2023-2024學(xué)年安徽省合肥市高一年級下冊冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省合肥市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、單選題

1.已知集合/=,5=卜1=ln(4—/)),則()

A.[-1,2)B.[-1,4]

C.(-2,4]D.(-oo,-l]u[2,+oo)

【正確答案】C

【分析】先化簡集合3,再去求/口5即可解決.

【詳解】因為B=kr=ln(4-x2)}={x|-2<x<2},

貝[|=={x|-1(尤W4}u{x|-2<x<2}={尤[-2<xW4},

故選：C

2.下列說法中正確的是

A.圓錐的軸截面是等邊三角形

B.用一個平面去截棱錐，一定會得到一個棱錐和一個棱臺

C.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所圍成的幾何體是由一個圓臺和兩個圓

錐組合而成

D.有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征即可判斷A選項；根據(jù)棱臺的定義即可判斷選項B;結(jié)合圓柱、圓錐、圓

臺的旋轉(zhuǎn)特征，舉出反例即可判斷選項C；由棱柱的定義即可判斷選項D.

【詳解】圓錐的軸截面是兩腰等于母線長的等腰三角形，A錯誤；只有用一個平行于底面的平面去截

棱錐，才能得到一個棱錐和一個棱臺，B錯誤；等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周的

幾何體，是由一個圓柱和兩個圓錐組合而成，故C錯誤；由棱柱的定義得，有兩個面平行，其余各面

都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故D正確.

解決空間幾何體結(jié)構(gòu)特征問題的3個策略

(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提高空間想象力.

(2)構(gòu)建幾何模型、變換模型中的線面關(guān)系.

(3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析.

3.在邊長為2的正方形中，()

A.-4B.-2C.2D.4

【正確答案】A

【分析】作出圖形，利用向量的三角形法則與數(shù)量積運算即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，如圖可知，|皮|=2,|麗卜，2?+2?=2收,NBDC=45°,

(AB-AD^-CD=DB-CD=-DB-DC=-^DB\-^DC^cosZBDC=~2y/2x2cos45°=-4.

故選：A.

4.在AABC中,,48=8,BC=5.則AABC外接圓的面

積為()

49?！?7兀

A.一B.16TIC.-----D.15n

33

【正確答案】A

【分析】設(shè)A/L8C外接圓的半徑為我，由余弦定理可得/C,再由正弦定理得K可得答案.

【詳解】設(shè)“BC外接圓的半徑為R,

由余弦定理可得/C?=AB2+BC2-2ABxBCcosB,

即/C?=64+25-2x8x5x^=49,所以NC=7,

2

￡=2="=2及7

由正弦定理得sin8V3V3,所以氏=用'

4Q

則zUBC外接圓的面積為兀&2=—Tl.

故選：A.

5.劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為

圓，徑二寸，高二寸，又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣.”牟合方蓋是一個正方體被兩個圓柱從縱

橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時的兩圓柱體的公共部分，計算其體積的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為

八份，取它的八分之一（如圖一）.記正方形048。的邊長為r,設(shè)0P=h,過P點作平面尸QRS平行

于平面O42C.OS=OQ=r,由勾股定理有尸S=尸0=爐二萬，故此正方形尸QRS面積是r.如

果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積

等于后.（如圖三）設(shè)此棱錐頂點到平行于底面的截面的高度為人不難發(fā)現(xiàn)對于任何高度〃，此截面

面積必為"，根據(jù)祖曬原理計算牟合方蓋體積（）

注：祖瞄原理：“幕勢既同，則積不容異”、意思是兩個同高的立體圖形，如在等高處的截面積相等，

則體積相等.

圖一圖二圖三

838316316

A.-rB.-nrC.一rD.—nr3

3333

【正確答案】c

【分析】計算出正方體的體積，四棱錐的體積，根據(jù)祖晅原理可得圖一中幾何體體積，從而得結(jié)論.

【詳解】「核鐳=,

由祖曬原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于/棱鐳=3/

12

所以圖1中幾何體體積為％=

所以牟合方蓋體積為8%=yr3.

故選：C.

6.已知函數(shù)/（月=2$出8$畝［8+|"］+（：0$25：-3（0>0）,若函數(shù)在［0,兀］有且僅有兩個零點,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

B.6,6J

1117)

D.

【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為小屋巾⑦尤+v，由04x4?？捎嬎愠??！?看的取值

范圍，再根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。的不等式，解之即可.

(1.V5'

【詳解】因為〃x）=2sin。X—S1I1GXH-------COSGX+cos2cox—

”2,2

1-cos2coxc1

=百sina)xcosa)x+sin2cox+cos2a)x--=sin2cox+---------------bcos2a)x——

2222

=——sin2ox+—cos2s=sin2ox+—

22I6.

兀7T7T

當時,一（2①X-\---W2兀。H----,

666

因為函數(shù)函數(shù)f（x）在［o,可有且僅有兩個零點，則2兀42兀。+=<3兀，解得?（。<二

61212

故選：D.

7.已知O為AA8C的外心，3O^+4Q8+5OC=6，貝！Icos/48c的值為（）

4sVio

AnX_z?----1_)(-----

510105

【正確答案】A

3

【分析】設(shè)的外接圓的半徑為R,將3cM+405+5OC=6平方后求出cos//OC=—《，找至lj

NAOC=2NABC,利用二倍角公式求出cos//3C

【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為七

:30A+40B+50C=0，

■,-3OA+5OC^-4OB，且圓心在三角形內(nèi)部,

(304+50C)2=卜4兩,

9@『+25盧『+305&=16(西2,

：.9R2+25R2+307?2cosZAOC=16笈

3

cosZAOC=——

5

根據(jù)圓心角等于同弧對應(yīng)的圓周角的兩倍得：ZAOC=2ZABC

3

2cos29/ABC-1=cosZ-AOC=——

5

解得cosZABC=g

故選：A

方法點睛：（1）樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算；

（2）求向量夾角通常用cos（￡,'="一,還要注意角的范圍.

'|a|x|Z）|

8.若函數(shù)/（x）的定義域為R,/（2x+l）是偶函數(shù),M/（2-x）+/（2+x）=6.則下列說法正確的個

數(shù)為（）

①/（X）的一個周期為2；

②/（22）=3；

③/⑴的一條對稱軸為x=5；

④〃1）+〃2）+…+/（19）=57.

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，可得〃2-x）=〃x）,〃-x+2）+〃x+2）=0,由此推

理計算即可判斷各命題作答.

【詳解】對于①：/（2尤+1）是偶函數(shù)，設(shè)f=2x,得/?+l）=〃T+l）,

H/（2-x）+/（2+x）=6,所以〃x）+〃4_x）=6,故〃/+—=6,

故/（T+l）+/（3—）=6,即/（x）+/（x+2）=6,故〃x+2）+〃x+4）=6,

所以/（x）=/（x+4）,所以/（x）的一個周期為4,故①錯誤.

對于②：由于〃2-x）+/（2+x）=6,令x=0,得于2）=3.

7（22）=/（4x5+2）=/（2）=3.故②正確.

對于③：由“2-x）=/（x）知函數(shù)的一條對稱軸為x=l,因為〃x）的一個周期為4,所以x=5也是函

數(shù)/（無）的一條對稱軸，故③正確.

對于④：因"2)=3,/(2-尤)=/比)得/(0)=3,即/'(4)=3.

因〃2-x)+〃2+x)=6,所以/⑴+〃3)=6,

/(l)+/(2)+---+/(19)=5[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]-/(20)=5xl2-/(4)=57,故④正確

故選：C.

二、多選題

9.設(shè)向量Z=(2,0),ft=(1,1),則()

A.\a\=\b\B.0與石的夾角是5

C.(a-S)lKD.與另同向的單位向量是(g,；)

【正確答案】BC

【分析】由條件算出口，W，即可判斷A,算出cos?,B)的值可判斷B,算出(￡-為Z的值可判斷C,

與刃同向的單位向量是苫,苦,可判斷D.

(22)

【詳解】因為￡=(2,0),b=(l,l),

所以問=2,慟=及，故A錯誤

/_『\a-b2V2萬

因為cos(aM=時同=3至=飛-，所以a與方的夾角是7,故B正確

因為0-分5=(1,-=0,所以0-楊，很，故C正確

與g同向的單位向量是與，與，故D錯誤

I22J

故選：BC

10.已知復(fù)數(shù)2=4^,1為Z的共軌復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

V3+1

A.z的虛部為B.\z\=l

2

C.z?為純虛數(shù)D.三在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限.

【正確答案】BD

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法得到2=』+且i,再利用復(fù)數(shù)的虛部概念判定選項A錯誤，利用模長公式

22

判定選項B正確，利用復(fù)數(shù)的乘方運算得到z3,再利用復(fù)數(shù)的分類判定選項C錯誤，利用共朝復(fù)數(shù)的

概念、復(fù)數(shù)的幾何意義判定選項D正確.

r*的、中衣2i2i(V3-i)2+2/3i1

【詳解】因為2=亍一=—r~~尸一=一--=-4—1

V3+i(V3+i)(V3-i)422

則z的虛部為即選項A錯誤；

2

|z|=J|+|=h即選項B正確；

陰出1石，訴l、J3百、313百9.236.

因為Z=--1---],所以Z=(A--1---1)=--1----1+—1H-----1

22228888

=-+^i---^i=-l,即Z3為實數(shù)，

8888

即選項C錯誤；

即選項D正確.

故選：BD.

11.己知函數(shù)/^卜卜山苫+^^^卜也工-^^乂，下列說法正確的是（）

A./⑺的最正周期為21r

B.若|/（再）|+|/（以=2,則%+%=1（4€2）

C./（x）在區(qū)間-C上是增函數(shù)

D.1/卜）的對稱軸是x=E+；（左eZ）

【正確答案】ABD

【分析】把函數(shù)/（x）化成分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷AC,由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C,再

結(jié)合圖象利用函數(shù)對稱性的性質(zhì)判斷D.

C371c7兀~

cos2%,----+2左兀<x<—+"兀

【詳解】依題意,/(x)=<；5：(左eZ),函數(shù)/⑴部分圖象如圖,

-cos2x,—+2A：7i<X<-^-+2kn

由圖象知函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，周期為2兀，故A正確;

因|/（占）1V1且|“馬）歸1，則當|/（%）1+1/（。=2時,Icos2甬曰且Icos2尤21=1,

則匕=皿且Z=紅，配￡eZ,因此，/+尤2=嶼+包)兀=紗,kl+k2=k^Z,B正確；

2222

ITTT717T

觀察圖象知，/(X)在區(qū)間-5，萬上不單調(diào)，所以/(X)在區(qū)間-5,5上不是增函數(shù)，故C不正確；

觀察圖象知，x=X=-?是函數(shù)了=/(X)圖象的相鄰兩條對稱軸，且相距半個周期長，

事實上/(y-X)=[sin(y-x)+cos(白%)]'|sin(^-x)-cos([x)|=f(x),即y=f(x)圖象關(guān)于x=:對

乙乙乙乙乙

稱，

同理有＞=/(x)圖象關(guān)于1=-亍對稱，而函數(shù)小)的周期是2兀，所以函數(shù)〉=/(、)圖象對稱軸

兀

x=—+kR,keZ,D正確.

4

故選：ABD

TT

12.在“BC中，若8=§，角B的平分線2。交NC于。，且BQ=2,則下列說法正確的是()

A.若BD=BC,則“BC的面積是檸5B.若BD=BC,則“8C的外接圓半徑是2a

C.若BD=BC,則絲=3上1D.43+3C的最小值是逆

DC23

【正確答案】ACD

【分析】A、B、C選項由已知結(jié)合正弦定理和差角公式及同角的基本關(guān)系進行變形即可判斷，D選項

用角。表示出48+3C結(jié)合三角恒等變換以及均值不等式即可判斷.

7TJT

【詳解】因為5=—,角8的平分線5。交4C于。，所以乙4助=/。5。=—,BD=BC=2,所以

,A5717171

Z-A=71---------------

1234

由正弦定理得華；=當=2后,

SIIMsmC

71

—cos幻cos勺in7l—\=1,

6464）

所以國”0=：/8-8。5也//80=[><（6+1）*23故A正確；

因為8。=3。，所以/=￡,設(shè)“3C的外接圓半徑是R,由正弦定理，27?=匹;=2血，所以火=也,

4sin/

故B錯誤；

4D_ABCDBC

因為5D=3C,由正弦定理.sinN4DB'?%一$出/8。。，因為24DB和N5DC互補，所以

sin—兀-sin——

66

sinZADB=sinZBDC,所以絲=坐=41±1,故C正確;

DCBC2

27rJr

設(shè)N4=e,貝ij/c=——e,/BDc=—+e,

36

e二BDABBDBC

因為----=---------,----=---------，

sinAsinZADBsinCsinZBDC

V3sin0+cos^6sin9+cos6

所以4B+BC=

sin。

——cos6+—sin。

22

BC=叵叩+。=36

若6=90°，則AB+1gJ+c1

——x0+—

22

若e￡（0°,90°）U（90°,180°）,則

_iV3+—'―

1

4B+BC=V3+—1令”te---,0U（0,+oo）,

tandV311tan。

--------1--

2tan。2

（廠、4-

AB+BC=^+t+^^=^3+t+￡（^+4

V31y/it+13\>曲+13

1H

2--2

4A/^46r-

詐，衛(wèi)W，當且僅當走（而+1）=4,即，4或t=一出時，則

丫3'）底+1333'，忘+1。

tan。=6或tan。二一^^,故。=/或。=^^（舍去），

綜上：當。BC為等邊三角形時，/3+BC的最小值是速，故D正確.

3

故選：ACD.

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面

積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，

二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

三、填空題

13.在中，角A,B,。所對的邊分別為b,c,已知csinZ=VJqcosC,貝!)C=.

【正確答案】1/600

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可

【詳解】由正弦定理可得，sinCsinN=Gsin/cosC,又sin/HO,故sinC=@cosC，又顯然COSCHO,

故tanC=&，又Ce(O"),故C=g

故J

3

14.設(shè)z為復(fù)數(shù)，若z(l+i)為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則|z+2|的最小值為.

【正確答案】41

【分析】設(shè)z=a+bi(a,6eR),根據(jù)z(l+i)為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，得到。=-"，再利用復(fù)數(shù)的模求解.

【詳解】解：設(shè)z=a+6i(a,beA),

則z(l+i)=a-6+(a+6)i(a,6eH),

因為z(l+i)為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，

所以〃+6=0,即8=一〃，

所以|Z+21=J(a+2)2+>=/3+1)2+2,

當。=-1時，|z+21nli?=&，

故夜

15.半徑為4的球的球面上有四點4SC,D,已知為等邊三角形且其面積為98，則三棱錐

D-ABC體積的最大值為_______.

【正確答案】18月

【分析】根據(jù)題意，設(shè)“8C的中心為三棱錐。-N8C外接球的球心為。，進而得當體積最大時,

點。，O',。在同一直線上，且垂直于底面/8C,再結(jié)合幾何關(guān)系計算即可求解.

【詳解】設(shè)28C的中心為三棱錐。-48c外接球的球心為O,

則當體積最大時，點D,O',。在同一直線上，且垂直于底面48C,如圖，

因為“3C為等邊三角形且其面積為96，所以“BC的邊長x滿足立■/=94，故x=6,所以

4

A0'=24,DO=AO=4,i^OO'=^AO--AO'2=716-12=2>

故三棱錐的高。0'=。0+。0'=6,所以憶=」X96X6=186

3

故186

16.已知平面向量b，工滿足同=1,|4=2,ic=b~c'貝底一:+之一小的最小值為

【正確答案】

【分析】令9=方，礪=B，OC=c^08的中點為。，的中點為￡,0D的中點為尸，Z與石的

夾角為。，由題意，計算。=g,|萬卜百，判斷出點C的軌跡為以。。為直徑的圓，利用向量基底表

示，將22一02+卜-邛）=2（|就『+|瑟『）轉(zhuǎn)化為22一02+/一邛）=4|屈1+3,然后轉(zhuǎn)化為圓上任意

一點到定點距離的最小值進而求解琲-才+再邛）最小值.

【詳解】令礪=3，51=108的中點為。，N8的中點為E,OD的中點為凡

工與否的夾角為0，連接C4、CB、CD、CO、EF.

由忖=1,忖=2,a2=a-b<得l=lx2xcos。，cos6=；,

因為兀］,所以。=；,在AO43中，由余弦定理得|布卜省.

又由得司"5=0，即反?（雙_歷/雙?覺=0,

所以點C的軌跡為以0D為直徑的圓.

|2

因為2|卜-。|

/uur1uurVAuuuriULDTA2

=2\EC+-AB\+\EC-^AB\

+臼力+3=7-#

當且僅當點C、E、尸共線，且點。在點￡、尸之間時，等號成立.

一一2一

-b的最小值為1一6.

所以c-a+c

2

故答案為6

2

本題解題關(guān)鍵是通過平面向量的幾何表示，將問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點到定點距離的最值從而根據(jù)幾

何知識得解.

四、解答題

17.已知向量力=〃=(cosx,sinx).

(1)若碗〃3，求tanx的值；

(2)^m-n=|JELXG^O,^,求cosx的值.

【正確答案】⑴-4;

〃、1+2新

()6

【分析】(1)由兩向量平行可得Linx=-@cos尤，即可得tanx的值；

22

(2)由機?”=§可得cos(x+§)=§,進而可得sin(x+$=,最后利用cosx=cos[(x+§)-§]求解

即可.

【詳解】(1)解：因為加〃n?所以，sinx=--^-cosx，

22

即sinx=-A/3cosx，

所以tanx=;

----1

(2)解：因為加,

EP—cosx-^-sinx=—，所以cos(x+，)=：,

22333

又因為X￡(0,/71兀571

，所以'+§￡

所以sin(x+])=jl-cos2。+安)=2,

3

UUI、Ir/兀、兀r/兀、兀./兀、.兀1+2巫

所以cosx=cost(x+§)—§]=cos(x+§)cos—+sin(x+y)sin—=——-——

18.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為10cm的正三角形紙片48C,在三角形的三個角沿圖中虛線剪去三個全

等的四邊形月，BDRE,CE&F(剪去的四邊形均有一組對角為直角)，然后把三個矩形48QQ,

及G&E,4G萬片折起，構(gòu)成一個以44a為底面的無蓋正三棱柱.

(1)若所折成的正三棱柱的底面邊長與高之比為3,求該三棱柱的高;

(2)求所折成的正三棱柱的表面積為166，求該三棱柱的體積.

【正確答案】q)10(2鳳3)加

3

(2)12cm3

【分析】(1)設(shè)出4。,表達出利用正三棱柱的底面邊長與高之比求出4。的長，即為該三棱柱的

IWJ;

(2)設(shè)出4。,表達出4A,表達出所折成的正三棱柱的表面積，求出4。的長，進而求出該三棱柱的

體積.

【詳解】（1）由題意及幾何知識得,

設(shè)則4。=,4用=10—2>/^x.

因為胃…

=3,

x

g”10（2百-3）

所以％=—1______L,

3

該三棱柱的高為出竺二11cm-

3

（2）由題意，（1）及幾何知識得，正三棱柱的表面積為166,

設(shè)4。=%，則ZD=,4用=10—2A/^X,

???表面積S=34DgA+?48]2=3x?《0—26卜^（0-2&『=163,

解得：x=V3，

AXD—V3,AD-=3>4耳=10-2A/^X=4

23

,該三棱柱的體積為：V=W&B；-AtD=曰X4Xy/3=12cm

19.已知。為三角形的一個內(nèi)角，復(fù)數(shù)z=cose+isind,且滿足|z+l|=l.

⑴求1+Z+Z?；

（2）設(shè)z,一22l+z+z?在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為N,B,C,求的面積.

【正確答案】（1）0

2

【分析】（1）由匕+1|=1求出cos。，得出Z,再由復(fù)數(shù)的四則運算求1+Z+Z2;

（2）求出復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上點的坐標，計算三角形的邊長，利用三角形面積公式求解.

【詳解】（1）<z+l=（cos<9+l）+isine且匕+1|=1,

/.（cos0+l）2+sin20=2+2cos6=1,

cos6=-工且（0,兀）,

2

sin6=",z=」+烏

222

213G.1V3.

/.z----------1=-------1，

44222

211V3.1V3.

/.1+z+z=1---1---1-------1=0.

2222

（2）復(fù)數(shù)z=—，+且i,-2z=-2（---—i）=l+,

1+z+z2=0,

2222

在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為4,爭如同c（。,。）,

.?。=1,CB=2,AB=y[i,

由余弦定理可得cos/ACB=C""B—"=1+4-3=

2CACB2x22

且44cB￡（0,兀），

/.sinZACB=—,

2

i1cc

SMRC=-CACB-sinZACB=-xlx2>H-=^-

△/2222.

20.已知函數(shù)/（%）=優(yōu)+左（左eZ,Q〉0且awl）.

⑴若工（；）=3,求工⑵的值；

（2）若人（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且0＜a＜l,是否存在實數(shù)加，使得力（加x2-加工-1）+人（根-5）＞0

對任意的xe口,3］恒成立，若存在，請寫出實數(shù)機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）47；

（2）存在，（-8。.

【分析】（1）根據(jù)給定條件可得&+J==3,由此計算。+工即可計算工（2）的值.

7aa

（2）由給定條件求出左，再探求函數(shù)人（尤）的單調(diào)性，然后脫去函數(shù)對應(yīng)法則，分離參數(shù)并求出函數(shù)最值

作答.

【詳解】（1）依題意，＜（x）="+「，由"《）=3得：&占=3,兩邊平方得“+工+2=9,解得

27aa

1-

ClH..-/,

a

所以＜（2）=/+。-2=。+1）2一2=47.

a

（2）因4（x）為定義在R上的奇函數(shù)，則VxeR,4（一尤）+4（尤）=0,即+人優(yōu)+/+版一工=0,

則（左+1）（屐+。-*）=0,而晨+尸>0,解得左=-1,因此，Xi（x）=ax-a~x,

因0<。<1,則優(yōu)在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，從而得<1@）=優(yōu)-。-工在R上單調(diào)遞減，

1

f_x（mx+一5）>0=（］（mx~——f_x（m-5）=f_x（5-m）

［36

omx2-mx-l<5-m<=>（x2-x+l）m<6,而％2-%+1=*——）2+—>0,貝［j加-----,

24x-x+1

依題意，Vxe［l,3］,加<26，成立，顯然-7+1在口，3］上單調(diào)遞增，一一在工3］上單調(diào)遞減,

X-x+1X-X+1

則當x=3時，（一旦：溫若，于是得切<?，

x-X+177

所以存在實數(shù)加滿足條件，加的取值范圍是（-町!）.

21.已知以5C滿足2sinCsin（5-Z）=2siiL4sinC-sin2B.

⑴試問：角5是否可能為直角？請說明理由；

（2）若28c為銳角三角形，求學(xué)的取值范圍.

S11L4

【正確答案】（1）角3不可能為直角，理由見解析

【分析】（1）使用反證法，假設(shè)角B為直角，根據(jù)題目條件證明假設(shè)不成立，得到角3不可能為直角;

。

（2）將哈sin的取值范圍轉(zhuǎn)化為f=3=￡c?>0）的取值范圍，通過』3c為銳角三角形，列出關(guān)于，

SIIL4sirUa

的不等式，進而求得結(jié)果.

【詳解】（1）假設(shè)角5為直角，則z+c=g,

2

所以sia4=cosC,sinC=cosA,

因為2sinCsin（B-4）=2siib4sinC-sin25,

所以2cos/cos/=2sirb4cosZ-1,

所以l+cos2/=sin24—l,所以sin（2/—：］=y/2,

顯然sin12N-B）41，所以矛盾，故假設(shè)不成立，

所以角3不可能為直角.

（2）因為2sinCsin（B-4）=2siiL4sinC-sin25,

所以2sinCsin5cos/-2sinCcos5siiL4=2siiL4sinC-sin25，

由正弦定理，得26ccos4-2accosB=2ac-b2,

由余弦定理化簡，得弘2=2W+2/,

因為。3C為銳角三角形，

cosA>0b2+c2-a2>0

71

所以O(shè)v5<—cosB>0=a2+c2-b2>0,

2

cosC>0ya2+b2-c2>0

3/2+2Z-1>0

c

令，==-(Z>0),則有3z2-2f+l>0=>-<?<-,

—3?+2/+5>0

所以哈的取值范圍為.

SIIL4133）

22.如圖所示“BC的兩邊8C=1,AC=2,設(shè)G是AABC的重心，BC邊上的高為/H,過G的直線

與AB,NC分別交于￡,F,已知方=2：布，AF=^AC；

BHC

⑴求!+工的值；

A/LI

（2）若cosC=:,S△.二春心二,求（E7/+Z尸）+-）的值;

（3）若旃在的最大值為二，求邊48的長.

1O

【正確答案】（1）3

【分析】（1）利用重心的性質(zhì)以及三點共線的充要條件即可求解（2）先解出人與〃,

再利用解三角形的知識求出E尸和小，最后將（麗+五可?（而+可化簡即可求解（3）以荏和就為

）「］-

基底表示麗?赤，引入?yún)?shù)”一￡-,2,通過分類討論求解

〃1_2」

24

如圖所示，連接/G并延長交于點。，則。為中點

因為G為AABC重心

―?2―?21

所以4G=丁。=§AB+ACj^-AB^AC^-AE^4

因為前，AE,方起點相同，終點共線

所以5+小匕所以3廣

(2)設(shè)角A,B,。所對的邊分別為b,c,a=\,b=2

?/c2=a2+b2-2abcosC=l+4-2xlx2x—=4/.c=2

4

SAAEF=；AExAFxsinZEAF=；AABx(從4C)xsinZEAF

5AARC=—ABx/CxsinABAC

所以

^\ABC

[11-3L3

由〃解之得：

4〃=——^=~

[20I5

...2X-=-,AF=2X-=-

AE=4255

Ar>z-，r+tA/+/7

在^ABC中COSA=---------------=—

2bc8

27

在AAEF,EF2=AE2+AF2-2AExAFxcosA

50

在Rt△力"C,中/〃=/CxsinC=走

2

EH+AF=AH-AE+AF=AH+EF

HF+EA=AF-AH-AE=EF-AH

，（麗+萬）.（詼+可=（而+西.回-初）=|研-畫|2=非2715321

4100

(3)BFCE=(〃衣^砌日益-碼=(4/+1)6CC0S4_；IC2_〃62

22

4+4C+3[5c-3121-。2

—Ze2—4〃=

3226

2

C2+3(21-c)^

1

2Z

人4

令/=—e

n

11

①若

(BF-CE)+448=0

解得…2或嚕

與時,

②若1<C<>2

2

—?—?15c■18+251925

BF-CEmax=-1--C=,

21818243618

1Q

解得：，=了（舍去）

綜上可得：。=2或勺匡

15

2023-2024學(xué)年安徽省合肥市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z=/-4+（〃-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.2B.2或—2C.-2D.-4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用純虛數(shù)的定義列式計算作答.

Z72-4=0

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=a2-4+(a-2)i為純虛數(shù)，則有二,解得。=一2,

Q—2W0

所以實數(shù)。的值為-2.

故選:C

2.在中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別是a,b,c,且c=2acos8,則A48c的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【正確答案】A

【分析】已知條件用正弦定理邊化角，由sinC=sin(/+8)展開后化簡得tan/=tan8,可得出等腰三

角形的結(jié)論.

【詳解】c=2acos3,由正弦定理，得sinC=sin(/+B)=2sin/cosB,

即sinAcosB+cos/sin8=2sinAcosB,

sinAcosB=cos^4sinB,可得tanA=tanB,

又0</<71,0<3<兀，：.A=B,

則“BC的形狀為等腰三角形.

故選：A.

3.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的體積為()

A.4若兀B.拽兀C.2叵兀D.迪兀

33

【正確答案】D

【分析】求出扇形的弧長，進而求出圓錐的底面半徑，由勾股定理得到圓錐的高，利用圓錐體積公式

求解即可.

【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，

所以該扇形的弧長為您x3=2兀，

180

設(shè)圓錐的底面半徑為「，貝I」2仃=2兀，解得：-=1,

因為圓錐的母線長為3,所以圓錐的高為。=乒正=2出，

該圓錐的體積為！兀尸2〃=—7txl2X2A/2=2071.

333

故選：D

4.“中，三個內(nèi)角B,C的對邊分別為Q,b,c.已知Z=；,后，b=6則5的大小

為（）

7t7t_7t_45兀7t_42兀

A.-B.-C.一或一D.一或一

636633

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.

【詳解】由正弦定理可得asin8=6sin/=>esin8