專題8.6幾何體與球切接截的問題

專題8.6幾何體與球切、接、截的問題【核心素養(yǎng)】1.通過考查棱柱、棱錐或不規(guī)則幾何體的特征及體積與表面積的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2.結(jié)合三視圖、直觀圖，主要考查幾何體與球的組合體的識辨，幾何體與球切、接、截等問題計算，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．知識點知識點一多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都平行且相等棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分知識點知識點二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線直徑所在的直線母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)知識點知識點三幾何體的側(cè)面積、表面積圓柱的側(cè)面積圓柱的表面積圓錐的側(cè)面積圓錐的表面積圓臺的側(cè)面積圓臺的表面積球體的表面積柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.知識點知識點四幾何體的體積圓柱的體積圓錐的體積圓臺的體積球體的體積正方體的體積正方體的體積知識點知識點五球的性質(zhì)（1）過直徑的兩個端點可作無數(shù)個大圓；（2）球的任意兩個大圓的交點的連線是球的直徑；（3）用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面．知識點知識點六多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝，外接球半徑R＝.(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝.(3)設(shè)正四面體的棱長為a，則它的高為H＝，內(nèi)切球半徑r＝H＝，外接球半徑R＝H＝.?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：球與球的外切問題【典例分析】例11．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在課堂上提出了這樣一個問題：現(xiàn)有10個直徑為4的小球，全部放進棱長為a的正四面體盒子中，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析10個小球在正四面體內(nèi)的位置情況，把正四面體的高用小球半徑與正四面體的棱長表示，列等式即可求解.【詳解】我們先來證明如下引理：如下圖所示：設(shè)正四面體棱長為，面，，所以，，顯然為面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四面體的高等于其棱長的面倍.接下來我們來解決此題：如下圖所示：10個直徑為4的小球放進棱長為a的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個數(shù)依次為：1，，個，當(dāng)a取最小值時，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于每層正三角狀頂點的所有上下相鄰小球的球心連線為一個正四面體，則該正四面體的棱長為，可求得其高為，所以正四面體的高為，進而可求得其棱長a的最小值為．故選：B.例12.（2023·全國·高三專題練習(xí)）個半徑為的中球上層個、下層個兩兩相切疊放在一起.(1)有個空心大球能把個中球裝在里面，求大球的半徑至少是多少？(2)在它們圍成的空隙內(nèi)有個小球與這個中球都外切，求小球的半徑？【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)球心構(gòu)成的正四面體的外接球的半徑，進而可求解.【詳解】（1）四個小球的關(guān)系如圖所示：設(shè)，，，分別為四個小球的球心，則顯然幾何體是正四面體，棱長為2，設(shè)是正四面體的外接球的球心，將該正四面體放入正方體中，設(shè)正方體的棱長為，且正方體的外接球的半徑為,則，,因此正四面體的外接球的半徑為，因此大球的半徑至少為；則這四個實心小球可以放入一個半徑至少為的大球內(nèi)部，（2）可知該小球和（1）問中的最小的大球是同心球，則小球的半徑是最小的大球的半徑減去一個中球的直徑，即.【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2.球外切時，注意球心連線構(gòu)成幾何體的特征.【變式訓(xùn)練】變式11.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）將4個半徑為的球堆放在一起，且兩兩相切，記與這4個球都內(nèi)切的大球的半徑為R，記與這4個球都外切的小球的半徑為r，則.【答案】【分析】先用四個球的球心構(gòu)成正四面體的頂點，再根據(jù)四面體中心到各頂點的距離為3，分別表示四面體的內(nèi)切球和外接球半徑即可.【詳解】

由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體是正四面體，將堆放在一起的四個球球心連在一起，形成一個棱長為的正四面體，此正四面體的中心即為題中與4球內(nèi)切大球球心和與4球外切小球的球心，將正四面體補形成一個正方體，正方體的棱長為，正四面體的棱是正方體各面的對角線，如圖所示，則正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即外接球的半徑，四面體中心到各頂點的距離為3，所以，，故答案為：.變式12.（2023·全國·高三專題練習(xí)）將個半徑為的球和個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個較小的球，個球兩兩相切，求上層小球的最高點到桌面的距離.【答案】【分析】設(shè)下層三個半徑為1的球的球心構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，上面小球的球心和這個等邊三角形構(gòu)成側(cè)棱長為的正三棱錐，上層小球的最高點到桌面的距離為小球半徑、大球半徑與正三棱錐的高相加之和．【詳解】將球心連接起來構(gòu)成側(cè)棱為，底面邊長為的正三棱錐,設(shè)底面三角形的中心為，則故正三棱錐的高，顯然平面到桌面的距離為，所以上層小球的最高點到桌面的距離為.題型二：球與正方體的球、接問題例21.（2006·山東·高考真題）正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可設(shè)正方體的棱長為，然后求出內(nèi)切球的體積，最后求出外接球的體積，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，因為正方體的內(nèi)切球的直徑即正方體的棱長，所以內(nèi)切球的半徑，體積，因為正方體的外接球的直徑即正方體的體對角線，所以外接球的半徑，體積，則內(nèi)切球和外接球的體積之比為，故選：A.例22.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時半徑最大，當(dāng)邊長為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時半徑達到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當(dāng)球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：【總結(jié)提升】（1）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（2）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（3）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．【變式訓(xùn)練】變式21.（2016·全國·高考真題）體積為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為正方體的體積為8，所以棱長為2，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為，故選A.【考點】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點睛】與棱長為的正方體相關(guān)的球有三個：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為、和.變式22.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．【答案】12【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點總數(shù)為12.故答案為：12題型三：球與長方體的切、接問題【典例分析】例31.【多選題】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在長方體中，，點在底面的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點滿足，則B．點到平面的距離范圍為C．若點滿足，則不存在點使得D．當(dāng)時，四面體的外接球體積為【答案】ABD【分析】對于A，分析當(dāng)時的線面角可判斷；對B，判斷點到平面的距離最值即可；對C，設(shè)點與點重合，再根據(jù)余弦定理判斷即可；對D，由題意在線段上，再根據(jù)外接球性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示：對于A，當(dāng)時，與底面所成的角，又點所在區(qū)域為以為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），所以，故A正確；對于B，設(shè)，作交于，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，故.又，平面，故平面.則當(dāng)點位于線段上時，點到平面的距離最大，最大距離，設(shè)，作交于，同理平面.則當(dāng)與點重合時，此時點到平面的距離最小，最小距離為，由直角三角形性質(zhì)可得，所以，所以，故點到平面的距離的取值范圍為，故B正確．對于C．不妨設(shè)點與點重合，此時，，，由余弦定理得，則，故存在點使得，故C錯誤．對于D．當(dāng)時，因為，故此時在線段上，則四面體的外接球半徑為．外接球體積為，故D正確．故選：ABD例32.（2017·全國·高考真題）長方體的長，寬，高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為.【答案】【詳解】長方體的體對角線長為球的直徑，則，，則球的表面積為.【規(guī)律方法】（1）利用長方體的體對角線探索外接球半徑；（2）利用長方體的面對角線探索外接球半徑；【變式訓(xùn)練】變式31.（2010·全國·高考真題）設(shè)長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2【答案】B【詳解】方體的長、寬、高分別為,其頂點都在一個球面上,長方體的對角線的長就是外接球的直徑，所以球直徑為：，所以球的半徑為，所以球的表面積是，故選B變式32.（2023秋·天津河北·高三天津二中?？奸_學(xué)考試）長方體的一個頂點上三條棱長是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出球的半徑，由于直徑即是長方體的對角線，由此關(guān)系可求出球的半徑，即可得出球的體積.【詳解】設(shè)球的半徑為，由題意可知球的直徑即是長方體的體對角線，則，解得；所以.故選：A題型四：球與三棱錐的切、接問題例41.【多選題】（2023秋·廣東廣州·高三廣州市培英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體的所有棱長均為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．異面直線與所成角為 B．點到平面的距離為C．四面體的外接球體積為 D．四面體的內(nèi)切球表面積為【答案】BCD【分析】取中點，得到，證得平面，可判定A錯誤；過點作面，結(jié)合，可判定B正確；設(shè)為正四面體的中心，得到為內(nèi)切球的半徑，是外接球的半徑，求得，得出外接球和內(nèi)切球的半徑，結(jié)合表面積和體積公式，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，如圖所示，取中點，連接，因為且，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，所以異面直線與所成角為，所以A錯誤；對于B中，在四面體中，過點作面于點，則為為底面正三角形的重心，因為所有棱長均為，可得，所以，即點到平面的距離為，所以B正確；對于C、D中，設(shè)為正四面體的中心，則為內(nèi)切球的半徑，是外接球的半徑，因為，所以，即，所以四面體的外接球體積，所以C正確；四面體的內(nèi)切球表面積為，所以D正確.故選：BCD.例42.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.【規(guī)律方法】1.棱錐與外接球問題，首先要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內(nèi)切球）的關(guān)系，如正方體（長方體）的外接球（內(nèi)切球）球心是對角線的交點，正棱錐的外接球（內(nèi)切球）球心在棱錐的高上，對一般棱錐來講，外接球球心到名頂點距離相等，當(dāng)問題難以考慮時，可減少點的個數(shù)，如先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心，球心一定在過此點與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點到三頂點距離相等等等．2.若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心.【變式訓(xùn)練】變式41.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.變式42.（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測）在菱形中，，將沿折起，使得點到平面的距離最大，此時四面體的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．【答案】【分析】作出圖象，由題意可得平面平面．和均是邊長為2的等邊三角形，連接的外接圓的圓心為與四面體的外接球的球心為，在直角三角形中由勾股定理解出的值，再根據(jù)球的表面積公式計算即可.【詳解】解：如圖，設(shè)，因為四邊形為菱形，，所以和均是邊長為2的等邊三角形，則．因為翻折后點到平面的距離最大，所以平面平面．設(shè)的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，則平面，且．設(shè)，則，解得，所以外接球的半徑，所以四面體的外接球的表面積．故答案為：題型五：球與四棱錐的切、接問題【典例分析】例51.【多選題】（2023秋·新疆巴音郭楞·高三?？奸_學(xué)考試）（多選）正四棱錐的底面邊長是4，側(cè)棱長為，則（

）A．正四棱錐的體積為 B．側(cè)棱與底面所成角為C．其外接球的半徑為 D．其內(nèi)切球的半徑為【答案】BCD【分析】通過運算逐一判斷各個選項即可.【詳解】如圖所示：設(shè)為底面正方形的中心，所以.對于A選項：由棱錐體積公式可知，只需求出棱錐的高（即的長度即可），由已知底面正方形的邊長為4且側(cè)棱，所以有，且由勾股定理有，棱錐的高，綜上；故A選項不符題意.對于B選項：注意到，所以側(cè)棱與底面所成的平面角為，由以上分析可知，所以；故B選項符合題意.對于C選項:由對稱性可知正四棱錐外接球球心一定在高上.如圖所示：設(shè)點為外接球球心，，即，解得，故C選項符合題意.對于D選項：由以上分析注意到一方面有，另一方面，其中為內(nèi)切球的半徑分別為正方形的面積，顯然，且面積相等，所以只需求出等腰三角形的面積即可，其平面圖如圖所示：設(shè)為中點，所以，又，由三線合一可知，由勾股定理可得，所以，所以，結(jié)合以及可得，解得；故D選項符合題意.故選：BCD.【點睛】易錯點睛：對于A：選項求棱錐體積的時候，可能容易漏乘而導(dǎo)致錯選，記住棱柱和棱錐體積公式分別為和，分別代表對應(yīng)的底面積和高.對于B:容易錯在找出線面角或者計算方面.對于C:容易錯在球心位置搞錯或者計算方面.對于D:容易錯在用等體積法的時候漏乘，算三角形面積漏乘.總之扎實的計算功底以及對于每一個公式里面的具體字母的含義要弄清楚，這一點很重要.例52.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時，得，則當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是【規(guī)律方法】（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心；【變式訓(xùn)練】變式51.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，最大，此時．故選：C.【點評】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．變式52.（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，分別為，，的中點，點在棱上，且平面，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)線面平行先確定H點位置，再結(jié)合長方體的外接球的性質(zhì)確定球心及球半徑計算表面積即可.【詳解】

如圖所示，由題意可將四棱錐補形為長方體，延長交于兩點，連接，過點作交于點，易知此時平面，則由平行線分線段成比例及已知條件可得：，由長方體的外接球性質(zhì)可知，三棱錐的外接球的球心為其體對角線的中點，直徑為對角線，設(shè)球半徑為，則.故答案為：.題型六：球與棱柱的切、接問題【典例分析】例61.（2014·湖南·高考真題）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】試題分析：由三視圖可知，這是一個三棱柱，內(nèi)切球在正視圖的投影是正視圖的內(nèi)切圓，設(shè)其半徑為，根據(jù)三角形面積公式有.例62.（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為．【答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.【變式訓(xùn)練】變式61.（2007·遼寧·高考真題）若一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有定點都在一個球的面上，則此球的體積是．【答案】【分析】計算出正六棱柱的外接圓直徑，進而可求得外接球的半徑，利用球體體積公式即可計算出正六棱柱的外接球的體積.【詳解】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱外接球的球心，設(shè)球的半徑為，則，可作出正六棱柱的外接圓，可將正六棱柱放在圓柱中，如下圖所示：連接、，則，且，則為等邊三角形，則圓的半徑為，正六棱柱的側(cè)棱長為，設(shè)正六棱柱的外接球的半徑為，則，所以，，因此，正六棱柱的外接球體積為.故答案為：.變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱的六個頂點在球上，又球與此三棱柱的個面都相切，則球與球的體積比與表面積之比分別為.【答案】，【分析】欲求兩球體積之比與表面積之比，關(guān)鍵是求兩個球的半徑之比，先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系.【詳解】如圖：由題意可得兩球、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高，在中有,.故答案為：；題型七：球與棱臺的切、接問題【典例分析】例71.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．例72.【多選題】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺中，表示體積，下列說法正確的是（

）A．B．成等比數(shù)列C．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則D．若該三棱臺存在外接球，則【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換進行判斷；對于B，根據(jù)三棱臺可以拆3個三棱錐以及其體積公式進行判斷；對于C，根據(jù)三棱錐有內(nèi)切球，作截面與內(nèi)切球相切，則此球也是三棱臺的內(nèi)切球進行判斷；對于D，三棱臺的外接球在上下底面的投影點為兩個底面三角形的外心，得出三個直角梯形全等，再進行判斷.【詳解】對于A，如圖1，因為，，又在梯形因為，所以，所以.故A正確；對于B，設(shè)三棱臺上底面面積為，下底面面積為，高為h,則，又，所以，所以，所以成等比數(shù)列，故B正確；對于C，如圖2，設(shè)平面，三棱錐的內(nèi)切球為球，作截面與球相切，則球也是三棱臺的內(nèi)切球，顯然中最小，即不一定相等，故C錯誤；對于D，如圖3，若該三棱臺的外接球為為球，球在上下底面的投影點為，則分別為的外心，所以，，平面，平面，因為平面，所以，同理可證，所以四邊形是一個直角梯形，同理可得四邊形，也是直角梯形，所以三個直角梯形全等，則，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：多面體的外接球球心在組成多面體各面的投影點為該多邊形的外心，由外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為球心.【變式訓(xùn)練】變式71.（2022秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知正四棱臺的體積為，記側(cè)面與底面的夾角為，且，記正四棱臺的側(cè)面積為，底面積為，且，若正四棱臺所有頂點都在同一球面上，則該球的體積為.【答案】【分析】設(shè)正四棱臺的上下底面的邊長分別為，利用側(cè)面與底面的夾角表示正四棱臺的高，再利用體積與面積建立關(guān)系式，進而解得，再由正四棱臺所有頂點都在同一球面上，建立球的半徑關(guān)系式，進而求得球的體積.【詳解】不妨設(shè)，，又因為，所以，則正四棱臺的高為所以正四棱臺的體積為即

①又因為，所以

②聯(lián)立①②解得：，，設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑，，所以，，高為設(shè)球心到上下底面的距離分別為，，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得，即符合題意，所以球的體積為.故答案為：.變式72．（2023·全國·校聯(lián)考二模）在正四棱臺中，上?下底面邊長分別為，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的高為.【答案】1或7【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，分球心在線段上和在的延長線上兩種情況，求出高.【詳解】設(shè)正四棱臺的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點，連接相交于點，連接，則球心在直線上，連接，如圖1，當(dāng)球心在線段上時，則，因為上?下底面邊長分別為，所以，由勾股定理得，，此時該正四棱臺的高為，如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時，同理可得，，此時該正四棱臺的高為.故答案為：1或7題型八：球與圓柱的切、接問題【典例分析】例81.（2023秋·四川眉山·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，利用勾股定理求出，再根據(jù)圓柱的體積公式計算可得.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得或（舍去），所以圓柱的體積.故選：C例82..【答案】【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得的值，進而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圓柱的底面半徑可以求出的值，進而可以求出離心率.【詳解】如圖所示：由題意可得，所以，又因為，結(jié)合可知，所以，而，即，所以，所以離心率.故答案為：.【總結(jié)提升】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.球與旋轉(zhuǎn)體切、接問題，要充分利用對稱性、軸截面.【變式訓(xùn)練】變式81.，內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的軸截面分析可得，，進而結(jié)合表面積公式運算求解.【詳解】設(shè)圓柱的母線長為，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則其軸截面如圖所示，則，，則，所以.故選：C.變式82．（2023春·新疆·高一兵團第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，、為圓柱上、下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，有以下三個命題：①四面體體積的取值范圍為；②球的表面積是圓柱的表面積的；③若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為．其中所有正確的命題序號為.【答案】①【分析】四面體的體積等于，計算可判斷①，利用球體和圓柱的表面積公式可判斷②；在底面的射影為，令，可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出PE+PF的取值范圍，可判斷③．【詳解】連接，如圖所示，由題可知四面體的體積等于，點到平面的距離，又，，故①正確；球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，又球的表面積為，圓柱的表面積為，∴球與圓柱的表面積之比為，∴②錯誤；由題可知點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，如圖所示，則，，，由勾股定理可得，令，則，其中，，，，，∴，∴③錯誤．故答案為：①題型九：球與圓錐的切、接問題【典例分析】例91.（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）暑假期間，同學(xué)們參加了幾何模型的制作比賽，大家的作品在展覽中獲得了一致好評．其中甲的作品是在球當(dāng)中放置了一個圓錐，于是就產(chǎn)生了這樣一個有趣的問題：已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，若圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出母線，再根據(jù)圓錐的外接球計算即可.【詳解】圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，設(shè)圓錐的母線長為l，所以，解得．設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，所以，解得，所以圓錐的高，設(shè)球O的半徑為R，所以，解得，所以球O的表面積等于．故選:B．例92.（2024秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的體積為，若球在圓錐內(nèi)部，則球體積的最大值為.此時圓錐的底面圓的半徑為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，可得球是圓錐的內(nèi)切球，作出圓錐的軸截面并設(shè)軸截面等腰三角形底角為，把球半徑表示為的函數(shù)，再換元求出最大值即可求解作答.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，當(dāng)球為圓錐的內(nèi)切球時，球的體積最大，作出圓錐的軸截面，內(nèi)切圓圓心為，中點為，如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，球的體積，設(shè)，則，其中，于是，即有，，因此圓錐的體積，則，令，即，于是，，令，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，，，所以球體積的最大值為，此時，則有，，所以圓錐的底面圓的半徑為.故答案為：；【變式訓(xùn)練】變式91.（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】軸截面四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，求出半徑，再根據(jù)球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，則四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由，得，則，，所以.故選：D.變式92．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為，當(dāng)該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.【答案】2:1/2【分析】根據(jù)三角形相似得出圓錐的底面半徑和高的關(guān)系，根據(jù)體積公式和基本不等式即可求解．【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則當(dāng)圓錐體積最小時，如圖，由可得：，即，進而，圓錐的體積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故答案為：2：1題型十：球與圓臺的切、接問題【典例分析】例101.【多選題】（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（

）A．該圓臺軸截面ABCD的面積為B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為【答案】AB【分析】求出圓臺的高可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B，C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓可判斷D.【詳解】對于A，由，可得高，則圓臺軸截面ABCD的面積為，故A正確；對于B，圓臺的側(cè)面積為，又，，所以，故B正確；對于C，圓臺的體積為，故C錯誤；對于D，若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABCD存在內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯誤，故選：AB.例102.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓臺的體積為，其上底面和下底面的面積分別為，且該圓臺兩個底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圓臺體積求出圓臺的高，再設(shè)出球心到下底面的距離，列出方程，求出外接球半徑，從而求出表面積.【詳解】設(shè)該圓臺的高為h，則，解得．由題意得：上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，設(shè)球心O到下底面的距離為t，即，則，由勾股定理得：，即，解得，則球O的半徑，故球O的表面積為.故選：D【變式訓(xùn)練】變式101.（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出表面積最大時的剖面圖，分析出此時圓與上底，兩腰相切，建立合適直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用圓心到腰所在直線等于半徑列出方程，解出即可.【詳解】表面積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意得，，則，則直線所在直線方程為，即設(shè)，表面積最大時球的半徑為，則，則點到直線的距離等于半徑，則有，解得或，，，此時，則故選：.變式102．（2022秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某圓臺的上、下底面面積分別為和，高為2，上、下底面的圓周在同一球面上，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，分情況討論，利用其軸截面，根據(jù)勾股定理，可得答案.【詳解】解：由題可知圓臺上下底面的半徑分別為1和2，軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為R，當(dāng)兩底面在球心同側(cè)時，有，即，即，即，方程無解；當(dāng)兩底面在球心異側(cè)時，有，即，所以，即，則，.∴這個球的表面積是.故選：B.一、單選題1.（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A?B是球O的球面上兩點，且，C為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件確定出三棱錐體積最大時的點C位置，再求出球半徑即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，因，則的面積，而，且面積為定值，則當(dāng)點到平面的距離最大時，最大，于是，當(dāng)是與球的大圓面垂直的直徑的端點時，三棱錐體積最大，最大值為，解得，所以球的表面積為.故選：C.2.（2011·重慶·高考真題）高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意可知ABCD所在的圓是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，而球心到小圓圓心的距離為，則推出頂點S在球心距的垂直分的平面上，而頂點S到球心的距離為1，即可求出底面ABCD的中心與頂點S之間的距離．解：由題意可知ABCD所在的圓是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球心到小圓圓心的距離為，頂點S在球心距的垂直分的平面上，而頂點S到球心O的距離為1，所以底面ABCD的中心O'與頂點S之間的距離為1故選C3.（2012·全國·高考真題）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．4.（2018·全國·高考真題）設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型．5.（2016·全國·高考真題）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為V的球，若，，，，則該球體積V的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故球的最大半徑為，故選B.6.（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正方體的棱長為2，則以點為球心，為半徑的球面與平面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等體積法可求出點到平面的距離，根據(jù)交線為圓可求出其長度.【詳解】設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，因為正方體的棱長為2，所以等邊的邊長為，所以，所以，解得，所以點為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為半徑的圓，所以交線長為，故選：C7.（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎馀_的上?下底面邊長分別為1和3，側(cè)棱長為2，以下底面頂點為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將正三棱臺補形成正三棱錐，并確定正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出點到平面的距離，進而求出截面小圓半徑作答.【詳解】將正三棱臺補形成正棱錐，如圖，由，得，而，則，即為正三角形，三棱錐為正四面體，令正的中心為，連接，則平面，，從而，