2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2-等差數(shù)列及其前n項和-專項訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2-等差數(shù)列及其前n項和-專項訓(xùn)練【原卷版】[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn,若a1=1,a3A.6 B.7 C.8 D.92.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6A.150 B.120 C.75 D.603.已知等差數(shù)列{an}滿足S30=120,A.2n?25 B.2n?27 C.3n?4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=A.50492 B.2525 C.50512 D.5.（多選）已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為SnA.d<0 B.a10=0 C.S6.將數(shù)列{2n?1}與{3n?2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}7.若一個等差數(shù)列{an}滿足：①每項均為正整數(shù)；②首項與公差的積大于該數(shù)列的第二項且小于第三項.寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式a8.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=49.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n?1（1）求數(shù)列{an（2）證明數(shù)列{bn2n}[B級綜合運用]10.圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.911.（多選）已知數(shù)列{an}的前n項和為A.若Sn=n2B.若an=?2n+11C.若an=?2n+11D.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1011<0,a1011+12.（多選）兩個等差數(shù)列{an}和{bn}，其公差分別為d1和d2，其前nA.若{Sn}B.若{Sn+TC.若{anbnD.若bn∈N?，則{13.韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將.歷史上流傳著一個關(guān)于他點兵的奇特方法.有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩四.韓信很快就知道了士兵的人數(shù).設(shè)有m個士兵，若m∈[2021,3021]，則符合條件的14.記Sn為數(shù)列{an}的前n（1）證明：{an（2）若a4,a7,a9成等比數(shù)列，求[C級素養(yǎng)提升]15.（多選）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個月有30天，記該女子在這一個月中第n天所織布的尺數(shù)為an,bn=2anA.b10=8b5C.a1b30=10516.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2S（1）若λ=1，求S（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2-等差數(shù)列及其前n項和-專項訓(xùn)練【解析版】[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn,若a1=1,a3=5A.6 B.7 C.8 D.9[解析]選C.因為d=a3?a12=2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6+aA.150 B.120 C.75 D.60[解析]選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a6+a7+S15=3.已知等差數(shù)列{an}滿足S30=120,a3A.2n?25 B.2n?27 C.3n?[解析]選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為則S30=a3解得d=2又S30=解得a1=?25.所以故選B.4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2A.50492 B.2525 C.50512 D.[解析]選C.由已知an+2?aan+1?an=a2?a1+1所以an?an?1+…+a5.（多選）已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,且SA.d<0 B.a10=0 C.S[解析]選BCD.由于S9=S10=S9+a10，所以a10由于d>0，a10=0,所以當(dāng)1≤n≤9,S18=6.將數(shù)列{2n?1}與{3n?2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}[解析]因為數(shù)列{2n?1}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{3n?2}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{an}7.若一個等差數(shù)列{an}滿足：①每項均為正整數(shù)；②首項與公差的積大于該數(shù)列的第二項且小于第三項.寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式an=[解析]設(shè){an}的公差為d,由題意得，所以a1+d<a1d<a1+2d,又a18.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=4[解析]由題意可得a1=2,a3=4,a5=6,a7=8,a9=10,…，和a2=奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以S10=9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n?1（1）求數(shù)列{an[答案]解：當(dāng)n=1時，a當(dāng)n≥2時，a因為a1=1符合上式，所以（2）證明數(shù)列{bn2n}[答案]因為bn+所以bn+1?2又b12所以數(shù)列{bn所以bn2所以bn=[B級綜合運用]10.圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9[解析]選D.如圖，連接OA，延長AA1與x軸交于點A2，則OA2=4OD1.因為k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，所以k1=k3?0.2，k2=k3?0.1，所以CC1=DC1k311.（多選）已知數(shù)列{an}的前n項和為SnA.若Sn=n2B.若an=?2n+11C.若an=?2n+11D.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1011<0,a1011+[解析]選CD.對于A，當(dāng)n=1時，a1=S1=1當(dāng)n=1所以an=對于B，因為an=?2n+11,所以∣an∣=對于C，由an=?2n+11可知數(shù)列{an}所以當(dāng)n=5時，S對于D，因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S2021=a1+a2021×綜上所述，選CD.12.（多選）兩個等差數(shù)列{an}和{bn}，其公差分別為d1和d2，其前n項和分別為A.若{Sn}B.若{Sn+TC.若{anbnD.若bn∈N?，則{[解析]選AB.由題意得Sn=d12若數(shù)列為等差數(shù)列，則其通項公式形如kn+b，所以若數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列，則有aSn+Tn=d1+當(dāng)d1=0或d2=因為an=a1+n?1d1,bn=b113.韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將.歷史上流傳著一個關(guān)于他點兵的奇特方法.有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩四.韓信很快就知道了士兵的人數(shù).設(shè)有m個士兵，若m∈[2021,3021]，則符合條件的[解析]由“三三數(shù)之，剩二”知最小數(shù)是5，m是等差數(shù)列5，8，11，14，…中的項，其中滿足“五五數(shù)之，剩三”的最小數(shù)是8，故m是等差數(shù)列8，23，38，53，…中的項，其中滿足“七七數(shù)之，剩四”的最小數(shù)是53，故m是等差數(shù)列53，158，263，368，…中的項，可得通項公式an=53+105n?1，令2021≤53+14.記Sn為數(shù)列{an}的前n（1）證明：{an[答案]解：證明：由2Snn+n所以2Sn②-①，得2an化簡得an+所以數(shù)列{an（2）若a4,a7,a9成等比數(shù)列，求[答案]由（1）知數(shù)列{an由a72=a4解得a1=?所以Sn=12所以當(dāng)n=12或13時，Sn取得最小值，最小值為[C級素養(yǎng)提升]15.（多選）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個月有30天，記該女子在這一個月中第n天所織布的尺數(shù)為an,bn=2an，對于數(shù)列A.b10=8b5C.a1b30=105[解析]選BD.由題意可知，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意可得a1=5,因為bn=2an,所以b因為5d=5×1629所以b10≠a30=a1+a4=a1+3d=516.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2S（1