北京市門頭溝區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)3月綜合練習(xí)一模試題理含解析

PAGEPAGE19北京市門頭溝區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)3月綜合練習(xí)（一模）試題理（含解析）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）1.已知集合，，則等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合A，B，然后對(duì)集合A,B取交集即可.【詳解】解：集合，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題．2.復(fù)數(shù)z滿意，那么是A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：∵z∴z故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3.一個(gè)體積為123A.63 B.8 C.8【答案】A【解析】試題分析：依題意可得三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4正三角形.又由體積為123.所以可得三棱柱的高為3.所以側(cè)面積為6考點(diǎn)：1.三視圖的學(xué)問(wèn).2.棱柱的體積公式.3.空間想象力.4.右圖的程序框圖，假如輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的推斷框中，應(yīng)當(dāng)填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的A.c＞x? B.x＞c? C.c＞b? D.b＞c?【答案】A【解析】解：由流程圖可知：第一個(gè)選擇框作用是比較x與b的大小，故其次個(gè)選擇框的作用應(yīng)當(dāng)是比較x與c的大小，∵條件成立時(shí)，保存最大值的變量X=C故選A．5.已知向量a，b滿意a=b=1，且其夾角為θ，則“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由向量夾角的概念和充要條件的定義進(jìn)行推斷即可.【詳解】解：∵a=b(1)由a?b>∴cosθ<12；又0≤a?b>(2)由θ∈π3,π∴a2?a?b>綜上得，“a?b>故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量夾角的概念，考查充分條件、必要條件及充要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位線定理和異面直線所成角，以及線面垂直的判定定理，即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于A，AB為體對(duì)角線，MN，MQ，NQ分別為棱的中點(diǎn)，由中位線定理可得它們平行于所對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線，連接另一條面對(duì)角線，由線面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；對(duì)于B，AB為上底面的對(duì)角線，明顯AB垂直于MN，與AB相對(duì)的下底面的面對(duì)角線平行，且與直線NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；對(duì)于C，AB為前面的面對(duì)角線，明顯AB垂直于MN，QN在下底面且與棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；對(duì)于D，AB為上底面的對(duì)角線，MN平行于前面的一條對(duì)角線，此對(duì)角線與AB所成角為60°則AB不垂直于平面MNQ．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面垂直的判定定理，考查空間線線的位置關(guān)系，以及空間想象實(shí)力和推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．7.某學(xué)須要從3名男生和2名女生中選出4人，到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參與活動(dòng)，其中甲社區(qū)須要選派2人，且至少有1名是女生；乙社區(qū)和丙社區(qū)各須要選派1人則不同的選派方法的種數(shù)是A.18 B.24 C.36 D.【答案】D【解析】由題設(shè)可分兩類：一是甲地只含有一名女生，先考慮甲地有C21C31種情形，后考慮乙、丙兩地，有A32種情形，共有C21C8.若函數(shù)fx圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)A,B稱為函數(shù)fx的“友好點(diǎn)對(duì)”且點(diǎn)對(duì)A,B與B,A可看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”若函數(shù)A.m≤(e?1)【答案】C【解析】【分析】求出當(dāng)x≤0時(shí)fx關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)hx，條件轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>【詳解】解：當(dāng)x≤0時(shí)，y=即y=?x設(shè)hx=?條件等價(jià)為當(dāng)x>0時(shí)，hx則hx=?當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)hx當(dāng)x>0時(shí)，fx由f'x>0得x由f'x<0得0即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)fx作出當(dāng)x>0時(shí)，hx要使兩個(gè)圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則he>f即e2即m<故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的圖象，利用定義作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的作圖實(shí)力．二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）9.若x，y滿意條件x+y?【答案】2【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：由x，y滿意條件x+由z=x+由圖可知，當(dāng)直線y=?12x+1聯(lián)立x+y?∴目標(biāo)函數(shù)z=x+故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．10.雙曲線C：2x【答案】y【解析】【分析】將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到a、b值，即可得到所求漸近線方程．【詳解】解：∵雙曲線2x2∴a2=12，又∵雙曲線x2a∴雙曲線2x2故答案為：y【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．11.等比數(shù)列{an}中，S3=21，【答案】3【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，∵S3∴a11解得a1數(shù)列an的通項(xiàng)公式a故答案為：3×【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知直線l的參數(shù)方程為x=ty=t?1(t為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ【答案】8【解析】【分析】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】解：由x=ty=t其參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：x=由ρsin2θ?4cosθ將直線的參數(shù)方程代入y2=4設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t則t1+t所以AB=故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與一般方程的互化，考查直線參數(shù)方程的應(yīng)用，屬中檔題．13.已知x，y∈R+甲、乙兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的解法：甲：z乙：z①你認(rèn)為甲、乙兩人解法正確的是______．②請(qǐng)你給出一個(gè)類似的利用基本不等式求最值的問(wèn)題，使甲、乙的解法都正確．【答案】①甲②見解析【解析】【分析】乙解法中兩次不等式取等條件不同，故乙錯(cuò)誤，甲正確．【詳解】解：①甲正確，乙解法中兩次不等式中取等的條件不相同；②已知x，y∈R+甲：z=乙：z=故答案為：甲．【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，屬中檔題．14.一半徑為4m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)按逆時(shí)針?lè)较?3圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中出現(xiàn)時(shí)起先計(jì)時(shí)，即從圖中點(diǎn)P1當(dāng)t=5秒時(shí)點(diǎn)2將點(diǎn)P距離水面的高度h(單位：m)表示為時(shí)間t(【答案】(1).23+【解析】【分析】1利用直角三角形的邊角關(guān)系，即可求出5秒后點(diǎn)P離開水面的距離；2由題意求ω值，結(jié)合t=0的狀況可求出【詳解】解：1)t=5在Rt△MOP在Rt△AON此時(shí)點(diǎn)AP離開水面的高度為22由題意可知，ω=設(shè)角φ(?π2<由條件得ht=4將t=0，h0∴φ∴所求函數(shù)的解析式為ht故答案為：1)23+【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=三、解答題（本大題共6小題，共80.0分）15.在△ABC(1)求(2)若△ABC的面積為3【答案】（1）60°；（2）6【解析】【分析】1利用正弦定理，再進(jìn)行三角恒等變換求cosB的值，從而求出B值；2由△AB【詳解】解：1△AB由正弦定理可得2s整理可得2s又A為三角形內(nèi)角，si所以co由B為三角形內(nèi)角，可得B=2由△ABC的面積為3所以ac又a+由余弦定理得b2=a2+所以b=∴△AB【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦、余弦定理和面積公式應(yīng)用問(wèn)題，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力，是中檔題．16.在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡(jiǎn)稱“創(chuàng)城”活動(dòng)中，教委對(duì)本區(qū)A，B，C，D四所中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查狀況進(jìn)行整理后制成如表：學(xué)校ABCD抽查人數(shù)50151025“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)4010915注：參與率是指：一所學(xué)校“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值假設(shè)每名中學(xué)學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的．Ⅰ若該區(qū)共2000名中學(xué)學(xué)生，估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)；Ⅱ在隨機(jī)抽查的100名中學(xué)學(xué)生中，從A，C兩學(xué)校抽出的中學(xué)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率；Ⅲ若將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校中學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）800；（Ⅱ）1350【解析】【分析】Ⅰ由分層抽樣性質(zhì)估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)．Ⅱ設(shè)事務(wù)A表示“抽取A校中學(xué)學(xué)生，且這名學(xué)生參與創(chuàng)城活動(dòng)”，事務(wù)C表示“抽取C校中學(xué)學(xué)生，且這名學(xué)生參與創(chuàng)城活動(dòng)”，則所求概率為：P=PAC+AC=PAP【詳解】解：Ⅰ該區(qū)共2000名中學(xué)學(xué)生，由分層抽樣性質(zhì)估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)為：2000×Ⅱ設(shè)事務(wù)A表示“抽取A校中學(xué)學(xué)生，且這名學(xué)生參與創(chuàng)城活動(dòng)”，事務(wù)C表示“抽取C校中學(xué)學(xué)生，且這名學(xué)生參與創(chuàng)城活動(dòng)”，則從A，C兩學(xué)校抽出的中學(xué)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率：P=4Ⅲ將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校中學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)X～PX=0PX=2∴X

X0

1

2

3

P

1

12

48

64∵X～B【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式、分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．17.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠ABC=60°，PA⊥Ⅰ求證：BDⅡ若AF(i)求PC與平面(ii)側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線，都滿意CM//平面【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）i26【解析】【分析】I證明BD⊥平面PAC即可得出BD⊥CF；IIi建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量n，計(jì)算n和CP【詳解】I證明：∵PA⊥平面ABCD，B∴P∵四邊形ABCD是菱形，∴A又PA∩AC=A，PA∴BD⊥又CF?平面∴BII解：i設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，平面ABCD過(guò)點(diǎn)O則B(33,0，0)，D(-33,0，0∴CP=0,-6,6，設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y，z)令y=2可得z=3，即n∴cos∴PC與平面BDF所成角的正弦值為|cii取PF的中點(diǎn)G，連接FG，CG∵E，G分別是PD，PF∴EG//DF，又EG∴EG/∵F，O分別是AG，AC∴OF//CG，又OF∴CG/又EG?平面CEG，CG?平面∴平面CEG/∴側(cè)面PAD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線EG，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線，都滿意CM//此直線被直線PA、PD所截線段為EG【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和面面平行的判定與性質(zhì)，考查利用空間向量求線面角，屬于中檔題．18.如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)Ⅰ求橢圓C的方程；Ⅱ在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(0,1)與點(diǎn)Q(0,2)，過(guò)P的動(dòng)直線l(不與x軸平行與橢圓相交于A，B(i)Q，A(i【答案】（Ⅰ）x2【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周長(zhǎng)可得a=2，依據(jù)離心率可得c=2，即可求出b2=2，則橢圓方程可求；Ⅱ)i當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿意Q，A，B1三點(diǎn)共線當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于【詳解】解：Ⅰ)∵△F2DE的周長(zhǎng)為∵e=ca=故橢圓C的方程為xⅡ)i證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿意Q，A，B當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=聯(lián)立y=kx設(shè)Ax1,y1x1+xQA=x∵=?∴QA與QB1共線，則Q，ii由i可知Q，A，B∴【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，留意解題方法的積累，屬于中檔題．19.已知f(x)=aⅠ求實(shí)數(shù)a的值；Ⅱ設(shè)g(i)若函數(shù)g(x)(ii)當(dāng)b【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）(i)1；【解析】【分析】Ⅰ求函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)f'x，計(jì)算x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可求出a的值；Ⅱ)i求gx的導(dǎo)數(shù)g'x，探討當(dāng)b≤1和b>1時(shí)gx的單調(diào)性，由單調(diào)性推斷最值即可得到b的最大值；ii【詳解】解：Ⅰ函數(shù)fx=a由題意知x=0時(shí)，f'0=Ⅱ)i所以g'當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，若b≤1，則e當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，若b>1所以gx在0,lnb所以b的最大值為1；iigx=x設(shè)hx=e當(dāng)b=0時(shí)，hx無(wú)零點(diǎn)，所以g當(dāng)b<0時(shí)，h'x>又h0=1由零點(diǎn)存在性定理可知，hx在?∞,所以gx有2綜上所述，b=0時(shí)，gx只有一個(gè)零點(diǎn)，b<0【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線問(wèn)題，以及推斷函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．20.給定數(shù)列{an}，若滿意a1=a(a>0且Ⅰ已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為anⅡ若數(shù)列{an}滿意：a1=Ⅲ若數(shù)列