貴州省安順市2023-2024學年高二下學期期末教學質量監(jiān)測考試數(shù)學試題（解析版）

全市2023-2024學年度第二學期期末教學質量監(jiān)測考試高二數(shù)學試題注意事項：1.本試卷共4頁、19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.2答卷前、考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后、用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則虛部為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算將復數(shù)化成標準形式即可得解；【詳解】解：，的虛部為1.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的基本概念，關鍵是將其分母實數(shù)化，化為的形式，進行判斷，屬于基礎題．2.函數(shù)在點處的切線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助導數(shù)的幾何意義即可得切線的斜率，結合斜率與傾斜角的關系計算即可得.【詳解】，，設在點處的切線傾斜角為，則有，由，則.故答案為：A.3.下列說法正確的是（）A.某班共有學生50人，現(xiàn)按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則該班女生共有20人B.數(shù)據(jù)，，，，，，，的第80百分位數(shù)為8C.線性回歸分析中，樣本相關系數(shù)的絕對值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關性越強D.線性回歸模型分析中，模型的決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好【答案】C【解析】【分析】結合分層抽樣的定義，百分位數(shù)的定義，相關系數(shù)、決定系數(shù)的定義，即可求解．【詳解】對于A，按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則樣本中女生有3人，該班女生共有人，A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)2，3，3，5，7，8，10，12，共8個，，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10，B錯誤；對于C，線性回歸分析中，樣本相關系數(shù)r的絕對值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關性越強，C正確；對于D，線性回歸模型分析中，模型的決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差，D錯誤.故選：C4.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則的最大值為（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】【分析】對給定等式求導，求出，進而求出函數(shù)的解析式及最大值.【詳解】由，求導得，令x=0，則，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最大值為.故選：C5.高三某班畢業(yè)活動中，有5名同學已站成一排照相，這時有兩位老師需要插入進來.若同學順序不變，則不同的插入方式有（）A.21種 B.27種 C.30種 D.42種【答案】D【解析】【分析】利用插空法，結合分步乘法計數(shù)原理求解．【詳解】5位同學已經(jīng)排好，第一位老師站進去有6種選擇，當?shù)谝晃焕蠋熣竞煤?，第二位老師站進去有7種選擇，所以2位老師與同學們站成一排的站法共有6×7＝42（種）.故選：D6.你正在做一道選擇題，假設你會做的概率是，當你會做的時候，又能選對正確答案的概率為；而當你不會做這道題時，你選對正確答案的概率是，那么這一刻，你答對這道選擇題的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式，列式計算即得.【詳解】依題意，由全概率公式，得答對這道選擇題的概率為.故選：A7.的展開式中各項系數(shù)和為32，則展開式中含的項是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】借助賦值法令可得，再利用二項式的展開式的通項公式計算即可得解.詳解】令，則有，解得，對有，則有，故展開式中含的項是.故選：A8.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質可得，構造函數(shù)證明即可比較大小.【詳解】令，求導得，即函數(shù)在上單調遞減，則，即，因此；令，求導得，函數(shù)在上單調遞增，則，即，因此，所以.故選：B【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關系問題，看似與函數(shù)的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯(lián)系，抓住其本質，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.集合，.若，則實數(shù)可取值（）A. B. C. D.0【答案】BC【解析】【分析】求出集合A，利用集合的互異性求出的范圍，再結合交集定義求解.【詳解】依題意，，由，得，解得且，D錯誤，對于A，，此時，，A錯誤；對于B，，此時，，B正確；對于C，，此時，，C正確.故選：BC10.已知隨機變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.，使得【答案】ABC【解析】【分析】由正態(tài)分布可求得，可判斷A；結合正態(tài)分布的性質計算可得，可判斷B；易得在上是增函數(shù)，可判斷C；當時，，，可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：當增大時，也增大，所以在上是增函數(shù)，故C正確；對于D：因為，，當時，，所以，又，所以，所以；當時，，則，又，所以不成立，故D錯誤；故選：ABC.11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線.例如：四葉草曲線就是其中一種（如圖）.則下列結論正確的是（）A.曲線關于坐標原點對稱B.曲線上的點到原點的最大距離為C.四葉草曲線所圍的區(qū)域面積大于D.四葉草曲線恰好經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）【答案】AB【解析】【分析】由點在上，點亦在上，即可得A；借助基本不等式計算，結合兩點間距離公式可得B；由B知曲線在圓內部，計算出該圓面積即可得C；由B知、的取值范圍，即可得D.【詳解】對A：若點在上，則亦在上，故曲線關于坐標原點對稱，故A正確；對B：若，，，則，即，當且僅當時等號成立，故曲線上的點到原點的最大距離為，故B正確；對C：由B知，故曲線在圓內部，圓的面積為，故葉草曲線所圍的區(qū)域面積不大于，故C錯誤；對D：由B知，則，，則當、為整數(shù)時，只有、，此時滿足曲線，故四葉草曲線只經(jīng)過1個整點，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學學習的時間（單位：小時）與成績（單位：分）之間的關系近似于線性相關關系.對某小組學生每周用于數(shù)學的學習時間與數(shù)學成績進行數(shù)據(jù)收集如表：151618192210298115120若由表中樣本數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則實數(shù)______.【答案】115【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用回歸直線必過樣本的中心點，列式求解.【詳解】依題意，，，而線性回歸方程為，則，所以.故答案為：11513.函數(shù)的所有極值之和為______.【答案】4【解析】【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性，從而可得函數(shù)的極值，相加即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，由，得或，由，得或，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，于是當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的所有極值之和為.故答案為：414.已知橢圓和雙曲線在第一象限的交點為，橢圓的右焦點為，在方向上的投影向量為，則橢圓的離心率為______；雙曲線的漸近線方程為______.【答案】①.##②.【解析】【分析】設橢圓的半焦距為，則，由點的橫坐標，得，代入雙曲線方程得，則得，，即可求得橢圓的離心率和雙曲線的漸近線方程.【詳解】設橢圓的半焦距為，則Fc,0，，因為在方向上的投影向量為，點在第一象限，所以點的橫坐標，代入橢圓的方程得，又點在雙曲線上，所以，②由①②解得，，所以橢圓的離心率為；雙曲線的漸近線方程為.故答案為：；.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.若數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前99項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式，求得公差，進而得到所求.（2）由（1）的結論，利用裂項相消求和即可得解.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，則公差，因此，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以.16.由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每300年滅絕一種，獸類平均每8000年滅絕一種，但是自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的1000倍.所以保護動物刻不容緩，全世界都在號召保護動物，動物保護的核心內容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關聯(lián)”，從某市市民中隨機抽取200名進行調查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：性別保護動物意識合計強弱男性3070100女性6040100合計90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關聯(lián)？（2）將表中求得的頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性市民（人數(shù)足夠多）中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次.記被抽取的3人中“保護動物意識強”的人數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）能；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】【分析】（1）將表格中的數(shù)據(jù)代入公式求出χ2的值，與臨界值對比，即可求解.（2）求出X的所有可能取值及對應的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解．【小問1詳解】零假設H0：保護動物意識的強弱與性別無關，由表中數(shù)據(jù)計算，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為保護動物意識的強弱與性別有關，此推斷犯錯的概率不大于0.01.【小問2詳解】從該市女性市民中抽到1人“保護動物意識強”的概率為，X的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學期望.17.五面體為直三棱柱截去一個三棱錐后得到的幾何體，，，為的中點，為線段的中點.點滿足上.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若是線段的中點，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出即可求解；（2）利用（1）中坐標系，平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】以點C為坐標原點，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則A2,0,0，，，，，，，，所以，，因為，所以，所以，因為，則，解得；【小問2詳解】因為P是線段AC的中點，所以，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則有，，即，顯然平面的一個法向量為，設平面ABC與平面PBF的夾角為，則，所以，即平面ABC與平面PBF夾角的正弦值為.18.如圖，在斜坐標系中，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在該斜坐標系中的坐標為有序數(shù)對，記為.在斜坐標系中，完成如下問題：（1）若斜坐標系中，，且，求實數(shù)的值；（2）若斜坐標系中，，求向量，的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由及條件，結合向量數(shù)量積的運算律建立方程求解即可.（2）利用向量數(shù)量積的運算律求出，再利用向量夾角的公式計算即得.【小問1詳解】依題意，，由，得，由，得，即，整理得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，則，，，所以向量，的夾角的余弦值.19.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.（1）求與的導數(shù)；（2）證明：在上恒成立；（3）求的零點.【答案】（1），；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）借助導數(shù)公式計算即可得；（2）構造函數(shù)后，借助導數(shù)研究其單調性即可得；（3）多次求導最終判斷函數(shù)在內單