2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年蘭州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．全卷共120分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等個(gè)人信息填（涂）寫在答題卡上．3．考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1.－5的相反數(shù)是()A. B. C.5 D.-52.如圖，直線與相交于點(diǎn)O，則（）A. B. C. D.3.計(jì)算：（）A. B. C.5 D.a4.如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角（）A. B. C. D.5.方程解是（）A. B. C. D.6.如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（）A. B. C. D.7.已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)稱軸為 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C.函數(shù)的最大值是－3 D.函數(shù)的最小值是－38.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.49.2022年我國(guó)新能源汽車銷量持續(xù)增長(zhǎng)，全年銷量約為572.6萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng)91.7%，連續(xù)8年位居全球第一．下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了2021年、2022年新能源汽車月度銷量及同比增長(zhǎng)速度的情況．（2022年同比增長(zhǎng)速度）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（）A.2021年新能源汽車月度銷量最高是12月份，超過(guò)40萬(wàn)輛B.2022年新能源汽車月度銷量超過(guò)50萬(wàn)輛的月份有6個(gè)C.相對(duì)于2021年，2022年新能源汽車同比增長(zhǎng)速度最快的是2月份，達(dá)到了181.1%D.相對(duì)于2021年，2022年從5月份開(kāi)始新能源汽車同比增長(zhǎng)速度持續(xù)降低10.我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在的延長(zhǎng)線及上取點(diǎn)A，B，使；（3）連接，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（）A. B. C. D.11.一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y的值可以是（）A.2 B.1 C.－1 D.－212.如圖，在矩形中，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)與的交點(diǎn)G，連接．若，，則（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解：______．14.如圖，在中，，于點(diǎn)E，若，則______．15.如圖，將面積為7的正方形和面積為9的正方形分別繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，落在數(shù)軸上，點(diǎn)A，D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為a，b，則______．16.某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：累計(jì)拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872850蓋面朝上頻率下面有三個(gè)推斷：①通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的；②第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．其中正確的是______．（填序號(hào)）三、解答題（本大題共12小題，共72分）17.計(jì)算：．18.計(jì)算：．19.解不等式組：．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，C．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．21.綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）22.如圖1是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過(guò)程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）23.一名運(yùn)動(dòng)員在高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度與離起跳點(diǎn)A的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)離水面的距離為．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)水平距離的長(zhǎng)．24.如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)F，G，連接．（1）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．25.某校八年級(jí)共有男生300人，為了解該年級(jí)男生排球墊球成績(jī)和擲實(shí)心球成績(jī)的情況，從中隨機(jī)抽取40名男生進(jìn)行測(cè)試，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面是給出的部分信息．信息一：排球墊球成績(jī)?nèi)缦聢D所示（成績(jī)用x表示，分成六組：A．；B．；C．；D．；E．；F．）．信息二：排球墊球成績(jī)?cè)贒．這一組的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：擲實(shí)心球成績(jī)（成績(jī)用y表示，單位：米）的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下：分組人數(shù)2m10962信息四：這次抽樣測(cè)試中6名男生的兩項(xiàng)成績(jī)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：學(xué)生學(xué)生1學(xué)生2學(xué)生3學(xué)生4學(xué)生5學(xué)生6排球墊球262523222215擲實(shí)心球▲7．87．8▲8．89．2根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：______；（2）下列結(jié)論正確的是_____；（填序號(hào)）①排球墊球成績(jī)超過(guò)10個(gè)的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比低于60%；②擲實(shí)心球成績(jī)的中位數(shù)記為n，則；③若排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀．如果信息四中6名男生的兩項(xiàng)成績(jī)恰好為優(yōu)秀的有4名，那么學(xué)生3擲實(shí)心球的成績(jī)是優(yōu)秀．（3）若排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)全年級(jí)男生排球墊球成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)．26.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．（1）求證：是的切線；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．27.在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)到直線的距離等于圖形上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)稱為直線的“伴隨點(diǎn)”．例如：如圖1，已知點(diǎn)，，在線段上，則點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．

（1）如圖2，已知點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，直線過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點(diǎn)在軸上且在上方，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)是直線：軸的伴隨點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；（3）如圖4，以，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的伴隨點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出的取值范圍．28.綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，．試猜想四邊形形狀，并說(shuō)明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．

2023年蘭州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．全卷共120分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等個(gè)人信息填（涂）寫在答題卡上．3．考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1.－5的相反數(shù)是()A. B. C.5 D.-5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．【詳解】-5的相反數(shù)是5．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，熟記相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)是關(guān)鍵．2.如圖，直線與相交于點(diǎn)O，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)頂角相等得到，即可求解．【詳解】解：讀取量角器可知：，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，量角器讀數(shù)，是基礎(chǔ)題．3.計(jì)算：（）A. B. C.5 D.a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再約分得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．4.如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正八邊形的外角和為，結(jié)合正八邊形的每一個(gè)外角都相等，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正八邊形的外角和為，∴，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問(wèn)題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．5.方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得解．【詳解】解：去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．6.如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：弧的半徑，圓心角，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查弧長(zhǎng)公式，熟練掌握運(yùn)用弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．7.已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)稱軸為 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C.函數(shù)的最大值是－3 D.函數(shù)的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，為∴A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．9.2022年我國(guó)新能源汽車銷量持續(xù)增長(zhǎng)，全年銷量約為572.6萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng)91.7%，連續(xù)8年位居全球第一．下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了2021年、2022年新能源汽車月度銷量及同比增長(zhǎng)速度的情況．（2022年同比增長(zhǎng)速度）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（）A.2021年新能源汽車月度銷量最高是12月份，超過(guò)40萬(wàn)輛B.2022年新能源汽車月度銷量超過(guò)50萬(wàn)輛的月份有6個(gè)C.相對(duì)于2021年，2022年新能源汽車同比增長(zhǎng)速度最快是2月份，達(dá)到了181.1%D.相對(duì)于2021年，2022年從5月份開(kāi)始新能源汽車同比增長(zhǎng)速度持續(xù)降低【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線圖逐項(xiàng)分析即可得出答案．【詳解】解：A、2021年新能源汽車月度銷量最高是12月份，超過(guò)40萬(wàn)輛，正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、2022年新能源汽車月度銷量超過(guò)50萬(wàn)輛的月份有6個(gè)，正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、相對(duì)于2021年，2022年新能源汽車同比增長(zhǎng)速度最快的是2月份，達(dá)到了，正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、相對(duì)于2021年，2022年從6月份開(kāi)始新能源汽車同比增長(zhǎng)速度持續(xù)降低，原說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，從折線統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)據(jù)做出分析，正確識(shí)別圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．10.我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在的延長(zhǎng)線及上取點(diǎn)A，B，使；（3）連接，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】證明，可得，結(jié)合，C為的中點(diǎn)，可得．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，C為的中點(diǎn)，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11.一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y的值可以是（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數(shù)，從而判斷函數(shù)值y的取值．【詳解】∵一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小∴∴當(dāng)時(shí)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在矩形中，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)與的交點(diǎn)G，連接．若，，則（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵矩形中，∴，∵F為的中點(diǎn)，，∴，在中，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長(zhǎng)等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．14.如圖，中，，于點(diǎn)E，若，則______．【答案】【解析】【分析】證明，，由，可得，結(jié)合，可得．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，將面積為7的正方形和面積為9的正方形分別繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，落在數(shù)軸上，點(diǎn)A，D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為a，b，則______．【答案】【解析】【分析】分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，從而得到a，b的值，代入計(jì)算即可．【詳解】∵正方形的面積為7，正方形的面積為9∴，即，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的意義，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，正確求出算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．16.某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：累計(jì)拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872850蓋面朝上頻率下面有三個(gè)推斷：①通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的；②第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．其中正確的是______．（填序號(hào)）【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)及頻率估計(jì)概率依次判斷即可．【詳解】解：①通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)蓋面朝上的次數(shù)多與累計(jì)次數(shù)的一半，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的，故正確；②實(shí)驗(yàn)是隨機(jī)的，第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不一定是“蓋面朝上”，故錯(cuò)誤；③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故正確．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】題目主要考查頻率估計(jì)概率，結(jié)合表中數(shù)據(jù)求解是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共12小題，共72分）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘法，加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．18.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算平方差公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】題目主要考查整式的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19.解不等式組：．【答案】【解析】【分析】分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再取兩個(gè)不等式的解集的公共部分即可．【詳解】解：，由①得：，解得：，由②得：，解得：，∴不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組是解法，掌握解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)D，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，C．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為；一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的表達(dá)式為，再分別求得的坐標(biāo)，據(jù)此即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∴直線的表達(dá)式為，∵時(shí)，，解得，則，∵時(shí)，，解得，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的基本方法．21.綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．22.如圖1是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過(guò)程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】“龍”字雕塑的高度為．【解析】【分析】在和中，分別求得和的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.【詳解】解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龍”字雕塑的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23.一名運(yùn)動(dòng)員在高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度與離起跳點(diǎn)A的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)離水面的距離為．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)．【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（2）運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為．【解析】【分析】（1）由題意得拋物線的對(duì)稱軸為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）令，解方程即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得拋物線的對(duì)稱軸為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，∴，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】解：令，則，解得（負(fù)值舍去），∴運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．24.如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)F，G，連接．（1）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）證明和是等邊三角形，即可推出四邊形是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得和的長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)得到，在中，解直角三角形求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：四邊形是菱形，理由如下，∵矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，∴，∵直線是線段的垂直平分線，∴，，∴，即是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形；【小問(wèn)2詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，且，∴，，由（1）得四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．25.某校八年級(jí)共有男生300人，為了解該年級(jí)男生排球墊球成績(jī)和擲實(shí)心球成績(jī)的情況，從中隨機(jī)抽取40名男生進(jìn)行測(cè)試，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面是給出的部分信息．信息一：排球墊球成績(jī)?nèi)缦聢D所示（成績(jī)用x表示，分成六組：A．；B．；C．；D．；E．；F．）．信息二：排球墊球成績(jī)?cè)贒．這一組的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：擲實(shí)心球成績(jī)（成績(jī)用y表示，單位：米）的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下：分組人數(shù)2m10962信息四：這次抽樣測(cè)試中6名男生的兩項(xiàng)成績(jī)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：學(xué)生學(xué)生1學(xué)生2學(xué)生3學(xué)生4學(xué)生5學(xué)生6排球墊球262523222215擲實(shí)心球▲7．87．8▲8．89．2根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：______；（2）下列結(jié)論正確的是_____；（填序號(hào)）①排球墊球成績(jī)超過(guò)10個(gè)的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比低于60%；②擲實(shí)心球成績(jī)的中位數(shù)記為n，則；③若排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀．如果信息四中6名男生的兩項(xiàng)成績(jī)恰好為優(yōu)秀的有4名，那么學(xué)生3擲實(shí)心球的成績(jī)是優(yōu)秀．（3）若排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)全年級(jí)男生排球墊球成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)．【答案】（1）（2）②③（3）人【解析】【分析】（1）由總?cè)藬?shù)減去各小組已知人數(shù)即可得到答案；（2）由排球墊球成績(jī)超過(guò)10個(gè)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可判斷①，由中位數(shù)的含義可判斷②，分三種情況進(jìn)行分析討論可判斷③，從而可得到答案；（3）由樣本的百分率乘以總?cè)藬?shù)即可得到答案．小問(wèn)1詳解】解：由題意可得：；【小問(wèn)2詳解】①排球墊球成績(jī)超過(guò)10個(gè)的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比為，故①不符合題意；②∵擲實(shí)心球成績(jī)排第20個(gè)，第21個(gè)數(shù)據(jù)落在這一組，∴擲實(shí)心球成績(jī)的中位數(shù)記為n，則；故②符合題意；③由排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀．∴從這點(diǎn)出發(fā)可得：學(xué)生1，學(xué)生2，學(xué)生3，學(xué)生4，學(xué)生5為優(yōu)秀，∵信息四中6名男生的兩項(xiàng)成績(jī)恰好為優(yōu)秀的有4名，∴若學(xué)生1為優(yōu)秀，則學(xué)生4不為優(yōu)秀，可得學(xué)生3優(yōu)秀；若學(xué)生4為優(yōu)秀，學(xué)生1不為優(yōu)秀，可得學(xué)生3優(yōu)秀；學(xué)生1，學(xué)生4不可能同時(shí)為優(yōu)秀，∴學(xué)生3擲實(shí)心球的成績(jī)必為優(yōu)秀，故③符合題意；故答案為：②③【小問(wèn)3詳解】排球墊球成績(jī)達(dá)到22個(gè)及以上時(shí)，成績(jī)記為優(yōu)秀，估計(jì)全年級(jí)男生排球墊球成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為（人）．【點(diǎn)睛】本題考查的是從頻數(shù)分布表，統(tǒng)計(jì)表中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體，熟練的從頻數(shù)分布表與統(tǒng)計(jì)表中獲取互相關(guān)聯(lián)的信息是解本題的關(guān)鍵．26.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．（1）求證：是的切線；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）是等腰三角形，理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知得出，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)對(duì)等角相等，以及三角形內(nèi)角和定理可得，即可得證；（2）根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得出，則．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，即，又是直徑，∴是的切線；【小問(wèn)2詳解】∵，是的直徑，∴，，∴，∵，，∵，∴，又，∴，∴是等腰三角形，【小問(wèn)3詳解】∵，，設(shè)，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．27.在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)到直線的距離等于圖形上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)稱為直線的“伴隨點(diǎn)”．例如：如圖1，已知點(diǎn)，，在線段上，則點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．

（1）如圖2，已知點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，直線過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點(diǎn)在軸上且在上方，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)是直線：軸的伴隨點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；（3）如圖4，以，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的伴