2025高考數(shù)學一輪復習-第27講-數(shù)列的概念與簡單表示-專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學一輪復習-第27講-數(shù)列的概念與簡單表示-專項訓練一、單項選擇題1．已知數(shù)列2，5，22，…，則2A．第5項 B．第6項C．第7項 D．第8項2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝n2－1，則a3＝()A．－5 B．5C．7 D．83．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an+2，n為偶數(shù)，an+3，nA．18 B．16C．11 D．64．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝11?an，若a1＝12A．－2 B．－1C．12 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝()A．2n B．nC．n2＋1 D．n＋16．已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其前n項和Sn＝－n2＋2n＋m，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)7．已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，則an的最小值是()A．－15 B．－14C．－11 D．－68．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，數(shù)列an+n2A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．先遞增后遞減 D．先遞減后遞增二、多項選擇題9．數(shù)列{an}的首項為1，且an＋1＝2an＋1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)3＝7B．數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2n－1D．Sn＝2n+1－n－110．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋2)·67A．數(shù)列{an}的最小項是a1B．數(shù)列{an}的最大項是a4C．數(shù)列{an}的最大項是a5D．當n≥5時，數(shù)列{an}遞減三、填空題11．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．12．已知數(shù)列{an}滿足下列條件：①是無窮數(shù)列；②是遞減數(shù)列；③每一項都是正數(shù)．寫出一個符合條件的數(shù)列{an}的通項公式：an＝________．四、解答題13．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，從①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝1214．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記bn＝3n?λan2，若數(shù)列{參考答案1．C[由數(shù)列2，5，22，…的前三項2，5，8可知，數(shù)列的通項公式為an＝2+3n?12．B[因為Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.故選B.]3．B[b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故選B.]4．D[a1＝12，則a2＝11?a1＝11?12＝2，a3＝11?a2＝11?2＝－1，故{an}為周期為3的數(shù)列，因為2024＝674×3＋2，所以a2024＝a2＝2.故選D.]5．A[由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，則anan?1＝nn?1，an?1an?2＝n?1n?2，an?2an?3＝又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.故選A.]6．A[當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，故可知當n≥2時，{an}單調遞減，故{an}為遞減數(shù)列，只需滿足a2<a1，即－1<1＋m?m>－2.故選A.]7．A[∵an＋1－an＝2n－11，∴當n≤5時，an＋1－an<0，當n>5時，an＋1－an>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，顯然an的最小值是a6.又an＋1－an＝2n－11，∴a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15.故選A.]8．A[設an+n2n＝k(k為常數(shù))，∴an＝k·∵an>0，∴k>n2n，易得k>an－an－1＝k·2n－n－k·2n-1＋n－1＝k·2n-1－1>12×21－1＝0(n≥∴an－an－1>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．故選A.]9．AB[∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，B正確；an＋1＝2n，∴an＝2n－1，C錯誤；a3＝7，A正確；Sn＝21?2n1?2－n＝2n故選AB.]10．BCD[假設第n項為{an}的最大項，則a即n所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項，且a4＝a5＝611．2，n=1，6n?5，n≥2，n∈N?[當當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2，12．1n(答案不唯一)[符合條件的數(shù)列有1n，13．證明：選①②作為條件證明③.因為an＝n－Sn，所以當n＝1時，a1＝12當n≥2時，an－1＝n－1－Sn－1，兩式相減得an－an－1＝1－an，所以2an＝an－1＋1，所以2(an－1)＝an－1－1.因為bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即bnbn?1所以數(shù)列{bn}是首項為－12，公比為1所以Tn＝?121?選①③作為條件證明②.因為an＝n－Sn，所以當n＝1時，a1＝12當n≥2時，an－1＝n－1－Sn－1，兩式相減得an－an－1＝1－an，所以2an＝an－1＋1，所以2(an－1)＝an－1－1，所以an?1a所以數(shù)列{an－1}是首項為－12，公比為1所以an－1＝－12n，所以an＝1－因為Tn＝12n－1，所以當n＝1時，b1＝T1＝－當n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝12n－12因為當n＝1時也滿足上式，所以bn＝－12故bn＝an－1.選②③作為條件證明①，因為Tn＝12所以當n＝1時，b1＝T1＝－12當n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝12n－12因為當n＝1時也滿足上式，所以bn＝－12因為bn＝an－1，所以an＝1－12所以Sn＝n－121+122+…+故an＝n－Sn.14．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴an+1∴ann＝an