2024年四川省宜賓市中考數(shù)學試卷真題（含答案解析）

后附原卷掃描版宜賓市2024年初中學業(yè)水平考試暨高中階段學校招生考試后附原卷掃描版數(shù)學（考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分）注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、座位號、準考證號填寫在答題卡指定的位置并將答題卡背面座位號對應標號涂黑．2．答選擇題時，務必使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，務必使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡規(guī)定的位置上作答，在試卷上答題無效．一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．2的絕對值是（）A．2 B． C． D．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A．方差為0 B．眾數(shù)為75 C．中位數(shù)為77.5 D．平均數(shù)為754．如圖，AB是⊙O的直徑，若，則的度數(shù)等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A．8 B．18 C．28 D．327．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點8．某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱9．如圖，內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分交⊙O于D．則的值為（）A． B． C． D．10．如圖，等腰三角形ABC中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B及AC的中點M，軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．11．如圖，在中，，以BC為邊作，，點D與點A在BC的兩側(cè)，則AD的最大值為（）A． B． C．5 D．812．如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13．分解因式：_____________．14．分式方程的解為___________．15．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是___________．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且．當?shù)闹底钚r，則_____________．17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是___________（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若，則MN的最小值為___________．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（本題滿分10分）（1）計算：；（2）計算：．20．（本題滿分10分）某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了___________名學生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）話劇組所對應扇形的圓心角為___________度；（3）書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．21．（本題滿分10分）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且，BE與AD交于點F．求證：．22．（本題滿分10分）宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學在數(shù)學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上；在B處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）圖1圖223．（本題滿分12分）如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式的解集；（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．24．（本題滿分12分）如圖，內(nèi)接于⊙O，，過點A作，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連結(jié)CD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若，求CD和DE的長．25．（本題滿分14分）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點E在以點為圓心，1為半徑的⊙P上，連結(jié)AE，以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF，連結(jié)BF．求BF的取值范圍．原卷掃描版原卷掃描版宜賓市2024年初中學業(yè)水平考試暨高中階段學校招生考試數(shù)學（考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分）注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、座位號、準考證號填寫在答題卡指定的位置并將答題卡背面座位號對應標號涂黑．2．答選擇題時，務必使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，務必使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡規(guī)定的位置上作答，在試卷上答題無效．一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.2的絕對值是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義即可求解．【詳解】解：2的絕對值是是2，故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的計算，掌握正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，是解題的關鍵．2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的運算法則，合并同類項．根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則以及合并同類項的法則，逐個進行計算，即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意；故選：C．3.某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A.方差為0 B.眾數(shù)為75 C.中位數(shù)為77.5 D.平均數(shù)為75【答案】B【解析】【分析】本題主要考查方差，眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，分別根據(jù)相關定義求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故選項D錯誤，不符合題意；方差為，故選項A錯誤，不符合題意；這組數(shù)據(jù)中，75出現(xiàn)次數(shù)最多，共出現(xiàn)3次，故眾數(shù)是75，故選項B正確，符合題意；這組數(shù)據(jù)按大小順序排列為：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88．最中間的兩個數(shù)是75，75，故中位數(shù)為，故項C錯誤，不符合題意，故選：B．4.如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，同弧或等弧所對的圓周角相等得到，進一步計算即可解答．【詳解】解：是的直徑，，，，，故選：A．5.元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A.5天 B.10天 C.15天 D.20天【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，據(jù)題題意：，解得：．答：快馬20天可以追上慢馬．故選：D．6.如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A.8 B.18 C.28 D.32【答案】C【解析】【分析】本題考查新定義，解題的關鍵是正確讀懂新定義．根據(jù)新定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解∶∵，，∴8不是完美數(shù)，故選項A不符合題意；∵，，∴18不是完美數(shù)，故選項B不符合題意；∵，，∴28是完美數(shù)，故選項C符合題意；∵，，∴32不是完美數(shù)，故選項D不符合題意；故選：C7.如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A.B點 B.C點 C.D點 D.E點【答案】B【解析】【分析】本題考查了平面圖形和立體圖形，把圖形圍成立體圖形求解．【詳解】解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點A距離最遠的頂點是C，故選：B．8.某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解問題，設用個大箱，個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．詳解】解：設用個大箱，個小箱，∴，∴，∴方程的正整數(shù)解為：或，∴所裝的箱數(shù)最多為箱；故選C．9.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，合理作輔助線為解題的關鍵．作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖所示∴，∵由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴等腰直角三角形中，，∴．故選：A10.如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，找到坐標之間的關系是解題的關鍵．作輔助線如圖，利用函數(shù)表達式設出、兩點的坐標，利用，是中點，找到坐標之間的關系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，在等腰三角形ABC中，，是中點，設，，由中點為，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中點為M，∴，即，由在反比例函數(shù)上得，∴，解得：，由題可知，，∴．故選：B．11.如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側(cè)，則的最大值為（）A. B. C.5 D.8【答案】D【解析】【分析】如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，求解，結(jié)合，（三點共線時取等號），從而可得答案．【詳解】解：如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∵，（三點共線時取等號），∴的最大值為，故選D【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．12.如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點，可得當時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計算公式求出，進而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當時，當時，兩種情況求出對應的c的值即可判斷③；當時，，則，取點，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點，∴當時，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點、，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當時，，∴，∴，當時，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當時，可得；綜上所述，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；當時，，則，如圖所示，取點，連接，則，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13.分解因式：=_________________________．【答案】【解析】【詳解】解：==．故答案為．14.分式方程的解為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關鍵；先去分母，化為整式方程，再解方程并檢驗即可．【詳解】解：，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，∴方程的根為，故答案為：．15.如圖，正五邊形的邊長為4，則這個正五邊形的對角線的長是___________．【答案】##【解析】【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后由線段和差即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接交于點，∵五邊形是正五邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．16.如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當?shù)闹底钚r，則_____________．

【答案】【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當最小時，最小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當最小時，最小，∵兩點之間線段最短，∴當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．17.如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是___________（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．【答案】乙槽【解析】【分析】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小的是乙槽．本題考查了方程的應用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關鍵．【詳解】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計分最低的是乙槽．故答案為：乙槽．18.如圖，正方形的邊長為1，M、N是邊、上的動點．若，則的最小值為___________．【答案】##【解析】【分析】將順時針旋轉(zhuǎn)得到，再證明，從而得到，再設設，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到，從而得解．【詳解】解：∵正方形的邊長為1，∴，，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，∴，，，，∴點P、B、M、C共線，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，設，，則，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，當且僅當，即，也即時，取最小值，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式等知識，證明和得到是解題的關鍵．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算和分式的化簡，熟記零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，分式化簡的步驟是解題的關鍵．（1）根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的意義計算；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到最簡結(jié)果．【詳解】解：（1）；（2）．20.某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了___________名學生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）話劇組所對應扇形的圓心角為___________度；（3）書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．【答案】（1）40；圖見解析（2）72（3）【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，及用列表法或樹狀圖法求概率，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）由A組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去A、B、D人數(shù)求出C組人數(shù)即可補全圖形；（2）用360度乘以C組人數(shù)所占比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為（名），C組人數(shù)為（名），補全圖形如下：；故答案為：40；小問2詳解】解：，故答案為：72；【小問3詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果共有6種，∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為．21.如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．22.宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學在數(shù)學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上；在B處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】長江口的寬度為米.【解析】【分析】如圖，過作于，過作于，過作于，而，可得四邊形，都是矩形，由題意可得：，，證明，可得，設，，再利用三角函數(shù)建立方程組求解即可.【詳解】解：如圖，過作于，過作于，過作于，而，∴四邊形，都是矩形，∴，，，，∵由題意可得：，，∴，，∵，∴，∴，設，，∴，即，，即，∴，∴，∴，∴，∴；∴長江口的寬度為米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.23.如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式的解集；（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．【答案】（1），（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）把A坐標代入，可求出k，把代入所求反比例函數(shù)解析式，可求n，然后把A、B的坐標代入求解即可；（2）結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像，寫出一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方所對應的自變量范圍即可；（3）設點C的坐標為，，分、為對角線，、為對角線，、為對角線三種情況，根據(jù)對角頂點的橫、縱坐標之和分別相等列方程組，即可求解．【小問1詳解】解∶∵經(jīng)過，∴，解得，∴，把代入，得，解得，∴，把，代入，得，解得，∴；【小問2詳解】解：察圖像得：當或時，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方，∴不等式的解集為或；【小問3詳解】解：設點C的坐標為，，①以、為對角線，則，解得，∴，∴；②以、為對角線，則，解得，∴，∴；③以、為對角線則，解得，∴，∴；綜上，當C的坐標為或或時，以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，平行四邊形存在性問題等，掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關鍵．24.如圖，內(nèi)接于，，過點A作，交的直徑的延長線于點E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求和