2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-3 .1 .1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

第3章圓錐曲線與方程

3.1橢圓

3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一橢圓的定義及其應(yīng)用

1.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B及動點(diǎn)P,命題甲：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的

軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

22

2.（2022河南焦作期末）已知FI,F2為橢圓9+3=1的兩個焦點(diǎn)，過Fi的直線交橢圓于

916

A,B兩點(diǎn)，若IF2AI+IF2BUIO,則|AB|=（）

A.2B.4C.6D.10

22

3.（2022甘肅永登一中期末）設(shè)P是橢圓C:-+^-=l上一點(diǎn),FI（-3,0）,F2（3,0）分別是C

m7

的左、右焦點(diǎn),|PFi|=3,則|PF2|=（）

A.5B.10V3-3

C.4D.2V58-3

22

4.（2022廣東執(zhí)信中學(xué)期中）已知FiE是橢圓C三+三=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上,

1612

則|MFi|?IMFzl的最大值為（）

A.28B.16C.12D.9

5.（2022重慶八中期中）已知P是圓C:（x+2>+y2=64上的動點(diǎn),A（2,0）.若線段PA的

中垂線交CP于點(diǎn)N,則點(diǎn)N的軌跡方程為.

題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

6.（2021北京交大附中期末）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B+￡=l,若其焦點(diǎn)在x軸上，

fvkJkJfv

則k的取值范圍是（）

A.4<k<5B.3<k<5

C.k>3D,3<k<4

7.以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)P（|,-4）和Q（1,3）,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（）

A.^+X2=1

2

B云r+y2=l

C-=l或9x2=l

D.以上都不對

22

8.（2022甘肅蘭州一中期末）已知橢圓CJ+J=l（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是FI,F2,

過Fi的直線1垂直于x軸且交橢圓于A,B兩點(diǎn),|AB|=3橢圓與y軸正半軸交于點(diǎn)

D,|DFi|=2,則橢圓C的方程為（）

22

A.9+y2=1B.X2+^-=1

4J4

2222

：

C.4+J3=lD.—3+24-=l

22

9.（2020天津一中期末）已知橢圓今+參=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F/2,以線段

au

F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn)為P（雪,-卓）,則橢圓的方程為.

22

10.（2022陜西黃陵中學(xué)期末）過點(diǎn)（四,-遮）且與橢圓宗++1有相同焦點(diǎn)的橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題組三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

22

11.（2021江西上饒?jiān)驴迹┮阎獧E圓念”上=1的焦點(diǎn)在y軸上，且焦距為4,則m等

于（）

A.4B.5

C.7D.8

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知AABC的頂點(diǎn)A（-4,0）和C（4,0）,頂點(diǎn)B在橢圓

%2y21

—+--1上則黑冷（

259)

A4

A-3

C3

5

22

13.（2022河南鄭州期末）設(shè)FiE分別是橢圓C$+9=l的左、右焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原

N5y

點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上,且滿足|OP|=4,則△PF1F2的面積為（）

A.3B.3V3

C.6D.9

22

14.（2022廣西玉林期中）已知點(diǎn)P（n,?橢圓卷+一=1,點(diǎn)P在橢圓外,則實(shí)數(shù)n的取值

y4

范圍為.

22

15.已知橢圓黃的左、右焦點(diǎn)分別為FiN點(diǎn)P在橢圓上，若|PFi|=4,則

ZF1PF2=.

16.已知橢圓C:*'=l（a>b〉0）經(jīng)過點(diǎn)分別是橢圓C的左、右焦

點(diǎn),|FF2|=2g,P是橢圓C上的一個動點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點(diǎn)P在第一象限，且麗?電求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

4

22

17.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓E：9+5=1上，過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,

點(diǎn)P滿足而=加麗.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)A(1,O),在x軸上是否存在一定點(diǎn)B,使|BP|=2|AP|恒成立?若存在，求出點(diǎn)B的

坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

能力提升練

題組一橢圓的定義及其應(yīng)用

22

1.（2022安徽蚌埠期末）已知F是橢圓C:J+券=l（a>b〉0）的一個焦點(diǎn),P是橢圓C上

LiU

的任意一點(diǎn)且不在X軸上,M是線段PF的中點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).連接OM并延長，交

圓x?+y2=a2于點(diǎn)N,則4PFN的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由點(diǎn)P的位置決定

2.（2022江西贛州期末）已知定圓Ci：（x+3）2+y2=l,C2：（x-3）2+y2=49,定點(diǎn)動圓

C滿足與C1外切且與C2內(nèi)切，則ICMI+ICC1I的最大值為（）

A.8+V2B.8-V2

C.16+V2D.16-V2

22

3.（多選）（2020山東濰坊期末）已知P是橢圓E：5+r=l上一點(diǎn),Fi,F?分別是橢圓E

o4

的左、右焦點(diǎn)，且4尸正尸2的面積為3,則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3

B.ZF1PF2>|

C.AFIPF2的周長為4V2+4

D.AF1PF2的內(nèi)切圓半徑為竽|

22

4.（2022湖南岳陽一中月考）已知橢圓是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M

與C的焦點(diǎn)不重合，若點(diǎn)M關(guān)于C的左、右焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的

中點(diǎn)在橢圓C上，則|AN|+|BN|=.

題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

22

5.（2022山西長治二中期末）橢圓高+5=1的焦點(diǎn)為FiE,橢圓上的點(diǎn)P滿足

10064

NFIPF2=60。,則點(diǎn)P到x軸的距離為（）

A64V3091V3?32V3「64

A.---ki.---C?---U.—

3393

22

6.（2022四川威遠(yuǎn)中學(xué)月考）橢圓E:j+—=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為RE,過點(diǎn)

Fi的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,若Fi,C是線段AB的三等分點(diǎn),AF2AB

的周長為4日,則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

222

c與+3=1D三+y2=l

22

7.（2022上海延安中學(xué)期末）橢圓？+5=1的焦點(diǎn)為FI,F,P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)

6L2

NF1PF2為鈍角時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

22

8.（2022廣東廣州期末）已知橢圓C:j+5=l（a>b>0）的兩個焦點(diǎn)是RR,點(diǎn)P（V2,1）

au

在橢圓C上，且|PF1|+|PF2|=4.

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)P關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為Q,M是橢圓C上不同于P,Q的一點(diǎn)，直線MP和

MQ與x軸分別相交于點(diǎn)E,F,0為原點(diǎn).證明:|OE|?|OF|為定值.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B當(dāng)|PA|+|PB|=|AB|時，動點(diǎn)P的軌跡為線段AB,當(dāng)|PA|+|PB|〉|AB|時，動點(diǎn)P的

軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，充分性不成立;由橢圓的定義可知必要性成立.故甲是

乙的必要不充分條件，故選B.

2.C由題意知a=4,由橢圓的定義知|FiA|+|F2A|+|FiB|+|F2B|=4a=16,：

IF2AI+IF2BUIO,；.|AB|二|FiA|+|FiB|=6.故選C.

3.A依題意得橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因?yàn)?/p>

|PFj|=3,|PFi|+明=2標(biāo)=8,所以|PF2|=5,故選A.

4.B易知a2=16,所以a=4,因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以|MFi|+|MF2|=2a=8,所以

22

|MFi|?|MF2|W（吧產(chǎn)）=（；）=16,當(dāng)且僅當(dāng)|MFI|=|MF2|=4時等號成立，故

|MFi|?IMFzl的最大值為16,故選B.

解析圓C的圓心為C（-2,0）,半徑r=8,由線段PA的中垂線交CP于點(diǎn)N,可得

|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8〉|CA|=4,故點(diǎn)N的軌跡是以A,C為焦

點(diǎn)的橢圓，且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以點(diǎn)N的軌跡方程為乙+匕=1.

1612

22（k-3>0,

6.A?.?方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,I.5次>0,解得4<k<5.故選A.

k-35-k,—1

、k-3>5-k,

—m+16n=

7.A設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,mWn),則解得

匕m+9n=

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為>x2=l.故選A.

8.C把x=-c代入橢圓方程，得y=±1所以|AB|=^=3,即￡=：易知D(O,b),F(c,O),所

aaa2

._____________22

以|DFi|=Vb2+[2=2,即a=2,故b?=3,故橢圓C的方程為：+：=1.故選C.

9.答案士+匚1

94

解析根據(jù)題意知|P0|=耳叵遮土，

755

故FI(-V5,0),F2(V5,0).

.?.|PFI|+|PF2|

=4+2=6=2a,a=3,b2=a2-c2=4,

22

???橢圓的方程為匕+匕=1.

94

22

10.答案匕+上=1

204

22

解析由題意知所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為?=l(a>b>0),則

c2=aZb2=16①，把(遮,-迷)代入橢圓方程，得②，由①②得b?=4,a2=20,所以所

QNb,

22

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+±=1.

204

11.D依題意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得2<m<10.由橢圓的焦距為4,得c=2.所以

c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.故選D.

12.D由已知得a=5,b=3才陶圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),恰好是A,C兩點(diǎn)，則

|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得史絲吧=史把吧=吧皿=之故選D.

sin(i4+0sinB\AC\4

13.D由題意得c=V^爐=4,則|FF2|=2c=8,設(shè)點(diǎn)P(xo,yo),則%f=1,可得

賄=25—據(jù)，

|OP|=J<+羽=125常羽=4,，yl端,Iyo|=：,因止匕S=*iF211yoi=；x8x：=9.

故選D.

14.答案(-8廣()口律,+8)

解析因?yàn)辄c(diǎn)P(n,l)在橢圓》;1外，所以#〉1,解得心手或n>苧,故實(shí)數(shù)n的取

值范圍為(-8,一乎)u(乎，+8).

15.答案120°

解析由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2=9,b2=2,a=3,c2=a2-b2=9-2=7,BPc=夕,

|FIF2|=2V7.

V|PFi|=4,.-.|PF2|=2a-|PFi|=2.

...COSNHPF2=4+%、S2二

2|Pfil|PF2l2

又0°<ZF1PF2<18O°,ZF1PF2=12O°.

(2c=2V3,m=2,

16.解析⑴由題意得乜+2=1,解得b=l,

°4b后

U2=b2+c2,K=73,

2

???橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+y2=l.

(2)設(shè)P(xo,yo)(xo>O,yo>O),

Vc=V3,FI(-V3,0),F2(V3,0),

PFi=(-V3-xo,-yo),PF2=(V3-xo,-yo),

：.PF；?PF2=(-V3-xo,-yo)?(遮-xo,-yo)=瞪+禿-3.

22

???點(diǎn)P在橢圓C上,.,.”+據(jù)=1,即羽=1-三

44

______2]

?'?PF1?。？2=就+據(jù)-3=就+1-彳-3?,，

解得-遮WxoW遮，又「xo〉O,0<x0<V3,

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是(0,舊］.

17.解析⑴設(shè)P(x,y),M(xi,yi),則N(xi,O),和=(x-xi,y),麗=(O,yi).

,點(diǎn)M在橢圓E上,.,.%?=1(*),

由和得［=/y即-y=%

代入(*)式，得x2+y2=4,

即點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)B(m,O)滿足條件，

V|BP|=2|AP|,J(x-ni)2+y2-2j(x-1)2+y2,

即點(diǎn)P的軌跡方程為3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,

由⑴知點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4,

故｛能*2解得m=4,

???存在點(diǎn)B(4,0)滿足條件.

能力提升練

1.B不妨設(shè)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)為Fi,

則|PFi|+|PF|=2a.如圖，在APFFi中,0,M分別是FFi,PF的中點(diǎn),，

|PFi|=2|OM|,|PF|=2|PM|,

.?.|PFi|+|PF|=2|0M|+21PMi=2a,即|OM|+|PM|=a,二.|MN|=|ONHOM|=a-(a-|PM|)=|PM|,

|MN|=|PM|=|MF|,N在以線段PF為直徑的圓上,ZPNF=90°>APFN的形狀

是直角三角形.故選B.

2.A由題意知圓Ci的圓心為Ci(-3,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為7.

設(shè)動圓C的半徑為r,由動圓C滿足與Ci外切且與C2內(nèi)切，知|CCi|=r+l,|CC2|=7-r,

所以|CC1|+|CC2|=8〉|C1C2|=6,所以動點(diǎn)C的軌跡是以Q和C2為焦點(diǎn)、8為長軸長

22

的橢圓[除去點(diǎn)(-4,0)],如圖,易得其方程為±+「=l(xW-4),由橢圓的定義可得

167

ICC1曰a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CMHCC*又因?yàn)?/p>

|CMHCC2|W|MC2|=V^(當(dāng)點(diǎn)C在MC2的延長線上時取等號)，所以

|CM|+|CCi|W8+企，故選A.

3.CD由已知得a=2企,b=2,c=2,Fi(-2,0),F2(2,0).不妨設(shè)P(m,n),m>0,n>0,

貝1JSA&PF2三x2cxn=3,，n=,

22

2

.,.|PF1|2=(￥+2)+：=T+2VH,|PF2|2=(￥-2)+^-2V14,|FIF2|=16,

???伊&|2+仍尸2|2一『舊|2三>0,

2

...COSNRPF2=^3^->0,

2\PFI\\PF2\

?\NF1PF2。,故A,B錯誤；

AF,PF2的周長為2a+2c=4或+4,故C正確;

設(shè)△FiPFz的內(nèi)切圓半徑為r,則”(4魚+4)=3,

...廣逋事故D正確.故選CD.

22

4.答案12

解析設(shè)MN的中點(diǎn)為D,橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為FiH,如圖，連接DFI,DF2,

VFi,D分別是MA,MN的中點(diǎn),，|DFi|三|AN|,同理IDF2I三|BN".

|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),?.?點(diǎn)D在橢圓上,|DFi|+|DF2|=2a=6,，|AN|+|BN|=12.

5.C易得c=V^5=6.設(shè)|PR|=n,|PF2|=r2,則口+左=20.在△PF1F2中,由余弦定理得

2

(2c)2=r/+將-2『r2cos60°,即144=號+母-門「2=3+r2)-3rir2=400-3rir2,K!j口歸三，所

以Sz\pFiF2=5r2sin60。三義半義日二竽.設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d,則

S^PFIFZ三x|HF2|xd=6d,故6d=^,解得d=^.故選C.

6.A由橢圓的定義得|AFi|+|AF2=|BFi|+|BF2|=2a,4F2AB的周長為

,22

|AR|+|AF2|+|BFi|+|BF2|=4a=4迷，所以a=V^，所以橢圓E:+-=1不妨令點(diǎn)A在第一

象限,C是F1A的中點(diǎn)，則