河北省石家莊市平山縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測八年級數(shù)學(xué)試卷（R）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且僅有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若是二次根式，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．2.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列示意圖中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖中所給出的數(shù)，找出組成三角形的三邊，并判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方，每一個圖判斷兩次即可．【詳解】解：，，，，，，，，錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是注意是判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方．3.如圖，將□ABCD的一邊BC延長至點(diǎn)E，若∠A＝110°，則∠1等于（）A.110° B.35° C.70° D.55°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等求出∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)平角等于180°列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝110°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的對角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】據(jù)二次根式的加減法對A、B、D進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：A、原式＝，所以A選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、原式＝2+3＝5，所以B選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、原式＝，所以C選項(xiàng)正確，符合題意；D、原式＝，所以D選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，二次根式的加減先把二次根式化為最簡二次根式，然后對被開方數(shù)相同的二次根式加減即可．熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為()A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面積.【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面積＝BC2＝3，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.若，則（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】把代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求出，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，，，在中，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題意考查勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理求直角三角形的邊長是解題關(guān)鍵．8.綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)O；（2）連接，在的延長線上截?。唬?）連接，，則四邊形即為所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）A.兩組對邊分別平行 B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分 D.一組對邊平行且相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點(diǎn)，圖2，得出，可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．9.如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地，測得，，，，且，這塊菜地的面積是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，利用勾股定理求出的長，再由勾股定理逆定理判斷的形狀，由三角形面積公式求得菜地的面積．【詳解】解：連接AC在中，，，，，在中，，，∴∴是直角三角形，且．∴∴這塊菜地的面積是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．10.如圖，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)，連接、、、，其中與對角線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出的面積的面積的面積，得出的面積的面積的面積的面積的面積，即可得出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，的面積的面積平行四邊形的面積，的面積平行四邊形的面積，的面積的面積的面積，的面積的面積的面積的面積的面積，即；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、三角形的面積關(guān)系；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出的面積的面積的面積是解決問題的關(guān)鍵．11.如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，∵∴∵∴∵∴∵∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AC與BD交于點(diǎn)O,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3,P為對角線BD上一點(diǎn)，當(dāng)對角線BD平分∠NPM時(shí)，PM-PN值為()A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】作以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，依據(jù)PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PN'=MN'，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，再根據(jù)△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1,即PM-PN=1.【詳解】解：如圖所示，作以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN'，

∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，

當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PN'=MN'，

∵正方形邊長為4，

∴AC=AB=4，

∵O為AC中點(diǎn)，

∴AO=OC=2，

∵N為OA中點(diǎn)，

∴ON=，

∴ON'=CN'=，

∴AN'=3，

∵BM=3，

∴CM=AB-BM=4-3=1，∴∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，

∵∠N'CM=45°，

∴△N'CM為等腰直角三角形，

∴CM=MN'=1，

即PM-PN=1，

故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．二、填空題（本大題有4個小題，每題3分，共12分．）13.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡=_____．【答案】【解析】【分析】利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系判斷的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得到答案．【詳解】解：由圖可知：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系判斷的符號是解題關(guān)鍵．14.已知：，則的值為______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式計(jì)算和變形即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故答案為：5．15.如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中說法正確的結(jié)論有______________【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理可判斷①正確；利用小正方形的邊長與直角三角形的邊長之間的關(guān)系可判斷②正確；根據(jù)四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積可判斷③正確；根據(jù)①③可知x+y=即可判斷④不正確.【詳解】①大正方形的面積是49，則其邊長是7，顯然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故選項(xiàng)①正確；②小正方形的面積是4，則其邊長是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x，即x-y=2，故選項(xiàng)②正確；③根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4×xy+4=49，化簡得2xy+4=49，故選項(xiàng)③正確；④因?yàn)椋▁+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此選項(xiàng)不正確．故答案為①②③.【點(diǎn)睛】本題利用了勾股定理、面積分割法等知識，能靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.16.在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則PM最小值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可證△ABC是直角三角形，則可以證四邊形AEPF是矩形，可得AP=EF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，可得AP=EF=2PM，則AP值最小時(shí)，PM值最小，根據(jù)垂線段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．【詳解】解：連接AP，∵AB2+AC2＝169，BC2＝169∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC∴四邊形AEPF是矩形∴AP＝EF，∠EPF＝90°又∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)∴PM＝EF∴當(dāng)EF值最小時(shí)，PM值最小，即當(dāng)AP值最小時(shí)，PM值最?。鶕?jù)垂線段最短，即當(dāng)AP⊥BC時(shí)AP值最小此時(shí)S△ABC＝AB×AC＝BC×AP∴AP＝∴EF＝∴PM＝故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，以及垂線段最短，關(guān)鍵是證EF=AP三、解答題（本大題有8個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則，零指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，BE＝DF．求證：AE＝CF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，∠B＝∠D，再根據(jù)SAS證明即可．【詳解】證明：在平行四邊形中AB＝CD，∠B＝∠D，又∵BE＝FD，∴（SAS），∴AE＝CF【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19.在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點(diǎn)與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上另一?？空镜木嚯x為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點(diǎn)周圍250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否有危險(xiǎn)？是否需要暫時(shí)封鎖？請通過計(jì)算進(jìn)行說明．【答案】有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖；理由見解析．【解析】【分析】本題需要判斷點(diǎn)C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險(xiǎn)，大于則沒有危險(xiǎn)．因此過C作于D，然后根據(jù)勾股定理在中即可求出的長度，然后利用三角形的面積公式即可求出，然后和250米比較大小即可判斷需要暫時(shí)封鎖．【詳解】解：有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖．理由：如圖，過作于，米，米，，∴在中，米，∵，∴米．∵，∴有危險(xiǎn)，段公路需要暫時(shí)封鎖．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出的長．20.如圖，在中，平分，與相交于點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【解析】【分析】先證四邊形是平行四邊形，再證，得，于是是菱形．【詳解】證明：中，,∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴．∵，∴．∴．∴是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定；掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，D是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，且．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在這類問題中的應(yīng)用．（1）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得，再結(jié)合可求得，可證得結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【小問1詳解】解：連接，∵D是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵D是的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∵，∴設(shè)，則，在中∴，解得：∴．22.已知：如圖所示，在中，D是的中點(diǎn)，E是線段的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交線段的延長線于點(diǎn)F，連接、．（1）求證：．（2）若，，則四邊形的面積是．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）易知，即可證明，得，又因?yàn)?，即證明四邊形是平行四邊形，即可作答；（2）易證明四邊形為菱形，得，，又因?yàn)?，得，由勾股定理得，即，那么四邊形的面積．【小問1詳解】證明：∵D點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，且，∴四邊形為菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形面積．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)運(yùn)判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，難度適中，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在四邊形中，，，，，動點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動，，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動的時(shí)間為秒．（1）為何值時(shí)，四邊形為矩形？（2）為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？【答案】（1）當(dāng)秒時(shí)，四邊形為矩形（2）當(dāng)秒時(shí)，四邊形為平行四邊形【解析】【分析】（1）根據(jù)，矩形的判定和性質(zhì)，得，求出，即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，得，求出，即可．【小問1詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為矩形，∵動點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動，∴，，∴，∴，解得：，∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形為矩形．【小問2詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，∴，∴，解得：，∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)與幾何的綜合，矩形和平行四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形和平行四邊形的判定和性質(zhì)．24.如圖，在等腰△ABC中，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不B、C重合），以AD為邊向右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．【猜想】如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，直接寫出CF、BC、CD三條線段的數(shù)量關(guān)系．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，判斷CF、BC，CD三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，點(diǎn)A、F分別在直線BC兩側(cè)，AE．DF交點(diǎn)為點(diǎn)O連接CO，若，，則．【答案】【猜想】CD=BC-CF，理由見解析；【探究】CF=BC+CD，理由見解析；【應(yīng)用】【解析】【分析】【猜想】利用SAS證明△BAD≌△CAF，得出BD=CF，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；【探究】利用SAS證明△BAD≌△CAF，得出BD=CF，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可得出結(jié)論；【應(yīng)用】利用SAS證明△BAD≌△CAF，得出BD=CF，∠ACF=∠ABD=135°，求出∠DCF=90°