必修第二冊三角函數(shù)之誘導公式化簡題練習

誘導公式化簡題

1設4為整數(shù)伊簡.sin(k_a)cos[―/

L墳"刀在雙'化間?sin[(k+l)7r+a]cos?r+a).

2.已知角a的終邊經(jīng)過單位圓上的點P?,-|).

(1)求sina的值;

cos^)tan(7r+a)

的值.

、7sin(7i+a)cos(37r-a)

3.已知角a的終邊經(jīng)過點P(m,2V?),sina=等且a為第二象限

角.

(1)求勿、cosa>tcma的值;

sinacosB+3sin6+a)sin0

(2)若tanG=V2,求的值.

cos(7r+a)cos(-^)-3sinasm/?

sin(a-37r)cos(27T-a)sin(-a+芋)

4.已知f(a)=

cos(-7r-a)sin(-7r-a)

(1)化簡f(a)；

(2)若a是第三象限角，且cos(a-手)=(,求/(a)的值;

(3)若a=一等,求/(a)的值.

5.已知角a的終邊經(jīng)過點P(rn,2/)，sina=子且a為第一象

限角.

(1)求力的值；

...一1、sinacos^+3sin(^+a)sin/?」，一

(2)若tan/?=a，求————----3兀的值.

lcos(7T+a)cos(-/?)-3sinacos(—+/?)

第2頁，共22頁

6.已知角。為第一象限角，且s出a號

（1）求cosa,tcma的值；

3sin（兀-a）-2cos（兀+a）

（2）求----西尹荷的值.

2

7.(l)cos(^a-g)+sin2a+-sin2a

2cos40°+cos10°(l+tan60°tan10°)cos400+sin50°(1+遮tan10°)

⑵⑶

V1-COS170°sin7O0V1+cos40°

8.4方是單位圓。上的點，點/是單位圓與x軸正半軸的交

點，點方在第二象限.記乙4。8=。且sin。=

（1）求4點坐標;

（2）求史竺也世史2的值.

2cos（71-8）

9.已知角a的終邊過點P(g—I).

(1)求sina的值；

(2)求式子sin(Ka).tan(aF)的值

sin(a+7r)cos(37r-a)

sin2(7r-a)cos(27T-a)-tan(-7T+a)

10.已知/(a)=

sin(-7r+a)-tan(-a+37r)

(1)化簡/(a)；

(2)若/(a)且￡<a<5，求cosa-sina的值

84N

11.已知角a的終邊過點/(—I,m),且sina=^-m(mH0).

(1)求非零實數(shù)力的值;

,.sin(27T-a)+cos(7r+a)

(2)當m>0,求cos(a-7i)-cos(^-a)的值.

第4頁，共22頁

12.已知cos("+a)=—右且a是第四象限角，計算:

(l)sin(27r—a)；

sin[a+(2n+l)7r]+sin[a-(2n+l)7r],"、

(/)-----；—；------：----7------:----(HGL).

sin(a+2n7r)cos(a-2n7r)

CCJ?[-4-a1?co?(27r—a)-sini—a+—I

13.已知/(a)=-=----------/；,7r\\.

sin(-TT-Q)-sinI—+aI

(1)化簡/(a)；

(2)若a是第三象限角，且cos(a—芝)/求f(a)的值.

37r

sin(a-37r)cos(27r-a)sin(-a+—)

14.已知/(a)=

cos(-7r-a)sin(-7r-a)

(1)化簡/'(a)；

(2)若a是第三象限角，且cos(a—甘=點求/(a)的值;

(3)若。=一等，求/'(a)的值.

15.已知sina=—%且a是第象限角.從(1)一，(2)二，(3)

三，(4)四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上

面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：

(1)求cosa,tana的值；

3

/竹忐/古sin(7r-a)cos(27r-a)sin(-7T+a),

(2)化間求但:---------------4~--COS2?(7T+a)?

cos(20217r+a)tan(20217T-a)

（萬）（，）（乃）

16.證明:sin6-5c°s2cos8-6

cos（3zr-0）sin（。一3%）sin（-（9-4^）

17.已知cosa=-1,且a為第二象限角.

(I)求36一2a)的值;

(H)求tan(2a+的值.

第6頁，共22頁

18.已知sin(7T—a)—COS(TT+a)=J(]<a<兀)，求

(l)sina—cosa的值；

(2)sin3(27r—a)+COS3(2TT—a)的值.

sin(7r+a>sin(7r-a)+cos(27r+a)?cos(1-a)

19.已知/(a)=

tan(37r+a)cos(27T-a)

(1)化簡/(a)；

(2)若a的終邊經(jīng)過點P(-3,4),求/(a).

4

20.已知cos("+a)=~,且tana>0.

(1)求tana的值；

2sin(7r-a)+sin(-a)

(2)求的值.

cos(-a)+4cos(￡+a)

答案和解析

1.【答案】解：方法一：

當4為偶數(shù)時，設k=2nl(TnCZ),

口1[由T-sin(2ni7r-a)cos[(2m-l)7r-a]

'"、工sin[(2m+l)7r+a]cos(2m7r4-a)

sin(—cr)cos(7T+a)

sin(7r+a)cosa

一sina(—cosa)

一sinacosa

=-1.

當4為奇數(shù)時，設k=2m+CZ),同理可得原式二—1.

方法二：

由于/ot—a+ku+a=2kn,

(k+1)TT+a+(k—l)7r—a=2kn,

故sin(/c7T—a)=—sin(/c7T+a),

cos[(/c—1)7T—a]=cos[(/c+1)7T+a]=—COS(/C7T+a),

又sin[(k+l)7r+a]=—sin(/c7r+a).

訴l、j百—｛、_-sin(k7T+a)[-cos(k7r+a)]_

所刀樂耳一一sin(k7r+a)cos(k7r+a)~~'

【解析】本題考查誘導公式的運用，考查三角函數(shù)的化簡求值,

屬于中檔題.

方法一：分A為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況結(jié)合誘導公式進行求解即

可；

方法二：利用誘導公式求解即可.

第8頁，共22頁

2.【答案】解：(1)?.?點夕在單位圓上，

二由正弦的定義得sina=

。、店卡_cosatana_sina_1

I-sina-cosasinacosacosa'

由余弦的定義得cosa=g

故原式="

4

【解析】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式的

應用，屬于基礎題.

(1)利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得s出a的值.

(2)利用三角函數(shù)的誘導公式進行化簡，再根據(jù)已知求出血，＞、

代入即可求解.

3.【答案】解：(1)???由題意,血＜°'則$譏。=磊=不

解得m=-1.

—11

???cosa=I==——

1(-1)2+(2物2tana=-2-\/2;

(2)由(1)知，tana=-2A/2>又tan0=^，

.7T

sinacosp+3sin(-+a)sinp_sinacos0+3cosasinR_tana+3tan(3

cos(7r+a)cos(-^)-3smasm/?-cosacosp-3sinasinp-l-3tanatan(3

-2回3魚_V2

-l-3x(-2\/2)xV2-11,

【解析】(1)由題意，m＜0,再由正弦函數(shù)的定義列式求得出

則cosa,tcma的值可求；

(2)利用三角函數(shù)的誘導公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求

值,

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導公式及同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式的應用，是基礎題.

(-sina)cosa(-cosa)_

4.【答案】解：(1)/(?)=—cosa.

(-cosa)sina

(2),:cos(a—引=—sina,'■sina=—

又a是第三象限的角,

???cosa=巫：.f④=逗

55

5TT\5TT

(3)/(-等)=-cos(一等)=-cos(-6x2TT+_J=_COS_=

711

-cos-=—,

32

【解析】【試題解析】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式、三角函數(shù)的化

簡求值和證明的相關(guān)知識，試題難度一般.

(1)直接利用誘導公式化簡即可；

(2)利用誘導公式可得sina=然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求

出結(jié)果；

(3)利用誘導公式求解即可.

5.【答案】解：(1)由三角函數(shù)定義可知sina=誓=

解得m=±1,

???a為第一象限角,

第10頁，共22頁

則m=1；

(2)由(1)知tana=2",

sinacos/?+3sin(*+a)sin。

37r

COS(TT+a)cos(—0)—3sinacos(-2-+0)

sinacos0+3cosasin￡

cosacos/?+3sinasin/?

tana+3tan/?

1+3tanatan(^

_2V2+3V2_5V2

1+3X2V2XV2-13"

【解析】本題考查了任意角的三角函數(shù)、誘導公式，考查了學生

的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力，屬中檔

題.

(1)由三角函數(shù)定義可知sina=言=從而得出結(jié)果；

什特彳日sinacos/?+3sin([+a)sin/?__tana+3tan/?代入

"寸cos(?T+a)cos(-0)-3sinacos(等+0)l+tanatan^

tana=和tan0=或即可得出結(jié)果.

6.【答案】解：(1):?角a為第一象限角，且5譏。二個,

r.----:一2V5.sina1

：,cosa=VI—stnza=——,tana=----=

5cosa2

3sin(7i-a)-2cos(冗+a)_3sina+2cosa=3+—2=3+24=7

(2)cos(-a)sinatana-

2

【解析】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在

三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；

(2)利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡求解.

7.【答案】(1)解：cos2(cr-y)+sin2(a+~sin2cr

1+COS(2°~y)―鼠2a+學

=------------9------------+------------2---------------------2--

1/1V31V3

——■I1—--cos2a——sin2a+1——■cos2aH——sin2a—1

2\2222

+cos2a

_1

=-X

2一2，

2cos400+cos10°(14-tan60°tan100)

(2)解:

Vl-cos170°

_2cos400+cos10°(l+1界?0)

V1+cos10°

2cos40°+V3sin10°+cos10°

V2cos5°

_2cos40°+2sin40°

V2cos5°

_2V2sin85°

V2cos5°

2V2cos5°

V2cos5°

=2.

cos400+sin50°(l+V3tan10°)

(3)解:

sin70°Vl+cos40°

第12頁，共22頁

/c。-rno/-i.V3sinl0\

cos40°+tsin50°(l+coslO°)

cos20°-V2cos20°

/w'uco,coslO。+KsinlOi

cos40°+sin50°(coslO。)

―V2cos220°

._o,cos40°x2sin40°

__c_o_s__4_0_°__H_-_-_-_-_-_--c-o-sliO-°xo-----

一V2cos220°

.sin80°

cos4/0no+

=coslO°

~nr1+COS40°

V2x----5----

.,coslO0

=cos40no。+310。

孚x(1+cos40°)

cos400+1

?x(1+cos40°)

=V2.

【解析】(1)本題主要考查的是三角函數(shù)化簡求值問題，屬于基

礎題.

可先利用倍角公式化倍角，再利用兩角和差公式展開化簡求值即

可.

(2)本題主要考查的是三角函數(shù)化簡求值問題，屬于基礎題.

可結(jié)合倍角公式對根式化簡，同時對分子中的正切化弦，再結(jié)合

輔助角公式化簡求值即可.

(3)本題主要考查的是三角函數(shù)化簡求值問題，屬于基礎題.

可結(jié)合倍角公式對根式化簡，同時對分子中的正切化弦，再結(jié)合

輔助角公式化簡求值即可.

8.【答案】解：（1）4、夕是單位圓。上的點，點方在第二象限,

4廠t3

sin。=則cos。=-

設夕點坐標為（%,y）,

則B（一|,J

SU1（7T+0）+2siii（：-0）

⑵2cu?（7r-0）

—sin0+

—2co^9

=」+2（f=_5

一2（-|）3,

【解析】本題考查任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)以及用誘導公式化

簡三角函數(shù)式，屬于基礎題.

（1）利用三角函數(shù)定義求出B（—|彳）;

（2）化簡吧上空空112=*+23,將sin。Jocose=

2cu?（7r—0）—5

-1代入求值即可.

9.【答案】解：（1）???角a的終邊經(jīng)過點P（g—|）,

43

.?.%=『y=-r=\0P\=1,

由正弦函數(shù)的定義得sina=上=-f.

r5

（2）由（1）可得cosa=：=%tana=（=—1，

sin（2—a）tan（a-TT）

sin（a+7T）COS（3TT—a）

cosatana

-------?------

—sina—cosa

1

cosa

第14頁，共22頁

5

4

【解析】【試題解析】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式、誘導公式的應用，屬于中檔題.

(1)利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sizia的值.

(2)利用誘導公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得咨2?

sin(a+7r)

=工,再代入求解即可.

cdos(37i-a)cosa

sin2acosatana.

.【答案】解:=----------------=sinacosa=

10(l)f(a)-sma(-tana)

/出2a.

(2)/(a)=sinacosa=

8

:.{cosa—sina)2=cos2a+sin2a_2sinacosa=1—2x：=

3

4，

nn

???一VaV一,

42

???cosa—sina<0.

V3

???cosa—sina=-----

2

【解析】本題考查了誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)利用誘導公式即可得出.

(2)f(a)=sinacosa=\由(cosa—sina)*12=cos2a+sin2a—

8

2sinacosa,代入化簡，根據(jù)了4<a<-2,可得cosa—sina<0.即

可得出.

11.【答案】解：(1)點/到原點的距離r=+m2,sina=%=

普二氯⑺。。)，

解得m=±2；

(2)由題可知，加取2,a為第二象限角，

s.ma=——2^5，cosa=--V-5，t.ana=—Z,

55

sin(27T-a)+cos(7r+a)_-sina-cosa_sina+cosa_tana+1_1

cos(a-yr)—cos(學一a)-cosa+sinacosa-sina1-tana3,

【解析】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導公式及同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系，考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sina=孑=五黑=^m,解方程即

可求出結(jié)果；

(2)由題可知，加取2,a為第二象限角，求出疝c.o,利用誘導

公式積及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡所求式子，即可求出結(jié)

果.

、--1-1

12.【答案】解：COS(TT+a)=.?.一cosa=—亍即cosa=

1

2，

又a是第四象限角，sina=—yjl-cos2a=

2

(l)sin(27r—a)=sin[27r+(—a)]=sin(—a)=—sina=4.

sin[a+(2n+1)TT]+sin[a-(2n+1)TT]

(2)sin(a+2n7r)cos(a—2HTT)

第16頁，共22頁

sin(2n7i+兀+a)+sin(—2n7T—TT+a)

sin(2mr+a)cos(—2mr+a)

sin(7T+a)+sin(—yr+a)—sina—sin(7T—a)

sinacosasinacosa

-2sina2.

--------=--------=—4.

sinacosacosa

【解析】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式的相關(guān)

知識，屬于基礎題.由誘導公式先求出cosa=3利用a所在的象

限，結(jié)合同角公式求出sina的值.

(1)利用誘導公式即可求出結(jié)果；

(2)利用誘導公式化簡即可求出結(jié)果.

co?(￡+a)?co?(2TT-a)?sin(-a+—)

13.【答案】解：⑴/(?)=37r

sin(—7T—a)?sin(—+a)

..(37r

—sinn?cu?(\?sui------a

-sin(7r+a)?(—cosa)

—sina?CO?Q?(-cosa)

=---------------------------------=—c<<??

sina?(-coa)，

(2)vcos(a—苧)=cos(^—a)=-sina=

???si.na=——1,

5

又a為第三象限角，

???/(a)=當

【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式，屬于基

礎題.

(1)利用誘導公式化簡/⑹二―蜜二”=-由、；

(2)由誘導公式可得疝。再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出cosa

即可.

14.【答案】解：(l)/(a)J-S黑葭＜。sa)=—cosa；

(2)vcos(a—引=—sina,:.sina=-

???a是第三象限角，.?.cosa==—平，

???/(a)=哈

(3)一等=-6x2〃+拳

(31n\(31TT\(，5TT\57r

??c?j(——j=—cos(——j=—cos(—6xo2TC+—j=—cos—=

n1

-cos-=—,

32

???/(a)=

【解析】本題主要考查誘導公式，三角恒等變換，同角三角函數(shù)

的基本關(guān)系，終邊相同的角化簡求值.

(1)由誘導公式化簡求解即可；

(2)化簡得到sina=-g再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得到

cosa=-Jl-(-1)2=-^即可解得最后結(jié)果；

(3)根據(jù)終邊相同的角，可得/(—等)=—cos(—等)=

—cos(-6x2兀+力=—cosy-=—cos|=—I，f(a)的值.

15.【答案】解：(1)因為sina=—會所以a為第三象限或第四

象限角；

第18頁，共22頁

rz---:~n—3人sina4

若選③,cosa=—VI—sinza=——,tana=----

5cosa3

4

若選④,cosa=V1—sin2a=-,tana=4"

5cosa3

sin“osa(-c°sa)一2a

'J-cosatan(-a)

—sinacosasinacosa

--------------cos*a=——cos2a

tanasina

cosa

=—2cos2a=—2[1—《)2]——1|.

【解析】本題考查三角函數(shù)的化簡求值以及誘導公式和同角三角

函數(shù)關(guān)系，屬于基礎題.

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可;

(2)利用誘導公式結(jié)合cos2a求出結(jié)果.

-sin(5jr-0)sin0cos6-sin9

16.【答案】證明：原式

COS(7T-0)-sin(37T-0)-sin(6+47r)-cos9

sin?cos?

-sin6-sinO

【解析】本題主要考查誘導公式的應用，屬于簡單題.

根據(jù)誘導公式化簡計算即可.

17.【答案】解：cosa=—%且a為第二象限角,

3

:.sina=-

7T324

:.cos(——2a)=sin2a=2sinacosa=2x-x

25

(2)由(1)知，tana=-^=-1,

一5

9_2x(-：)_24

tan2a-Q-,

1-—7

16

21

f7T17

/.tail2a+--IT

14-v

7

【解析】本題考查了三角函數(shù)求值，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系，二倍角公式，誘導公式，兩角和差的三角函數(shù)，屬于基礎

題.

(1)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sina=再利用誘導公式及

二倍角公式求解即可.

(2)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tana=-再利用二倍角公

式及兩角和的正切求解即可.

18.【答案】解：(1)sin(7r—a)—cos(7r+a)=sina+cosa=

V2

-，

3

???兩邊平方得：(sina+