2.1曲線與方程示范課公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

高中數(shù)學(xué)選修2—1第二章《曲線與方程》授課教師：姚志華——2012年4月5日——2.1.1曲線與方程提出問題:直線的方程與方程的直線的概念是如何敘述的?一:情景引入（1）以一種方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是其對應(yīng)直線上的點(diǎn)；（2）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是其對應(yīng)方程的解。

簡言之，若方程的解和直線上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，則稱這個(gè)方程為這條直線的方程，這條直線稱為方程的直線。

滿足這樣的（1）（2）的方程為直線的方程，這條直線稱為方程的直線。二：曲線的方程與方程的曲線

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是其對應(yīng)方程的解；

（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是其對應(yīng)曲線上的點(diǎn)。純正性完備性（一）曲線的方程與方程的曲線的概念二：坐標(biāo)法的定義（二）坐標(biāo)法的概念我們把運(yùn)用坐標(biāo)系來研究幾何圖形的辦法，叫做坐標(biāo)法。（三）坐標(biāo)法解析幾何在平面上建立直角坐標(biāo)系：點(diǎn)一一對應(yīng)坐標(biāo)（x，y）曲線坐標(biāo)化曲線的方程研究用坐標(biāo)法來研究幾何圖形，也就是運(yùn)用代數(shù)辦法來研究幾何問題，形成了數(shù)學(xué)的一種重要分支—解析幾何。平面解析幾何研究的重要問題：（1）運(yùn)用已知條件，求出平面曲線的方程；（2）通過方程研究平面曲線的性質(zhì)。下面研究如何求曲線的方程。迪卡爾三：例題分析例1設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-1）、（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程。如何求曲線的方程?辦法1：運(yùn)用現(xiàn)成的結(jié)論——直線方程的知識(shí)求解。

解1：因?yàn)?

所以所求直線的斜率k=，又由于線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）因此線段AB垂直平分線的方程根據(jù)兩點(diǎn)式能夠求得x+2y-7=0。三：例題分析例1設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-1）、（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程。辦法2：若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?──需要掌握普通性的辦法。問題1設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-1）、（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程。我們的目的就是要找x與y的關(guān)系式解:設(shè)M(x，y)是線段AB的垂直平分線上的任一點(diǎn),先找曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件則|MA|=|MB|，

（1）由上面過程可知，垂直平分線上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）設(shè)點(diǎn)M1（x1，y1）是方程（*）的解，即x1+2y1-7=0，由于上面的變形過程步步可逆，因此因此|M1A|=|M1B|，總而言之，所求線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-7=0。第一種辦法運(yùn)用現(xiàn)成的結(jié)論固然快,但它需要你對研究的曲線要有一定的理解;第二種辦法即使有些走彎路，但這種辦法有普通性。求曲線的方程能夠這樣普通地嘗試，注意其中的環(huán)節(jié):四：例題總結(jié)——辦法提煉求曲線的方程（軌跡方程），普通有下面幾個(gè)環(huán)節(jié):1.建立適宜的坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo);2.寫出適合條件P的幾何點(diǎn)集（限）;3.用坐標(biāo)表達(dá)條件,列出方程（代）；4.化簡方程為最簡形式；5.證明（查漏除雜）。以上過程能夠概括為一句話：建設(shè)現(xiàn)（限）代化。

例2點(diǎn)M與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)k(k>0)，求點(diǎn)M的軌跡方程。三：例題分析

例3已知一條曲線在x軸上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(0，2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。三：例題分析三：例題分析例4已知一條直線和它上方的一種點(diǎn)F,點(diǎn)F到的距離是2，一條曲線也在的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到的距離的差都是2，建立適宜的坐標(biāo)系，求這條曲線的方程。lBFMOxy（x，y）（0，2）三：課堂練習(xí)練習(xí)1：已知點(diǎn)M與軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，4）的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)限（找?guī)缀螚l件）代（把條件坐標(biāo)化）化簡

這就是所求的點(diǎn)的軌跡方程。三：思考題

如圖，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2）,過點(diǎn)C直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。M（x，y）OxyC（2，2）BA三：例題分析例2已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓O：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并闡明它表達(dá)什么曲線？0xyMNQ

例2求拋物線y=x2+（2m+1）x+m2-1（m∈R）的頂點(diǎn)的軌跡方程。三：例題分析（2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M│p(M)}；4.1.1求曲線方程的普通環(huán)節(jié)（1）建立適宜的直角坐標(biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對例如（x，y)表達(dá)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）把曲線上的點(diǎn)所適合的條件p（M）用坐標(biāo)來表達(dá)，列出方程f(x，y)=0；（4）把方程f(x，y)=