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文檔簡介
前面討論了隨機變量及其分布。如果我們懂得了隨機變量X的概率分布,那么,有關(guān)X的全部概率特性也就懂得了。然而,在實際問題中,概率分布是較難擬定的。且有時在實際應(yīng)用中,我們并不需要懂得隨機變量的全部性質(zhì),只要懂得其某些數(shù)字特性就夠了。因此,在對隨機變量的研究中,擬定隨機變量的某些數(shù)字特性是非常重要的。最慣用的數(shù)字特性是:盼望和方差。第四章數(shù)字特性4.1.1離散型隨機變量的盼望概念引入:某車間對工人生產(chǎn)狀況進行考察,車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一種隨機變量。如何定義X的平均值?§4.1盼望若統(tǒng)計了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的狀況,發(fā)現(xiàn):能夠得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品。能夠想象:若另外再統(tǒng)計100天,其中不出廢品,出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天普通不會完全相似,即另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是1.27。n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.能夠得到這n天中,每天的平均廢品數(shù)為(假定每天至多出三件廢品)
普通來說,若統(tǒng)計了n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率與概率的關(guān)系,
不難想到:求廢品數(shù)X的平均值時,用概率替代頻率,得平均值為:這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣,就得到一種擬定的數(shù)——隨機變量X的盼望(均值)。是隨機波動的!定義1:設(shè)X是離散型隨機變量,概率分布為
P{X=xk}=pk,k=1,2,…。也就是說:離散型隨機變量的盼望是一種絕對收斂的級數(shù)和。如果收斂,則稱為X的盼望(或均值)。有關(guān)定義的幾點闡明:(3)隨機變量的盼望與普通變量的算術(shù)平均值不同.(1)E(X)是一種實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性確保了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的變化而變化,之因此這樣規(guī)定是由于盼望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而變化.隨機變量X的算術(shù)平均值為假設(shè)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的平均值.當隨機變量X取各個可能值是等概率分布時,X的盼望值與算術(shù)平均值相等.例1:
發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤
某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設(shè)頭等獎1個,獎金1萬元,二等獎2個,獎金各5千元;三等獎10個,獎金各1千元;四等獎100個,獎金各100元;五等獎1000個,獎金各10元.每張彩票的成本費為0.3元,請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解:設(shè)每張彩票中獎的數(shù)額為隨機變量X,則每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收平均利潤為解:X的分布律為例2:自動生產(chǎn)線在調(diào)節(jié)之后出廢品的概率是p,當在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時應(yīng)立刻重新進行調(diào)節(jié),求在兩次調(diào)節(jié)之間生產(chǎn)的合格品數(shù)X的數(shù)學(xué)盼望.P71例4.2幾何分布自學(xué).例3:商店的銷售方略解:類似的題:P72例4.54.1.2持續(xù)型隨機變量的盼望例4:設(shè)持續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為解:4.1.3隨機變量函數(shù)的盼望設(shè)隨機變量X的分布已知,需要計算的量并非X的盼望,而是X的某個函數(shù)g(X)的盼望,那么,如何計算呢?一種辦法是:由于g(X)也是隨機變量,故應(yīng)有概率分布,其分布能夠由X的分布求出。一旦懂得了g(X)的分布,就能夠按照盼望的定義把E[g(X)]計算出來。但使用該辦法必須先求出g(X)的分布。普通說來,這是比較復(fù)雜的事。
那么,可否不求g(X)的分布,而只根據(jù)X的分布來計算E[g(X)]呢?答案是必定的。且有以下公式:設(shè)X是一種隨機變量,Y=g(X),則
當X為離散型時,P(X=xk)=pk;當X為持續(xù)型時,X的密度函數(shù)為f(x)。(P72定理4.1)該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必求g(X)的分布,而只需懂得X的分布足矣。這對求g(X)的盼望帶來了極大方便。例5:設(shè)國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量是隨機變量X(單位:噸)。X服從區(qū)間[2000,4000]上的均勻分布。每銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯3萬元;若銷售不出,則每噸商品需貯存費1萬元。求:應(yīng)組織多少貨源,才干使國家收益最大?解:設(shè)組織貨源t噸。顯然,應(yīng)規(guī)定2000≤t≤4000。國家收益Y(單位:萬元)是X的函數(shù)Y=g(X)。體現(xiàn)式為由已知條件,知X的概率密度函為可算得當t=3500時,E(Y)達成最大值。因此,應(yīng)組織3500噸貨源。
推廣:前面我們給出了求g(X)的盼望的辦法。事實上,該結(jié)論可容易地推廣到兩個隨機變量函數(shù)Z=g(X,Y)的情形。類似的題:P73例4.7設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布為
pij,i=1,2,,
j=1,2,
.則:設(shè)二維持續(xù)型隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y),則:(P72定理4.2)例6:設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布以下表所示,求Z=X2+Y的盼望.
E(Z)=
g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25.解:例7:設(shè)(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,其中G為x軸,y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域.求E(X),E(-3X+2Y)
及E(XY).4.1.4盼望的性質(zhì)(1).設(shè)C是常數(shù),則E(C)=C;(4).設(shè)X,Y互相獨立,則E(XY)=E(X)E(Y);(2).若k是常數(shù),則E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立.推廣:推廣:(諸Xi獨立時)。解:例8:該辦法稱為隨機變量的(0-1)分解,P75例4.11超幾何分布.P75例4.10.前面介紹了隨機變量的盼望。盼望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平,是隨機變量的重要的數(shù)字特性。但在某些場合,僅僅懂得平均值是不夠的,還需理解其它數(shù)字特性?!?.2方差例如,某零件的真實長度為a,現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次,將測量成果X用坐標上的點表達如圖:乙儀器測量結(jié)果
甲儀器測量結(jié)果較好由于乙儀器的測量成果集中在均值附近。又如,甲、乙兩門炮同時向一目的射擊10發(fā)炮彈,其落點距目的的位置如圖:甲炮射擊成果乙炮射擊成果乙較好由于乙炮的彈著點較集中在中心附近。
中心中心為此需要引進另一種數(shù)字特性,用它來度量隨機變量取值偏離其中心(均值)的程度。這個數(shù)字特性就是我們要介紹的方差。4.2.1方差的定義注:有的書上也將Var(X)記成D(X)或
(X)
。
定義1:設(shè)
X是一隨機變量,若E[X-E(X)]2存在,則稱其為X的方差,記成Var(X),即Var(X)=E[X-E(X)]2;(1)并稱為X的原則差。若X的取值比較分散,則方差較大。若方差Var(X)=0,則X以概率1取常數(shù)。方差刻劃了隨機變量的取值對于其盼望的偏離程度。若X的取值比較集中,則方差較??;均值E(X)X為離散型,P{X=xk}=pk。(1)由定義知,方差是隨機變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)盼望。X為持續(xù)型,f(x)為密度。4.2.2方差的計算(2)計算方差的一種簡化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.
展開證:Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.運用期望性質(zhì)解:于是例2:設(shè)X服從幾何分布,概率分布為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,其中0<p<1,求Var(X)。解:記q=1-p,則交換求和與求導(dǎo)次序無窮等比級數(shù)求和公式例3:設(shè)(X,Y)含有概率密度函數(shù)求隨機變量Y的盼望與方差。類似的題:p80例4.16.解法1:運用聯(lián)合分布解法2:運用邊沿分布當0≤y≤1時,4.2.3方差的性質(zhì)(1).設(shè)C是常數(shù),則Var(C)=0;(2).若C是常數(shù),則Var(CX)=C2
Var(X);(3).若X與Y獨立,則Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y);可推廣為:若X1,X2,…,Xn互相獨立,則例4:設(shè)隨機變量X的盼望和方差分別為E(X)和Var(X),且Var(X)>0,求解:例5:X服從兩點分布,求E(X)及Var(X).解:
X的分布律為4.2.4六個常見分布的盼望和方差例6:X~P(),求E(X)及Var(X).解:
X的分布律為因此X的方差為結(jié)論:若X~P(),則解:例7:設(shè)X~U(a,b),求E(X)及Var(X).解:X的密度函數(shù)為例8:
設(shè)X~E(),求E(X)及Var(X).解:
令例9:求E(X)及Var(X).則
Z~N(0,1),其概率密度為記住正態(tài)分布的特性:例如,X~N(1,3),Y~N(2,4),X與Y獨立,則Z=2X-3Y服從正態(tài)分布N(?,?)E(Z)=2E(X)-3E(Y)因此Z~N(-4,48).解:這是n次貝努里實驗問題,視p為每一次實驗事件A出現(xiàn)的概率,則X即是n次實驗中A出現(xiàn)的次數(shù).~(0-1)分布,例10:
設(shè)X~B(n,p),求E(X)及Var(X).互相獨立,令記住六個常見分布的概率密
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