2022-2023學年安徽省滁州西城區(qū)中學高三數(shù)學第一學期期末達標測試試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-34．若，則的值為（）A． B． C． D．5．秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A． B． C． D．6．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．7．已知集合,，則A． B．C． D．8．設(shè)，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．10．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．11．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．12．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值是______.14．若實數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標函數(shù)15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為_______．16．若函數(shù)的圖像上存在點，滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當時，求直線l的方程.18．（12分）已知函數(shù)，的最大值為．求實數(shù)b的值；當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，令，是否存在區(qū)間，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．（12分）設(shè)拋物線過點.（1）求拋物線C的方程；（2）F是拋物線C的焦點，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若，求的值.20．（12分）如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.22．（10分）已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2、D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.3、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因為，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以二項式的展開式的通項公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力5、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得：輸入，，，；第一次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)，，，，跳出循環(huán)；輸出.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數(shù)的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識.7、D【解析】

因為,,所以,,故選D．8、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標函數(shù)在點處取得最小值，故目標函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．10、B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用，注意項的符號特征，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】，當且僅當時等號成立.故的最小值為8，故答案為：8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.14、12【解析】

畫出約束條件的可行域，求出最優(yōu)解，即可求解目標函數(shù)的最大值．【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域，如下圖，由x+y-4=02x-3y-8=0，解得目標函數(shù)y=3x-z，當y=3x-z過點(4,0)時，z有最大值，且最大值為12．故答案為：12．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當與交于點B(2,1)，當直線過B點時，m取得最大值為1.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】

（1）圓的方程已知，根據(jù)條件列出方程組，解方程即得；（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，方法一：設(shè)直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯(lián)立，可得，再由可解得，即得；方法二：設(shè)直線l的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，可得，將其與圓方程聯(lián)立，可得，由可解得，即得.【詳解】（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點在圓C上，右準線與圓C：相切.解得，，橢圓方程為：.（2）法1：設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：.直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，整理得.由，解得.直線方程和圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，由，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.分法2：設(shè)，，當直線l與x軸重合時，不符題意.設(shè)直線l的方程為：.由方程組消去x得，，解得.由方程組消去x得，，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學生的分析和運算能力.18、(1);(2)時，在單調(diào)增；時,在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當時，取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，進而可得結(jié)果.詳解：(1)由題意得，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當時，取得極大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定義域為.①即,則，故在單調(diào)增②若,而,故,則當時，;當及時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．③若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由（1）知，所以，令，則對恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，令，，則，設(shè)，，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實根.綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數(shù)值與極值的大小.19、（1）（2）【解析】

(1)代入計算即可.(2)設(shè)直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達定理與求解,進而利用弦長公式求解即可.【詳解】解：（1）因為拋物線過點,所以,所以,拋物線的方程為（2）由題意知直線AB的斜率存在,可設(shè)直線AB的方程為,,.因為,所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.【點睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點，連接，，通過證明，得，結(jié)合可證線面垂直，繼而可證面面垂直.（2）設(shè)，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）取中點，連接，，由已知可得，，，∵側(cè)面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）設(shè)，則，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時，常建立空間直角坐標系，通過求面的法向量、線的方向向量，繼而求解.特別地，對于線面角問題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.21、（Ⅰ）（Ⅱ）8