2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編閱讀理解、圖表信息含答案

2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編閱讀理解、圖表信息

一,選擇題

1.(2024廣東東莞?聯(lián)考)某青年排球隊12名隊員的年齡情況如表：

年齡1819202122

人數(shù)14322

則這個隊隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)是()，

A.19,20B.19,19C.19,20.5D.20,19

【考點】眾數(shù)；中位數(shù).

【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均

數(shù))為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個.

【解答】解：數(shù)據(jù)19出現(xiàn)了四次最多為眾數(shù)；20和20處.在.第6位和第7位，其平均數(shù)是

20,所以中位數(shù)是20.

所以本題這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是20,眾數(shù)是19.

故選：A.

【點評】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學(xué)生往往對這

個概念掌握不清楚，計算方.法不明確而誤選其它選項.注意找中位數(shù)的時候一定要先排好

順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所

求.如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均,數(shù).

二.填空題

1.(2024浙江金華東區(qū)4月診斷檢測閱讀以下材料:對于三個數(shù)a,b,c,用mid{a,b,c}

-l(a<-l)

表示這三個數(shù)的中位數(shù).例如mid{-1,2,3}=2,mid{-l,2,a}="a(-l<o<2).若

2(a>2)

mid{4,2x+2,4-2x}=2x+2,則x的取值范圍為▲.

答案：-<x<l

2

2.(2024廣東東莞?聯(lián)考)如果記y=l+x'=f.(x),并且f(1)表示當(dāng)x=l時y

I212

1+(-T)

的值，即=;f()表示當(dāng)x二時y的值，即f()二2

n-1

那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+-+f(n)+f()=2.(結(jié)果用含

n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)).

【考點】分式的加減法.

【專題】壓軸題；規(guī)律型.

22

【分析】由f(1)f()可得：f(2)=1+2=；從而f(1)+f(2)+f()=+1=2-.所

以f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=2(n為正整數(shù)).

2Jll.

*2；12

-----51+(-)

【解答】解：■⑴=1+1=；f()=2

22

=1+22

：.f(1)+f(2)+f()=+1=2-.

n-1

故f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+“?+f(n)+f()=2.(n為正整數(shù))

【點評】解答此題.關(guān)鍵是根據(jù)題中所給的式子找出規(guī)律，再解答.

三.解答題

1.(2024河北石家莊?一模)先閱讀材料，再解答問題：

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有.關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧(或等弧)所對的圓周角

相等.如圖，點A、B、C、D均為。。上的點，則有NC=ND.小明還發(fā)現(xiàn)，若點E在。0外,

且與點D在直線AB同側(cè)，則有ND>/E.

請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題：

圖1圖2

第1題

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為(0,7),點B的坐標(biāo)為(0,3),

點C的坐標(biāo)為(3,0)..

①在圖1中作出AABC的外接圓(保留必要的作圖痕跡，不寫作法)；

②若在x軸的正半軸上有一點D,且NACB=NADB,則點D的坐標(biāo)為(7,0)；

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為(0,m),點B的坐標(biāo)為(0,n),

其中m>n>0.點P為x軸正半軸上的一個動點，當(dāng)NAPB達(dá)到最大時，直接寫出此時點P

的坐標(biāo).

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）①作出aABC的兩邊的中垂線的交點，即可確定圓心，則外接圓即可作出；

②D就是①中所作的圓與x軸的正半軸的交點，根據(jù)作圖寫出坐標(biāo)即可；

（2）當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應(yīng)的NAPB最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理

即可求解.

【解答】解：（1）①

圖1

②根據(jù)圖形可得，點D的坐標(biāo)是（7,0）；

（2）當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，作CD_Ly軸，連接CP、CB.

???A的坐標(biāo)為（0,m）,點B的坐標(biāo)為（0,n）,

irrhn

，D的坐標(biāo)是（0,2）,即BC=PC=2,

m+nm-n

在直角ABCD中，BC=2,BD=2

則CDXBC?_BD2

則0P=CD=Vim，

故P的坐標(biāo)是（J藍(lán)，0）.

【點評】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，正確理解當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切

時，對應(yīng)的ZAPB最大，是關(guān)鍵.

2..（2024紹興市浣紗初中等六校?5月聯(lián)考模擬）閱讀理解：

兩個三角形中有一個角相等或互補，我們稱這兩個三角形是共角三角形,這個角稱為對應(yīng)角。

(1)根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“J”，錯誤的打“X”.

①三角形一條中線分成的兩個三角形是共角三角形(▲)

.②兩個.等腰三角形是共角三角形(▲)

【探究】

(2)如圖，在.叢ABC與叢DEF中,設(shè)』DEF二。

①當(dāng)a=夕=90°時，顯然可知：翌照=--------

,

SDEFOEEF

②當(dāng)二=4#90°時，亦可容易證明:

S.DEFDEEF

③如圖2,當(dāng)a+夕=180°(tzWy?)時，上述的結(jié)論是

否還能成立，若成立，請證明；若不成立“請舉反例說明

.-FJ.

MCE

囹2

【應(yīng)用】

(3)如圖3,。。中的弦AB、CD所對的圓心角分別是72°、108°記5與△血的面

積分別為&,請寫出為與Sz滿足的數(shù)量關(guān)系.▲.

(4)如圖4,OABCD的面積為2,延長口48繆的各邊，使BE=AB,CF=2BC,DG=2CD,AH=3AD,

則四邊形EFGH的面積為▲.

解：(1)①對②錯；

(2)③證明：過A作AMJ_BC交BC的延長線于點M、過D作DNLEF于點N,

，ZAMB=ZDNE=90°

XVZABM+a=p+a=180°

ZABM=P

即：ZABM=ZE

AAABM^ADEN

(3)Si=S2；

(4)如圖：SADGH=25,

3.(2024重慶銅梁巴川?一模)閱讀下列材料：

—x-3+—=0

(1)關(guān)于x的方程x2-3x+l=0(x#0)方程兩邊同時乘以x得：x即

xJ=3

x,

(x2)2=X2+-^+2*X*-=X2+-^+2

zz

XxXx

(x+工)2-2=32~2=7

乙V

XA

(2)a''+b'-(a+b)(a-ab+b')；a'1-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

12141

￡X4-2X-H-j

⑴x，-4x+l=0(xrO),貝ljx=4,x=14,x=

194；

3,1

X+-o

(2)2x2-7x+2=0(x#0),求x的值.

【分析】(D模仿例題利用完全平方公式即可解決.

(2)模仿例題利用完全平方公式以及立方和公式即可.

【解答】解；(1)VX2-4X+1=0,

1

x+x=4,

_1

(x+x)2=16,

1

：.x2+2+x=16,

1

2~

..X+X=14,

1

°-2

(x2+x)'=196,

1

4

.\x4+x+2=196,

1

4

.?.x'+x=194.

故答案為4,14,194.

(2)V2x2-7x+2=0,

17A41

；.x+x=2,x、x'=4,

x?二1-A-741259

x，=(x+x)(x*-1+)=2x(4-1)=8.

4.(201.6?山西大同?一模)問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使

點B恰好落在AD邊的中點F處，折痕EG分別交AB、CD于點E、G,FN與DC交于點M,連

接BF交EG于點P.

獨立思考：

(1)AE=cm,△FDM的周長為cm

(2)猜想EG與BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論.

拓展延伸：

如圖2,若點F不是AD的中點，且不與點A、D重合：

①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論.

②判斷(2)中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結(jié)論(不需證明).

答案：

(1)3,16

(2)EG±BF,EG=BF

則/EGH+/GEB.=90°

由折疊知，點B、F關(guān)于直線GE所在直線對稱

二ZFBE=ZEGH

：ABCD是正方形

；.AB=BCNC=NABC=90°

四邊形GHBC是矩形，/.GII=BC=AB

AAFB全等AHEG

；.BF=EG(3)①△「口、1的周長不發(fā)生變化

由折疊知/EFM=NABC=90°

ZDFM+ZAFE=90°

四邊形ABCD為正方形，ZA=ZD=90°

ZDFM+ZDMF=90°

ZAFE=ZDMF

...AAEF^ADFM

VBWD的周長_尸。

?'-VAEf的周長一瓦

設(shè)AF為x,FD=8-x

-2百x2+A￡2=(8-AE)2

64-x2

AE=

16

FMI的周長8-x

x+AE+S-AE~^E

(8+x)(8—x)16(64——)

FMD的周長==16

16-A:264-x2

16

...△FMD的周長不變

②（2）中結(jié)論成立

5.（2024吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)?一模）（6分）一個不透明.的盒子中有三張卡片，

卡片上面分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,每張卡片除數(shù)字不同外其他都相同.小明先從盒子中隨機抽

出一張卡片，記下數(shù)字后放回并攪勻；再從盒子中隨機抽出一張卡片記下數(shù)字.用畫樹狀圖

（或列表）的方法，求小明兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率.

9

6.（2024廣東?一模）（本題滿分10分）定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：

有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形.

理解：（1）如圖1,己知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點

一為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是。。的直徑，AC-BD.求證：四邊形ABCD是對

等四邊形；

（3）如圖3,在RtAPBC中，NPCB=90°,BC=11,tanNPBC=衛(wèi)，點A在BP邊上,且AB=13.用

5

圓規(guī)在PC上找到符合條件的點D,使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長.

解：（1）如圖1所示（畫2個即可）.

（2）如圖2,連接AC,BD,：AB是。0的直徑，AZADB=ZACB=90°,

在RtAADB和RtAACB中，

fAB=BA

lBD=AC/.RtAADB^RtAACB,.*.AD=BC,

又：AB是。。的直徑，；.ABWCD,...四邊形ABCD是對等四邊形.

（3）如圖3,點D的位置如圖所示：

①若CD=AB,此時點D在一的位置,CD1=AB=13；

②若AD=BC=11,此時點D在Dz、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,

過點A分別作AEJ_BC,AF1PC,垂足為E,F,

1212

設(shè)BE=x,VtanZPBC=5.AE=5”,

2+（12）22

222

在RtZXABE中，AE+BE=AB,即產(chǎn)5",解得：xi=5,x2-5（舍去），

，BE=5,AE=12,.,.CE=BC-BE=6,

由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6,CF=AE=12,在Rt△AFD2中，

/AF-:1H.?=V5S,:.CDR-FD尸2-底,6內(nèi)林D312f'倔，

綜上所述，CD的長度為13、12-，運或12+J話.

7.（2024廣東東莞?聯(lián)考）在由mXn（mXn>l）個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它

的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f,

（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無其他公因數(shù)）時，觀察下列圖形并完成下表：

mnBm+nf

1232

1343

2354

257

347

猜想:當(dāng)m、n互質(zhì)時，在mXn的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、

n的關(guān)系式是f=m+n-1(不需要證明)；

(2)當(dāng)m、n不互質(zhì)時，請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立.

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】(1)通過觀察即可得出當(dāng)m、n互質(zhì)時，在mXn的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿

過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，

(2)當(dāng)m、n不互質(zhì)時，畫出圖即可驗證猜想的關(guān)系式不成立.

【解答】解：(1)表格中分別填6,6

mnm+nf

1232

1343

2354

2576

工476

f與m、n的關(guān)系式是：f=m+n-l.

故答案為：f-m+n*1.

(2)m、n不互質(zhì)時，猜想的關(guān)系式不一定成立，如下圖:

【點評】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對角線所穿

過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，要注意m、n互質(zhì)的條件.

8.(2024廣東河源?一模)閱讀下面的例題，并回答問題。

【例題】解一元二次不等式：X2-2X-8>0。

解：對——2x—8分解因式，得

x2-2x-8=(x-l)2-9=(x-l)2-32=(x+2)(x-4),

.?.(x+2)(x—4)>0.由“兩實數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”，可得

x+2>0,[x+2<0,

@或<②

x—4>0>x—4<0.

解①得x>4；解②得xV-2.

故彳2-2x-8>0的解集是x>4或x<-2.

(1)直接寫出彳2一9>0的解是；

2

(2)仿照例題的解法解不等式：X+4X-21<0；

(3)求分式不等式：上二W0的解集。

x-2

(1)x>3或x<-3

(2)解：x?+4x—21-x~+4x+4—25——(x+2)~-5-=(x+7)(x-3),

?*.(x+7)(%—3)<0.

由“兩實數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”，可得

x+7>0,x+7<0,

①或<②

x—3<0,x—3〉0,

解①得-7<x<3;②無解.

故一+4x—21<0的解集是-7<x<3.

4x+l>0,

(3)解：由“兩實數(shù)相除，洞號得正，異號得負(fù)”且“分母不能為0”，可得!①

x—2<0,

4x+l<0,

或,②

x-2>0,

解①得-L?X<2；②無解.

4

故竺t*40的解集是一」Wx<2.

x-24

動態(tài)問題

一.選擇題

1.(2024河南三門峽?一模)如圖，。。的半徑為1,正方形ABCD的對角線長為6,0A=4.若

將。0繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°,在旋轉(zhuǎn)過程中，00與正方形ABCD的邊只有一個公

共點的情況一共出現(xiàn)()

A.3次B.4次C.5次D.6次

答案：B

2.（2024河南三門峽?二模）如圖，已知矩形OABC,A（4,0）,C（0,3）,動點P從點

A出發(fā)，沿A-B-C-0的路線勻速運動，設(shè)動點P的運動時間為t,AOAP的面積為S,則

下列能大致反映S與t之間關(guān)系的圖象是（）

3.（2024河大附中?一模）如圖.等邊三角形ABC的邊長為3,N為AC的三等分點，三角

形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿A-B-C的方向運動，到達(dá)點C時停止.設(shè)點M運動的路程

為x,MN?=丫，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

答案：A

4.（2024湖北襄陽?一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,P為正方形邊上一動點，運動

路線是A-D-C-B-A,設(shè)P點經(jīng)過的路線為x,以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y.則

下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

答案：B

5.（2024湖北襄陽?一模）如圖，AB是。0的直徑，弦BC=2cm,NABC=60°.若動點P以

2cm/s的速度從B點出發(fā)沿著B-A的方向運動，點Q從A點出發(fā)沿著AfC的方向運動，當(dāng)

點P到達(dá)點A時，點Q也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t（s）,當(dāng)AAPQ是直角三角形時，t

的值為（）

A.—B.3—V3C.—或3—D.—或3—或

333

答案：C

6.（2024浙江鎮(zhèn)江?模擬）如圖，正方形/頗邊長為2,點尸是線段邊上的動點（與點

G〃不重合），/PBQ=45°,過點4作力匯〃外,交切于點反則下列結(jié)論正確的是（）

A.BPBE=2y[l

答案：B

（第6題）

7.（2024天津北辰區(qū)?一摸）如圖，在RtZXA8C中，NACB=90。，AC=BC=2,點尸是

AB的中點，點。，E是AC,8c邊上的動點，且AO=CE,連接。E.有下列結(jié)論：

①NDPE=90。；②四邊形PDCE面積為1；③點C到DE距離的最大值為先.其中，正

2

第7題

（A）0（B）

（C）2（D）

答案：D

8.（2024四川峨眉?二模）如圖8,正方形A8CD的邊長為4,動點P在正方形ABC。的

邊上沿BTCTD運動,運動到點。停止，設(shè)8P=x,AA6P的面積y,

則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為

AB

J

答案：A

9.(2024山西大同心展酒1圖(d住為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE-ED-DC

運動到點C時停止.點Q質(zhì)裝B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是lcm/s.若

點P、Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t(s),Z\BPQ的面積為y(cm2),已知y與t的函數(shù)

關(guān)系的圖象如圖(2)所示，那么下列結(jié)論錯誤的是(填序號)

2

(1).AE=6(2).當(dāng)0<t<10時，y=-t2

4

(3).sinZEBQ=-.(4).當(dāng)t=12s時，ZkBPQ是等腰三角形

5

10.(2024新疆烏魯木齊九十八中?一模)如圖，在四邊形ABCD中，動點P從點A開始沿ABCD

的路徑勻速前進到D為止.在這個過程中，4APD的面積S隨時間t的變化關(guān)系用圖象表示

正確的是(

D

A.OtB.O

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】壓軸題；動點型.

【分析】根據(jù)實際情況來判斷函數(shù)圖象.

【解答】解：當(dāng)點p由點A運動到點B時，4APD的面積是由小到大；

然后點P由點B運動到點C時，4APD的面積是不變的；

再由點C運動到點D時，4APD的面積又由大到??；

再觀察圖形的BC<AB<CD,故△API）的面積是由小到大的時間應(yīng)小于4APD的面積又由大到

小的時間.

故選B.

【點評】應(yīng)理解函數(shù)圖象的橫軸和縱軸表示的量.

11.（2024廣東東莞?聯(lián)考）如圖，A點在半徑為2的。0上，過線段0A上的一點P作直

線1,與。。過A點的切線交于點B,且NAPB=60°,設(shè)0P=x,則APAB的面積y關(guān)于x的

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

b

【分析】根據(jù)已知得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進而得出函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)x=-G=2

4aLb2

時，S取到最小值為：-ia-=0,即可得出圖象.

【解答】解：：A點在半徑為2的。0上，過線段0A上的一點P作直線1,與。。過A點的

切線交于點B,且NAPB=60°,

，A0=2,OP=x,則AP=2-x,

AB

/.tan60°=PA=>/3,

解得：AB=Vs(2-x)=-x+2>/3,

逅

...SAABP=XPAXAB=(2-x)?百?(-x+2)=2x?-2?x+25

故此函數(shù)為二次函數(shù)，

V3

；a=2>0,

b4ac-b?

...當(dāng)X=-五=2時，S取到最小值為：4a=0,

根據(jù)圖象得出只有D符合要求.

【點評】此題主要考查了動點函數(shù)的圖象，根據(jù)已知得出S與x之間的函數(shù)解析式是解題關(guān)

鍵.

二.填空題

1.(2024浙江金華東區(qū),4月診斷檢測在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點

A(2,0),以而為半徑在第一象

限內(nèi)作圓弧連結(jié)物，0B,圓心角Z408=60°,點。為

弧18的中點，〃為半徑的上一動點，點4關(guān)于直線切的對

稱點為瓦若點￡落在半徑力上，則點￡的坐標(biāo)為▲

若點后落在半徑0B上,則點￡的坐標(biāo)為▲.

第1題圖

答案：(2,0),(26-2,0)；(1,百)，(V3-L3-V3)

2.(2024紹興市浣紗初中等六校?5月聯(lián)考模擬)如圖，等腰直角三角形的8的一條直角

邊在y軸上，點尸是邊上的一個動點，過點〃的反比例函數(shù)y=&的圖像交斜邊0B于點

'Z

Q，

(1)當(dāng)Q為0B中點時，AP:PB=▲

(2)若P為AB的三等分點，當(dāng)△40。的面積為、回時，｛的值為________▲.

答案：一，2或2加;

3

3.（2024天津北辰區(qū)?一摸）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,。均在格點

上，點只0分別為線段4?,/C上的動點.

（I）如圖（1）,當(dāng)點尸，Q分別為45,AC中點時，3/過的值為；

（II）當(dāng)尸G7R取得最小值時，在如圖（2）所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段尸G

PQ,簡要說明點一和點。的位置是如何找到的.

交AC于點Q.此時，PC+PQ最短.

3

4.（2024重慶獻四川?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（0,4）,直線y=Ex

-3與x軸、y軸分別交于點A,B,點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值為

【分析】認(rèn)真審題，根據(jù)垂線段最短得出PMLAB時線段PM最短，分別求出PB、OB、0A、

AB的長度，利用△PBMs/\ABO,即可求出本題的答案.

【解答】解：過點P作PML'B,貝II：ZPMB=90°,

當(dāng)PMLAB時，PM最短，

3

因為直線y=N乂-3與*軸、y軸分別交于點A,B,

可得點A的坐標(biāo)為（4,0）,點B的坐標(biāo)為（0,-3）,

AB=V32+42

在RtZXAOB中，A0=4,B0=3,

VZBMP=ZA0B=90°,ZB=ZB,PB=0P+0B=7,

PBPM

AB=AO,

工旦

即：萬=7

28

所以可得：PM=-5

三.解答題

y=—(x+2)(%—ci)

1.(2024河南三門峽?二模)(11分)如圖，已知拋物線”a(a>0)

與x軸交于點A,B(點A在點B右側(cè))，與y軸交于點C,拋物線過點N(6,-4).

(1)求實數(shù)a的值；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BH+CH最小，求出點H的坐標(biāo)；

(3)若把題干中“拋物線過點N(6,-4)”這一條件去掉，試問在第四象限內(nèi)，拋物線

上是否存在點F,使得以點B,儲F為頂點的三角形與aBAC相似？若存在，求a的值；若

不存在，請說明理由.

y——(x+2)(x—ci)

答案：解：(1):拋物線.a過點N(6,-4),

-4=-l(6+2)(6-a)

a

解得：。=4,.......................2分

y=_J(x+2)(x-4)

(2)=44

令y=0,得xi=-2,X2=4；令X=0,得y=2

???點A的坐標(biāo)為(4,0),點B的坐標(biāo)為(-2,0),點C的坐標(biāo)為(0,2)

?.?點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸2對稱，

，在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BH+C1I最小，即AH+CH最小，連接AC,則AC與拋物

線的對稱軸x=l的交點H即為所求

如下圖所示：

y

設(shè)過點A(4,0),C(0,2)的直線解析式為：y^kx+h

0=4%+Z?

V

則［2=0xk+0

k=_L

解得2,爐2

1c

y=——x+2

-2

1-3

y-——x+2y--

令x=l代入2，得2

3

；.AC與拋物線對稱軸的交點H的坐標(biāo)為(1,2)

3

即點H的坐標(biāo)為(1,2)時，使得BH+CH最??；

(3)①作BF〃AC交拋物線于點F,如圖：

令x=0,則y=2,

AC(0,2),

又,：卜(4,0),

2c

y=——x+2

AAC的解析式為a

y=——x+cy=——x+c

設(shè)BF的解析式為。。

：BF過點B(-2,0),

y——x----

，BF的解析式為：aa

24

y=——x——

<aa

12八2

y=——廠+(1——)x+2

.?.1/aa

Q

/3+2,—2——)

解得：。

SF=J(a+4)2+(2+-)2

VABFA^AABC,

;.AB2=BF?AC,

(a+=J(a+4)2+(2+-)2-y/a2+22

化簡整理得：16=0,不存在這種情形,

即這種情況不存滿足要求的F點；

②：B(-2,0),C(2,0),

ABC的解析式為y=x+2ZABC=45°

y

在X軸下方作NABF=NABC=45°,如圖：

???BF_LBC,

，BF的解析式為丁=一“一2

y=-x—2

y=」12+(1二)1+2

.?.1/aa

解得：F(2a,-2a-2),

.BF=QQa+2￥+Qa+2￥

VABFA^ABAC,

，AB2=BF?BC,

.(a+2)2=y/(2a+2)2+(2a+2)2-272

整理得：4a-4=°

解得a=2+20或a=2—2血(舍去),

綜上所述，a=2+2血時，以點&A,F為頂點的三角形與aBAC相似.

5

2.(2024河北石家莊?一模)如圖，拋物線y=-4x2+x+l與y軸交于A點，過點A的直

線與拋物線交于另一點B,過點B作BCJ_x軸，垂足為點C(3,0)

(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

(2)動點P在線段0C上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PNJ_x軸，

交直線AB于點M,交拋物線于點N.設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s

與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

(3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點P與點0,點C重合的情況)，連接CM,BN,當(dāng)t為何

值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明

理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】(1)由題意易求得A與B的坐標(biāo)，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)

系式；

5n1

(2)由5=檄=扉-卜仔，即可得s=-%t2+-4t+1-(2t+1),化簡即可求得答案；

5K

(3)若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC,即可得方程：-Zt2+_4t=,解方

程即可求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可.

【解答】解：(1)?當(dāng)x=0時，y=l,

AA(0,1),

5n

當(dāng)x=3時，y=-4X32+4X3+1=2.5,

AB(3,2.5),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

fb=l

則：13k+b=2.5,

fb=l

.??直線AB的解析式為y='x+1；

5H1K

(2)根據(jù)題意得：s=MN=NP-MP=-4t'+4t+1-(2t+1)=-t2+4t(0Wt<3)；

5^55

(3)若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC,此時，有-Nt2+~4t=2,

解得3=1,12-2,

當(dāng)t=l或2時，四邊形BCMN為平行四邊形.

35

①當(dāng)t=l時，MP=2,NP=4,故MN=NP-MP=2,

又在RtZ\MPC中，~2,故MN=MC,此時四邊形BCMN為菱形，

95

②當(dāng)t=2時，MP=2,NP=2,故MN=NP-MP=2,

又在RtZ\MPC中，MC=VMP2+PC2=V5,故MNWMC,此時四邊形BCMN不

是菱形.

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行

四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識.此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

3.（2024河大附中?一模）（本題滿分10分）在aABC中，NACB為銳角，點D為射線BC

上一動點，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC.

問題發(fā)現(xiàn)：

（1）如果AB=AC,NBAC=90°,當(dāng)點D在線段BC上時（不與點B重合），如圖」，請你判

斷線段CE,BD之間的俅置關(guān)系和教革關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；

拓展探究：

（2）如果AB=AC,ZBAC=90°,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖2,

請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你的結(jié)論。

問題解決：

（3）如圖3,ABWAC,/BACW90。，若點D在線段BC上運動，試探究：當(dāng)銳角/ACB等

于度時，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍然成立（點C、E重合除外）。此時作DF_LAD交線

段CE于點F,AC=30,線段CF長的最大值是.

答案：

第3題

答案:

(DCE-Bn.CElBD-…“Z分_

(外戒立.■由lBT，：ABuAC.AEJ?db?:NBAC?

W.ZEAD-WAZBAD-ZCAE；.CETD

???/B+NACB-W

.,.NBCE-M：?BDJ_CE-6弁屋&f

(t)4S……8分|……10分W

4.(2016蘇州二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。45c是矩形，點B的坐標(biāo)為

(4,3).平行于對角線AC的直線m從原點。出發(fā).沿x軸正方向

以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線加與矩形Q48c的兩邊

分別交于點M、N,直線〃，運動的時間為fs.

(1)點A的坐標(biāo)是，點。的坐標(biāo)是；

⑵當(dāng)f=s或s時，MN=-AC;

2

(3)設(shè)AOMV的面積為S,求S與，的函數(shù)關(guān)系式；

(4)探求(3)中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值：

若沒有，請說明理由.

AfXA

(第4題)

解：⑴A(4,0),C(0,3):

⑵t=2或6;

13,

(3)當(dāng)0<，W4時,S=-OM-ON=-t2

28

3

當(dāng)4<r<8時,如圖①，S=一一t2+3t

.(4)有最大值.T-7X

如圖②，當(dāng)0<rw4時，當(dāng)t=4時，S可取到最大值=6.\

當(dāng)4<，<8時，拋物線S=-3『+3f的開口向下，——\__

圖②

所以5<6,綜上，r=4時，S有最大值為6.

5.(2016青島一模)把Rt^ABC和RtZ\DEF按如圖(1)擺放(點C與E重合)，點B、C

(E)、F在同一條直線上.已知:ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如

圖(2),z^DEF從圖(1)的位置出發(fā)，以lcm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在ADEF

移動的同時，點P從AABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P

移動到點B時，點P停止移動，ADEF也隨之停止移動.DE與AC交于點Q,連接PQ,設(shè)移

動時間為t(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

(2)連接PE,設(shè)四邊形APEQ的面積為y(cm2),試探究y的最大值;

(3)當(dāng)t為何值時，4APQ是等腰三角形.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】動點型.

【分析】(1)根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ,從而得出結(jié)論，

(2)作PG_Lx軸，將四邊形的面積表示為Sz\ABC-Sz\BPE-S/iOCE即可求解，

(3)根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】(1)解：AP=2t

VZEDF=90°,NDEF=45°,

AZCQE=45°=ZDEF,

**?CQ=CE=t9

AQ=8-t,

t的取值范圍是：0WtW5；

(2)過點P作PG_Lx軸于G,可求得AB=10,SinB=,PB=10.-2t,EB=6-t,

APG=PBSinB=(10-2t)

y-SAABC_SAPBE

^X6X8--^(6-t)xl(10-2t)

琮解螺嗜(Y)”嘿

.44968

.?.當(dāng)‘飛(在0WtW5內(nèi))，y有最大值，y最大值二65(cm2)

困e國⑵

(3)若AP=AQ,則有2t=8-t解得：(s)

8-t

若AP=PQ,如圖①：過點P作PH_LAC,貝l]AH=QH=2,PH〃BC

.?.△APHs/xABC,

AP_AB

AAH^AC,

2t_10

即2,

_4<j

解得：'法(s)

若AQ=PQ,如圖②:過點Q作QIJ_AB,則AI=PI=AP=t

,?ZAIQ=ZACB=90°ZA=ZA,

AAQI^AABC

AIACt=8

.?.瓦市即8-t10,

>.32

解得：i9(s)

d式縊

綜上所述，當(dāng)t書或五或3時，Z\APQ是等腰三角形.

6.(2016泰安一模)如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，。為BD