判斷；對(duì)于D：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球分析運(yùn)算.

【詳解】對(duì)于A：連接/c，4G，

因?yàn)镋,尸為48,BC的中點(diǎn)，則E尸〃/C,

又因?yàn)?4J/CG，/4=CG，則44CC為平行四邊形，可得NC〃/Ci，

則E尸〃4cl,

過(guò)，作KZ//4G，設(shè)KLI4BI=K,KIABiQ=L,則KL//E尸,

可得K4=4昂CG=3|G，

連接K￡,C歹，設(shè)KEI/&=G,LFICC^H,連接。G,，

可得過(guò)點(diǎn)2,E,尸的平面截正方體438-44力01所得的截面為五邊形環(huán)7江>。，

2?

因?yàn)镵&=2NE/G=2。/，貝UG4=2NG=],〃G=2C〃=§,

可得DG=D[H=叵,GE=HF=叵,EFV2

362

故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：因?yàn)镈D\"BB\,則異面直線。A與旦尸所成角為/AS/,

可得名尸=好,84=1，所以cos/88/=瞿=攣，故B正確;

2B1F5

對(duì)于C：取4M，4A，GA的中點(diǎn)MQ,N,連接AM,MN,QN,DN,NQ,

由題意可得：AEHB.M,AE=B、M,則4匹陽(yáng)為平行四邊形，所以用E〃/M,

又因?yàn)锳CV〃/Qi，MN=AR,且4D=AR,

可得MN//AD,MN=AD,則/ACVD為平行四邊形，所以AM1IDN,

可得B///DN,

8]￡u平面呂跖，DNa平面,則￡W〃平面產(chǎn)，

又因?yàn)?N///￡,且E尸///￡,可得QN〃E尸，

EFu平面B[EF,QN(Z平面BXEF,則QN//平面BXEF,

DNIQN=N,DN,QNu平面DNQ,所以平面DNQ//平面B}EF,

則點(diǎn)P在線段0N上，可得QN=與,DQ=QN=*,

所以當(dāng)點(diǎn)P為線段QN的中點(diǎn)時(shí)，O尸取到最小值小行一總”

故C正確;

對(duì)于D：三棱錐4-8跖的外接球即為以巴氏BE,8尸為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球,

因?yàn)橛?=l,BE=BF=g,可得外接球的半徑R=1^52+BE1+BF2=乎，

所以外接球的表面積s=4兀玄=故D正確；

2

故選：BCD.

12.如圖，在AABC中，8C=拒AC,NBAC=60。，點(diǎn)。與點(diǎn)2分別在直線AC兩側(cè)，且ND=2,

DC=24,當(dāng)3。長(zhǎng)度為何值時(shí)，A/CD恰有一解（）

D.6G

【正確答案】ABD

【分析】在AABC中，利用余弦定理可得/8=2小，進(jìn)而可得NC/8C,在A/C。中，利用

2

正、余弦定理可得力=16-8百?cos6,sin//CD=—sin。，在△BCD中，利用余弦定理

m

分析運(yùn)算即可.

【詳解】在AASC中，設(shè)BC=VL4C=6/>0，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC,

貝|3〃72=AB2+m2~2mAB'-,即/爐-mAB-2m1-0,

2

解得48=2加或48=-加（舍去），

則叱+叱=/爐，可得/C/BC.

在ANCA中，設(shè)/ADC=6,

由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC.

即m2=4+12-2x2x273cos(9=16-873-cos(9-

ADAC4Dsin/4DC

由正弦定理可得貝l]sin//C￡)==—sin<9

sinZACDsin/ADCACm

在△8。中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD,

貝I」BD2=3加2+12-2y[3mx26■cos+ZACD^=3m2+12+12mxsinZACD

=3(16-8>/3-cos6?)+12+24sin6>=48sin^-1^+60,

因?yàn)?。€(0,兀)，則6-

若“co恰有一解，貝回或"十不

J、JJ/J4

可得助2e(60-246,60+246)或臺(tái)加=108,

62=36e(60-2473,60+2^3)(4j~^=96460-24/-3,60+2門(mén),

21?_441(60-24A60-2碼,(6/5不二暖,

T)一三任

故A、B、D正確，C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

方法點(diǎn)睛：在處理解三角形的范圍（或最值）問(wèn)題時(shí)，常利用正、余弦定理進(jìn)行邊化角，再

結(jié)合三角函數(shù)分析求解.

三、填空題

13.如圖，A48'C'是斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的2BC的直觀圖，。，是B'C’的中點(diǎn)，且

B'C=2,則“BC的面積是

【正確答案】4

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法確定原圖形，求解即可.

【詳解】由圖象知:BC=B'C'=2,AD=2A'D'=4,

AD1BC,。為8C的中點(diǎn)，

M8C的面積S」x8Cx/D=4.

2

14.已知圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為6,若該圓臺(tái)的體積為104兀，則其母線長(zhǎng)為

【正確答案】2后

【分析】由圓臺(tái)的體積求得圓臺(tái)的高力，作出圓臺(tái)的軸截面，由勾股定理可求得結(jié)果.

【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為6,設(shè)圓臺(tái)的高為肌

貝!]該圓臺(tái)的體積為憶=；nx(22+6?+2x6)x/?=^/?=104i,貝|/?=6,

作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，

上底面圓心為下底面圓心為N,MD=2,NC=6,

過(guò)。作?！阓LNC,貝i]EC=6-2=4,又DE=h=6,

所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為DC=y)DE2+EC1=2而.

故答案為.2舊

15.矩形/BCD中，48=4,AD=3,AD的中點(diǎn)為折疊矩形使得點(diǎn)/落在邊CD上,

則點(diǎn)M到折痕的距離的取值范圍是.

-Q-

【正確答案】

【分析】設(shè)折疊矩形使得/落在邊CD上4,當(dāng)4在。處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)即點(diǎn)M到折

痕E尸的距離為0.當(dāng)4到C處時(shí)，取得最大值，求出|4W|,即可求出答案.

【詳解】設(shè)折疊矩形使得N落在邊上4，

當(dāng)4在。處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)即點(diǎn)M到折痕E尸的距離為0.

當(dāng)4從。向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中（如圖1），

中點(diǎn)為。，則（W_L4D,過(guò)M作于點(diǎn)N,

則|ACV|=|（W|sin/MO尸，此時(shí)QW在增大，sin/必加也增大，

故當(dāng)4到。處時(shí)，1匝|取得最大值（如圖2）,

48

此時(shí)|（W|=2,sinNMOF=oosABAC--,所以|MTV|=1，

~Q-

故點(diǎn)河到折痕的距離的取值范圍是0號(hào).

Q

故0'5

16.平面向量同=20=0,1,2,3）,且4+%+%=0,則,（）+4+可+|%+4+可+|旬+出+可

的取值范圍是.

【正確答案】[4^,8]

【分析】由題意可得I，Z，Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)48C在半徑為2的圓上，且“3C是等邊三角

形，且所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為|￡-鼻+H-可+,-q，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)￡到點(diǎn)4民C

的距離之和，即|區(qū)4|+|EB|+|EC|,再利用不等式的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)即可求解.

C

D

【詳解】

3_

因?yàn)橄蛄繚M足匐。=」,）

1=202,3,且=o，

Z=1

所以7，Z，Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)48C在半徑為2的圓上，且AABC是等邊三角形,

+%+%卜聯(lián)+?2+?3|=E

即圓上的E點(diǎn)到點(diǎn)4且C的距離之和，即忸H+|班|+忸C|,

若點(diǎn)E不與4民C重合，不妨設(shè)點(diǎn)E在北上,

plij\E^+\EC\>\AC\,\EB\>\AB\,

\EA\+\EB\+\EC\>\AB\+\AC\,

故點(diǎn)E在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|E4|+\EB\+\EC\>\AB\+\AC\,

又因?yàn)闉榘霃綖?的圓的內(nèi)接等邊三角形，

所以|/C|=|/可=4x與=20,

所以|區(qū)4|+忸同+|￡C|24百，

由余弦定理可得：,C「=+|￡C|2-2-|￡C|COSAAEC且N4EC=y,

即12=（忸H+|EC『-|E/HEC|,所以忸/忸。=（但4+|￡4）2-12g（|M）2-

可得I切|+|EC|V4,當(dāng)且僅當(dāng)|胡|=忸。即點(diǎn)E與點(diǎn)。（就的中點(diǎn)）重合時(shí)，等號(hào)成立，

又因?yàn)殁钔?忸。=4,所以忸/|+忸同+忸。區(qū)8當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)￡是就、誦、病的中點(diǎn)時(shí)，

等號(hào)成立，

所以,0+%+司+|/+%+,+|&+。2+可的取值范圍為瓦q,

故答案為.[4君,8]

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知條件將I，%,Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)48,c在單位圓上,

且“BC是半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到4昆C三點(diǎn)的距離之和.

四、解答題

17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)不為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,-3),(?,1),awR,且三為純虛數(shù).

(1)求。的值；

(2)若4的共輾復(fù)數(shù)I是關(guān)于x的方程,+PX+g=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)Dg的值.

【正確答案】(1)3

(2)0=-2,q=10

【分析】(1)首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示4/2,再表示2,根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，求參數(shù)。的

值；

(2)首先將復(fù)數(shù)I代入方程，根據(jù)實(shí)部和虛部為o,求實(shí)數(shù)p，q的值.

【詳解】(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z=l-3i,Z2=a+i,

z2_(a+i)_(a+i)(l+3i)

^"(l-3i)-(l-3i)(l+3i)

(〃-3)+(3a+1)i

???幺為純虛數(shù),a—3=0

3。+1w0

（2）4=l+3i,

由條件可知，（l+3i『+p（l+3i）+q=0,即（一8+。+q）+（6+3p）i=0

f-8+p+q=0

L/",解得：P=-2,4=10

[6+3/2=0

18.如圖，在四棱錐尸-/3C￡＞中，底面四邊形/BCD的邊長(zhǎng)均為2,且

ZBAD=60°,PD1DC,PBLAC,棱尸。的中點(diǎn)為

B

⑴求證：尸。_L平面4BCD；

Q）若APDB的面積是2次，求點(diǎn)P到平面BCM的距離.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵后

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）利用三棱錐的體積關(guān)系，求解點(diǎn)P到平面3cM的距離即可.

【詳解】（1）因?yàn)?BCD為菱形，所以ZC工30.

又因?yàn)锳C工PB,PBcBD=B,尸氏助u平面尸BD

所以NC_L平面?30.

因?yàn)镻Du平面尸BD,所以尸Z>_LZC.

又由已知尸D，DC,/Cc￡?C=C,ZC,DCu平面/BCD

所以尸D_L平面/BCD.

（2）因?yàn)镸為尸。的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P到平面MC3的距離等于點(diǎn)。到平面MC8的距離.

由（1）知，PD±nABCD,所以?尸。=2行.

又因?yàn)?840=60°,所以3。=2,所以產(chǎn)。=2而，貝=；尸。=痛.

設(shè)點(diǎn)D到平面BCM的距離為d,所以VM-BCD=^D-BCM-

因?yàn)镾BC?=-JBC-Cr>-sin60°=-x2x2x—=V3,所以嗑_BC?=4刖.MD=?.

在AMCB中，MB=yjMD2+BET=而了+22=710，

MC=4MD1+DC1=，（&『+/=M,BC=2,

二匚I、I//萬(wàn)MB?+MC?—BC?10+10-44p/z?”廠（\;匚I、I

所以cos/BMC=------------------------=--------------=—，又NBMC￡（0,7i）,所以

2MBMc205

sinZBMC=A/1-cos2ZWC=-,

5

所以==所以%_"虛=g.1以=也'

所以d=5/2.

19.^.@acosB-bcosA=c-b,?tanA+tan5+tanC-V5tanBtanC=C,③A?15C的面積為

go僅sinB+csinC-asin/）,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.

在"3C中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.

（1）求角4

⑵若a=8,AABC的內(nèi)切圓半徑為百，求“8C的面積.

【正確答案】（1）4=5

⑵116

【分析】（1）選①，根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角

和的正弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；

選②，根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正切公式及三角函數(shù)的特殊值

對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；

選③，根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)

特殊角注意角的范圍即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】（1）若選①，由acosB—6cos/=c—6及正弦定理，得

sinAcosB-cosZsin5=sinC-sinB,

即sinAcosB-cos力sin5=sin（%+8）—sin8,

即sinAcosB-cos^4sinB=sin^4cosB+cos24sinsinZ,

所以2cos/sin8=sin8,

因?yàn)?<5<兀,所以sin5w0,

所以cos/=；,又0</<兀，

所以ZJ.

若選②，由tan/+tan8+tanC-tanBtanC=C,得

tan4+tan5tan^4+tan5

tanC==—tan(A.+垃=

V3tanB-1l-tan^-tan5

**?Gtan5=tan4?tan5，

jr

因?yàn)?<5<兀,所以tanBwO,當(dāng)5=一時(shí)，tanB不存在,

2

所以tan/=抬'，又0</〈兀，

所以/4.

因?yàn)榈拿娣e為:(

若選③,AABCQ6sinB+csinC—asinZ),

=；Q(6sinB+csinC-Qsin/)=；6csin4,

所以S^ABC

BPb2+c2-a2=beJ

所以cos/=0+：——=\,又0</<兀,

2bc2

所以/=%

(2)由(1)知，4=方,

??,松5C內(nèi)切圓半徑為6，

]1

5(〃+6+c),VJ=—be-sinA,即(6+C+8>A/^=—^~bc

b+c+8=—be@,

2

由余弦定理，^a2=b2+c2-2bccos—,BPb2+c2-2bc?—=64,

-32

所以9十°)2-3兒=6崛,

聯(lián)立①②，得與c-8)-3兒=64,解得慶=44,

所以二；義44*9=116?

―?1-?

20.在zUBC中，已知45=2,/。=3,尸在線段5C上，^BP=-BC,0是邊45(含端

點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)；

A

BPC

—.2—?

(yy^AQ=-AB,。是/P中點(diǎn)，求證：C,0,。三點(diǎn)共線.

(2)若存在點(diǎn)。使得N_L西，求COS/B/C的取值范圍及邑陽(yáng)C的最大值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)-J-J，最大值為^^

【分析】(1)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線的判定定理分析證明；

47

(2)根據(jù)向量垂直的可得cos/A4c=-§-而②，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析運(yùn)算.

—?1——?—?—?1——?1——?—?1——?2—?

【詳解】(1)因?yàn)?尸=—BC,所以4尸—/B=—ZC——AB,BPAP=-AC+-AB-

33333

uuwiuuriuuuriuur

又因?yàn)?。為線段4尸的中點(diǎn)，所以，尸=74。+/人

263

因?yàn)槎?《您，所以*=一1下+就，

^^)OC=AC-Ad=-^AB+^AC

―?5―?

所以O(shè)C=：0C,因此C,。，。三點(diǎn)共線.

6

(2)r^^AP=-AC+-AB,

33

又因?yàn)槲?而-次，設(shè)而，刀(OW”l),

則①=/方-而

由萬(wàn),麗可得力.函=0,即［:就萬(wàn)一%）=0,

t—?—?1I--\22I--|22—?—?t—28

所以--AC-AB=0,BP—x6cosZ^C-3+-Z=0,

整理得cosZBAC-3'__3（’_卜3__1__Z_,

2（/-2）2a-2）36（Z-2）

「i47」

因?yàn)樽鳎?川，V=-同聲在［0』上單調(diào)遞增，

4731

故cosZ.BAC=

3-6（Z-2）

47

又因?yàn)镾&AQC=tS^ABc=^tABXACXSinBAC=3心-cos?ZBAC=3/1-

36(Z-2)

可知邑4BC是關(guān)于，的函數(shù)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=l時(shí)，S“BC最大值為手.

21.如圖，在四棱錐尸-NBCD中，底面/BCD為直角梯形，且//DC=48CZ)=90。，

AD=2BC=2,DC=3,PA=PD,平面尸平面4BCD,點(diǎn)M在線段依上，尸?！ㄆ?/p>

面MAC.

(1)判斷"點(diǎn)在尸2的位置并說(shuō)明理由;

(2)記直線ZW與平面的交點(diǎn)為K,求生；的值；

KM

(3)若異面直線CW與為所成角的余弦值為求二面角M-CO-N的平面角的正切值.

【正確答案】(1)M為網(wǎng)上靠近3的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

DKc

⑵元:3

(3)—

3

【分析】(1)連接2。交NC于。，由〃平面M4C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得答案;

(2)連接。尸，則。尸cDW=K,由可求得結(jié)果；

(3)取4D中點(diǎn)〃，過(guò)M作可知MG//PH,取48靠近/的三等分點(diǎn)N,可知

MN//PA,所以或其補(bǔ)角就是異面直線CN與NP所成角，由條件證得尸打，平面

ABCD,MGJ_平面/BCD,令PH=t,計(jì)算MG,MN,CN,CM,利用余弦定理，由

cos/CAW=±*得/一31/=0,解得f,過(guò)G作GQLC。交CD于0,由CD,平面MG。

得COLM。，所以/MQG就是所求二面角的平面角，求解即可.

【詳解】(1)連接2。交/C于。，連接。

因?yàn)槭！ㄆ矫鍹4C,PDu平面尸AD,平面M4CC平面尸=,則尸￡)〃(W.

BO1

因?yàn)锳D//BC,AD=2BC=2所以五二5

則。為BD靠近B的三等分點(diǎn)，所以M為依上靠近B的三等分點(diǎn).

(2)如圖，連接。P,則。尸cDW=K,

DKPD導(dǎo)

因?yàn)镻0〃(W,貝!J--

KMOM

(3)取40中點(diǎn)"連接尸77,HB,

過(guò)M作司邦MGHPH.

取N5靠近8的三等分點(diǎn)N,連接MV,NC,可知MNUPA,

所以NCAW或其補(bǔ)角就是異面直線CM與/尸所成角，如圖.

因?yàn)槠矫媸?D_L平面N8CD,平面尸40c平面4BCD=4D,PHLAD,PHu平面尸40,

所以尸H_L平面488,因此MG_L平面4BCD.

令PH=t,t>0,計(jì)算得：MG=；PH4,MN=：PA=g4^,

c^=f>HH=r

22勿+2

■：GB=\,BC=1,:.GC=6,CM=>JGC+MG=-----rZ,

9

所以，cos2cMN/"+M"-CN-=±旦,即/一31』=。，解得/=同.

2CM-MN2

過(guò)G作GQLC。交CD于。，連接MQ.

平面ABCZ>,。(=平面/3?！?gt;,;.〃6_1_0),

GQ^MG=G,G0,MGu平面MGQ,\C?！矫鍹GQ,

?.,屈6￡=平面苗60,，。1)_1_〃0,

所以ZMQG就是所求二面角的平面角，

匚匚八彳八"MGtVsT

月f以，tan/MQG-....-

GQ33

2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單選題

1.有下列四個(gè)命題：①過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②矩形是平面圖形；③三條直線兩兩相交,

則確定一個(gè)平面；④一條直線和該直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是

().

A.①②B.①③C.②④D.②③

【正確答案】B

【分析】由立體幾何知識(shí)對(duì)結(jié)論逐一判斷

【詳解】對(duì)于①，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，矩形是平面圖形，②正確，

對(duì)于③，若三條直線交于同一點(diǎn)，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤

對(duì)于④，一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，④正確.

故選：B

2.設(shè)。、6是兩條直線，式、萬(wàn)是兩個(gè)平面，則能推出6〃a的一個(gè)條件是()

A.alia,allbB.alip,blip

C.aC\/3=l,billD.alip,bu(3

【正確答案】D

根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的條件推導(dǎo)出直線6與平面e的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若a//a,allb,則Ma或6ua；

對(duì)于B選項(xiàng)，若a//￡,blip,則6//a或6ua；

對(duì)于C選項(xiàng)，若an尸=/,bill,則6〃a或6ua；

對(duì)于D選項(xiàng)，若a//。，bu/3,由面面平行的性質(zhì)可知b//a.

故選：D.

本題考查線面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列說(shuō)法正確的是()

A.i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個(gè)虛數(shù)

B.-1的平方根是土i

C.歷(beR)是純虛數(shù)

D.若2=a(aeR),則復(fù)數(shù)z沒(méi)有虛部

【正確答案】B

【分析】用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷即可

【詳解】A：i表示虛數(shù)單位，也是一個(gè)虛數(shù)，故A錯(cuò)誤;

B：由(土i『=T,可知-1的平方根是土i,故B正確；

C：當(dāng)6=0,歷是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；

D：若z="aeR),則復(fù)數(shù)z虛部為0,故D錯(cuò)誤；

故選：B

4.已知銳角△A8C的內(nèi)角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若4=a=C，貝！l/+c?

的取值范圍是()

A.(2,6]B.(3,6]C.(4,6]D.(5,6]

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理和三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)可求〃+c?的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?=:，a=g，故三角形外接圓直徑為2R="1=2,

3sin—

3

2222

故/+(?=4露^sin5+sinC)=4sin5+4sinC

=4+2si“25—E

0<B<-

因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故c2,故

271_7162

0n<-------B<—

[32

,,71cc兀5兀,,1.(cn兀

故一<25—<—,故<sin25+：VI,

6662I6)

^b2+c2e(5,6],

故選：D

5.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方形/BCD為底面,

則四邊形EFG”的形狀為()

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.矩形

【正確答案】B

利用面面平行的性質(zhì)判斷E尸與GH的平行、即與尸G平行.

【詳解】因?yàn)槠矫鍭BFE//平面CGHD，且平面EFGHPl平面ABFE=跖,平面EFGH口平面

CGHD=G”,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知E尸〃GH,同理可證明EHIIFG.

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

故選：B.

本題考查長(zhǎng)方體截面形狀判斷，考查面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.

6.“8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.若2b=6a,1=?，則cos3=()

A.土巫B.+—C.—D.—

4444

【正確答案】C

【分析】利用正弦定理邊化角求出sinB,再結(jié)合同角公式計(jì)算作答.

【詳解】在"3C中，由正弦定理及26=6。得：2sin5=>/3sin=V3sinj,解得

,V6

sinBD=--9

4

在。中，b=—a<aB<A,于是5為銳角，

2

所以cosB-Vl-sin25=.

故選：C

7.在A/BC中，2