2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步1141直線與平面垂直學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

11.4空間中的垂直關(guān)系

11.4.1直線與平面垂直

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

★水平一

1.能夠了解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的線面垂直的判定與性質(zhì)定

理.（數(shù)學(xué)抽象）

1.借助長(zhǎng)方體，通過直觀2.了解線面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯

感知，了解直線與平面垂關(guān)系.（邏輯推理）

直的關(guān)系,并歸納出線面3.掌握一些基本命題的證明，并有條理地表述論證過程.（邏

垂直的判定與性質(zhì)定理.輯推理）

2.能運(yùn)用直觀感覺、定理★水平二

和已獲得的結(jié)論證明空1.能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的線面垂直的判定與性質(zhì)定

間基本圖形位置關(guān)系的理.（數(shù)學(xué)抽象）

命題.2.理解線面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯

關(guān)系,（邏輯推理）

3.對(duì)于一些基本命題，能選擇合適的論證方法表述論證過程，

能夠通過舉反例說明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立.（邏輯推理）

必備知識(shí)-自主學(xué)習(xí)

1.如何求兩條直線所成的角？

2.兩條垂直直線一定相交嗎？

導(dǎo)思3.直線與平面垂直的定義是什么？怎樣判斷直線與平面垂直。

4.線面垂直的性質(zhì)定理是什么？

5.如何求直線與平面所成的角？

1.直線與直線所成角

（1）異面直線所成角的定義

一般地,如果a,b是空間中的兩條異面直線,過空間中任意一點(diǎn),分別作與a,b平行或重合的直

線a',b',則a'與b'所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小.

（2）兩條直線的夾角

兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角.

(3)兩條直線垂直

空間中兩條直線所成角的大小為90°時(shí),稱這兩條直線垂直.

思考7

(1)在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)0的位置有關(guān)系嗎？

提示:根據(jù)等角定理可知,a'與b'所成角的大小與點(diǎn)0的位置無關(guān).但是為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)0常取

在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線上的某些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、中點(diǎn)等).

(2)研究范圍推廣到空間后,直線與直線垂直的含義有變化嗎?有什么變化？

提示:有變化.空間中兩條直線垂直包括相交直線垂直和異面直線垂直兩種情況.

(3)兩條異面直線所成角0的范圍是什么?兩條宜線夾角6的范圍是什么？

提示：兩條異面直線所成角e的范圍是0°<0W90°;兩條直線夾角6的范圍是

0°.

2.直線與平面垂直及其判定定理

(1)直線1與平面a垂直的充要條件

文字表示符號(hào)表示圖形表示

直線1與平面a垂直的

/

充要條件是,直線1與平1±a<=>Vmca,

/

z

面a內(nèi)的任意直線都垂11m

直

(2)直線與平面垂直的判定定理

文字表示符號(hào)表示圖形表示

如果一條直線與一個(gè)BCa,nca,

/

平面內(nèi)的兩條相交直mQnW。，

線垂直，則這條直線與1.Lm,l±n,z

這個(gè)平面垂直則l_La

思考7

(1)定義中的“任何一條直線”與“所有直線”、“無數(shù)條直線”是同義語嗎?

提示：“任何一條宣線”與“所有直線”是同義語；“任何一條直線”與“無數(shù)條直線”不是

同義語.

(2)判定定理的條件中，把“兩條相交直線”改為“兩條直線”或“無數(shù)條直線”可以嗎？

提示:不可以.若兩條直線不相交(即平行)，即使直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線也不能判定直

線與平面垂直.例如,正方體ABCD-A.B^iD,中,AB】與平面ABCD內(nèi)無數(shù)條直線垂直(與直線AD平

行或重合的所有直線)，但是AB.與平面ABCD不垂直.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字表示符號(hào)表示圖形表示

如果兩條直線垂直/

1±a,m±a,m

于同一個(gè)平面,那么

則l〃m.V

這兩條直線平行

(2)斜線段、斜足的定義

如果A是平面a外一點(diǎn),C是平面c內(nèi)一點(diǎn)，且AC與a不垂直，則稱AC是平面a的斜線段(相

應(yīng)地，直線AC稱為平面a的斜線)，稱C為斜足.

(3)直線在平面內(nèi)的射影、直線與平面所成的角

設(shè)AB是平面a的垂線段,B是垂足;AC是平面a的斜線段,C是斜足，則直線BC稱為直線AC

在平面a內(nèi)的射影.特別地，/ACB稱為直線AC與平面a所成的角.

思考？

(1)線面垂直的性質(zhì)定理提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù),你能想到其他轉(zhuǎn)化依

據(jù)嗎?

提示:

-La]

①a\\b\卜江。；②a\\尸卜a_LB;③,〃卜0〃8.

aA.a)a_La>Q-"J

(2)若圖中的/POA是斜線PO與平面a所成的角，則需具備哪些條件?

提示:需要PA_La,A為垂足,0A為斜線P0的射影，這樣NP0A就是斜線，0與平面a所成的角.

J基礎(chǔ)小測(cè):.

1.辨析記憶(對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”)

(1)三角形的兩邊可以垂直于同一個(gè)平面.

(2)垂直于同一個(gè)半面的兩條直線一定共血.

(3)過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直.

(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直.

提示：(1)X.若三角形的兩邊垂直于同一個(gè)平面，則這兩條邊平行，不能構(gòu)成三角形.

(2)J.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的，故能確定一個(gè)平面.

(3)J.假設(shè)過一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直

線平行,應(yīng)無公共點(diǎn)，這與過同一點(diǎn)相矛盾，故只有一條直線.

(4)J.由異面直線所成角的定義或等角定理都可得出，該命題正確.

2.如圖所示,若斜線段AB是它在平面a上的射影B0的2倍,則AB與平面a所成的角是

A.60°B.45°C.30°I).120°

1

【解析】選A.由題意知，在RtAABO中，NAOB=90°,B0二一AB,所以NAB0=600.

2

3.(教材二次開發(fā):例題改編)如圖,設(shè)0為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),P為平面ABCD外一

點(diǎn),且有PA=PC,PB=PD,則P0與平面ABCD的關(guān)系是.

【解析】因?yàn)镻A=PC,所以PO±AC,又PB二PD,

所以PO_LBD.所以POJ?平面ABCD.

答案：垂直

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類型一線面垂直的定義及線線角、線面角的求解（數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象）

題組訓(xùn)練、

1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是

①如果直線1與平面a內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則1Ia：

②如果直線1與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直,則1_La；

③如果直線1不垂直于a,則a由沒有與1垂直的直線；

④如果直線1不垂直于a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與1垂直.

A.0B.1C.2D.3

2.若正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長(zhǎng)為1,則B.D與CG所成角的正切值為.

3.如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中，直線BG與平面ABCD所成的角為

A.30°B.45°C.60°D.135°

【解析】1.選D.由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確;

當(dāng)1與a不垂直時(shí)，1可能與a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對(duì);④正確.

2.如圖，B.D與CC.所成的角為ZBBD.

BD伉

因?yàn)椤鱀BBi為直角三角形，所以tanNBBD=---二72.

RR1

答案:迎

3.選B.在正方體ABCD-ABCD中平面ABCD,B3在平面ABCD中的射影為BC,所以

ZBC.B,即為直線B3與平面ABCD所成的角,在等腰直角三角形BBC中，ZBClB1=45°.

.解涯南

1.理解線面垂直判定定理要注意的兩個(gè)問題

(1)要判斷一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直

線垂直即可.

(2)空間直線與直線垂直包括相交垂直和異面垂直兩種情況，所以在平面內(nèi)的這兩條直線是否

與已知直線有交點(diǎn),是無關(guān)緊要的.

2.求異面直線所成角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角一一用平移法,遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線;若異面直線依

附于某幾何體,且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相

交直線.

(2)求一一轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

⑶結(jié)論一一設(shè)由⑵所求得的角的大小為。.若0°<0W90°,則0為所求；若

90°<0<180°,則180°-0為所求.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.如圖所示，正方體ABCD-A.B.C.D1中，E,F分別是棱BC,CC.的中點(diǎn),則異面直線EF與

所成的角為.

［解析】連接可知為的中位線,

BCi,ADbABbEF△BCG

所以EF/7BC,.

又因?yàn)锳BCDCD,

所以四邊形ABC,Di為平行四邊形.

所以BCi#ADi.所以EF/7ADi.

所以NADB為異面直線EF和BD所成的角或其補(bǔ)角.

在△ABD中，易知ABkBD尸AD】，

所以△ABD為正三角形，所以NADB=60°.

所以EF與BD所成的角為60°.

答案：60°

2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等

于.

【解析】因?yàn)镻A_L平面ABC,

所以NPBA為PB與平面ABC所成的角，又PA=AB,

所以NPBA=45°.

類型二直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)(邏輯推理、直觀想象)

.…角.度L…直線與平面垂直的判定....

［典例］1.若三條直線0A,OB,0C兩兩垂直,則直線0A垂直于

A.平面OABB.平面0AC

C.平面OBCD.平面ABC

2.如圖，F(xiàn)AJ_平面ABCD,底面ABCD為矩形,AEXEB于E,Ab±EC于卜.

(1)求證:PC_L平面AEF;

⑵設(shè)平面AEF交PD于G,求證:AG_LPD.

【思路導(dǎo)引】1.利用線面垂直的判定定理,由線線垂直,證明線面垂直.

2.PA_L平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,AE_LPB,AF_LPCnAEJL面PBC;若一條直線垂直于一個(gè)平

面,則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.

【解析】1.選C.由線面垂直的判定定理知0A垂直于平面OBC.

2.(1)因?yàn)镻AJ?平面ABCD,BCc平面ABCD,

所以PA_LBC.又AB_LBC,PAClAB=A,

所以BCJ■平面PAB,又AEu平面PAB,

所以AE_LBC.又AE_LPB,PBClBC=B,

所以AEJ■平面PBC,又PCc平面PBC,

所以AE_LPC.又因?yàn)镻C_LAF,AECIAF二A,

所以PCJ■平面AEF.

⑵由⑴知PC_L平面AEF,所以PCJLAG,

同理CDJ■平面PAD,AGc平面PAD,

所以CD_LAG,PCnCD=C,

所以AGJ■平面PCD,又PDc平面PCD,

所以AG_LPD.

?變直探究

若本例2中,底面ABCD是菱形,H是線段AC上任意一點(diǎn),AF_LPC于點(diǎn)C,求證:BD_LFH.

【證明】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以BD_LAC,又PA_L平面ABCD,BDc平面ABCD,

所以BD_LPA,

因?yàn)镻Au平面PAC,ACc平面PAC,且PADAC二A,

所以BDJ?平面PAC,又FHc平面PAC,

所以BD_LFH.

.…角.度2…直線與平面垂直的性質(zhì)....

(典例］如圖所示,正方體ABCD-A.B.C.D,中，EF與異面直線AC,A,D都垂直相交.求證:EF〃B?.

【思路導(dǎo)引】證明EF與BDi都與平面ABC垂直.

【證明】連接AB“B￡,BD,BD,如圖所示.

因?yàn)镈D」平面ABCD,ACc平面ABCD,

所以DDJAC.

又因?yàn)锳C±BD,BDADDFD,

所以ACJ■平面BDDB,

所以ACJLB”.

同理BD」B,C,又ACflBC二C,

所以BD」平面ABC

因?yàn)镋F_LAQ,且A,D〃BC,

所以EF_LBC

又因?yàn)镋F±AC,ACDBiC=C,

所以J■平面ABiC,所以上卜〃Bl.

?解整略

1.線面垂直的判定方法

(1)證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義.

②線面垂直的判定定理.

③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面.

(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：

①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線,使它和這條直線垂直；

②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；

③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.

2.利用線面垂直的性質(zhì)定理,把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.

【拓展延伸】

1.空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？

提示:在空間幾何體中確定線面角時(shí),過斜線上一點(diǎn)向平面作垂線,確定垂足位置是關(guān)鍵,垂足

確定,則射影確定,線面角確定.

2.求斜線與平面所成角的步驟

(1)作圖:作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和

斜足作直線,注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān),才能便于計(jì)算.

(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角.

(3)計(jì)算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.

【拓展訓(xùn)練】

在正方體ABCD-ABCD中,

(1)求直線AC與平面ABCD所成的角的正切值.

(2)求直線AB與平面BDDB所成的角.

【解析】(1)因?yàn)橹本€AAJ■平面ABCD,

所以NACA為直線AiC與平面ABCD所成的角,

設(shè)AiA=1,AC=V2,所以tanZAiCA=-.

2

(2)在正方形ABCD中，AC_LBD,

因?yàn)锽Bi_L平面AiBiCiDi,

AiGu平面A1B1C1D1,

所以BB,±AiCb又BBIPB.DFBI,

所以AC_L平面BDDB,垂足為0.

所以NAB0為直線AB與平面BDDB所成的角,

11

在RtAAiBO中，AQ二一AC=-AB,

22

所以NA：BC30°,

即AB與平面BDDB所成的角為30°.

題組訓(xùn)練、

1.如圖,BC是RtAABC的斜邊,PA1平面ABC,PD1BC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是

A.8B.7C.6D.5

【解析】選A.易知PA_LAC，PA_LAD,PA_LAB,BC_LAD,BC_LPD,AC_LAB.圖中的直角三角形分另“為

△PAC,APAD,APAB,AADC,AADB,APCD,APDB,AABC,共8個(gè).

2.四棱錐P-ABCD中,PA_L平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=2,則四楂錐的側(cè)面積

是.

【解析】如圖，

由已知PAJL平面ABCD,又CDU平面ABCD,

則CDJLPA,又CDJLAD,且PAAAD=A,

所以CDJ■平面PAD,又PDc平面PAD,

所以CD_LPD,即4PCD是直角三角形，

同理aPBC也是直角三角形，且aPBC和4PCD的面積相同，四棱維的側(cè)面積S=2SAPW)+2SAPC0=2X

-X2X2+2X-X2XV22+22=4+4V2.

22

答案：4+46

3.如圖,在三棱錐S-ABC+,NABC=90°,D是AC的中點(diǎn),且SA=SB=SC.

s

(1)求證:SD_L平面ABC.

(2)若AB=BC,求證:BD_L平面SAC.

【證明】⑴因?yàn)镾A=SC,D是AC的中點(diǎn),

所以SD_LAC在RtAABC中，AD二BD,

由已知SA二SB,所以AADS0Z\BDS,

所以SD_LBD.

又ACnBD=D,AC,BDc平面ABC,

所以SDJ_平面ABC.

(2)因?yàn)锳B=BC,D為AC的中點(diǎn),

所以BDJ_AC由⑴知SD_LBD.

又因?yàn)镾DClAC=D,SD,ACc平面SAC,

所以BDJ■平面SAC.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,AB是。0的直徑,PA垂直于CO所在的平面,M是圓周上任意一點(diǎn),AN_LPM,垂足為N.

求證:AN_L平面PBM.

【證明】設(shè)。。所在的平面為a,

因?yàn)镻A_La,且BMua,所以PA_LBM.

又因?yàn)锳B為00的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，

所以AMXBM.由于直線PAHAM=A,

所以BMJ■平面PAM,而ANc平面PAM,

所以BM±AN.

所以AN與平面PBM內(nèi)的兩條相交直線PM,BM都垂直.

所以ANJ?平面PBM.

類型三直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的編合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)

【典例】如圖，直三棱柱ABC-ABG中,AC=BC=1,ZACB=90°,AA,=V2,D,F分別是A,BbBBi的中

點(diǎn).

(1)求證:GDJ_AB].

(2)求證:AB」平面CiDF.

【思路導(dǎo)引】(1)要證C(D±ABb需證GDJ_平面AABB,需證C.D1A.B,,CtD±AA,,由已知可證.

(2)要證AB>±平面C)DF,需證AB.XDF,需證A.B1AB.,需證四邊形AABB為正方形，由已知可證.

【證明】(1)因?yàn)锳BC-ABG是直三棱柱，

所以AiCi=B,Ci=1,且NACB產(chǎn)90°.

又D是AB的中點(diǎn)，所以GD_LAB,

因?yàn)锳AiJ■平面AiB,Ci,CiDc平面A.BiCi,

所以AA」GD,又因?yàn)锳AICIAIBFAI,

所以CD_L平面AABB,又因?yàn)锳BC平面AABB,

所以GDJ_ABL

⑵連接AiB,

因?yàn)镈,F分別是ABi,BBi的中點(diǎn)，所以DF〃AB.

nnn

又直角三角形ABG中，A—1=AIQ+BIQ,

所以AIBI=V2,所以AIBFAAI,即四邊形AAiB.B為正方形，所以ABi±AiB,即ABJDF,

又（1）已證CiD±AB）,又DFPGD=D,

所以AB,JL平面CiDF.

.解值略

線線、線面垂直問題的解題策略

(1)證明線線垂直,一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面,為此分析題設(shè),觀察

圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.

(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題

時(shí)一定要體現(xiàn)出來.

跟蹤訓(xùn)練、

如圖所示,在正方體ABCD-A.B.C.D.+,M是AB上一點(diǎn),N是A.C的中點(diǎn),MN_L平面A.DC.

MB

求證:MN〃AD].

【證明】因?yàn)樗倪呅蜛DDA為正方杉，所以ADi_LAD

又因?yàn)镃DJ■平面ADDA,所以CD±ADi.

因?yàn)锳4)ACD=D,所以AD」平面AiDC.

又因?yàn)镸NJ_平面A。C,所以MN〃AD.

備選類型距離問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)

【典例】如圖所示，直角AABC所住平面a外有一點(diǎn)匕NACB=90°,PC=Z4,H)垂直AC于

D,PE±BC于E,且PD=PE=6V10,求P點(diǎn)到平面a的距離.

【思路導(dǎo)引】作PO_La于0,則PC的長(zhǎng)為P點(diǎn)到平面a的距離，構(gòu)造直角三角形列方程組求

解.

【解析】作P0±a于0,則P0的長(zhǎng)為P點(diǎn)到平面a的距離，連接0C,ZPC0為PC和平面a所成

的角，連接OE,OD.

因?yàn)镻D=PE,PE±BC于E,PD±AC于D,

所以PD,PE在平面a上的射影OE=OD,且OE±BC,OD±AC,即在四邊形ODCE中，OE=OD,且NOEC二

Z0DC=ZACB=90°,

所以四邊形ODCE為正方形,OOYAE.

設(shè)0P=x,0C2=PC-0P2=242-X2,

OE2=PE-OP2=(6V10)-x2,

OC=V2OE,

解①②③組成的方程組得x=12（舍去負(fù)值），即P點(diǎn)到平面a的距離為12.

.解遇略

距離問題一直是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題，本題考查了各種距離,其中求點(diǎn)到平面的距離關(guān)鍵

是作出點(diǎn)到平面的垂線,線到面的距離關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，各種距離的基礎(chǔ)是點(diǎn)與點(diǎn)

的距離.

跟蹤訓(xùn)練,

已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD_L平面ABCD,PD=AD=1,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為

小,點(diǎn)D到平面PAC的距離為d2,BC到平面PAD的距離為d3,則九d2,d3三者之間的大小關(guān)系

是.

［解析】如困，點(diǎn)C到平面PAB的距離就是點(diǎn)D到平面PAB的距離，

過點(diǎn)D作DE1PA,則DE_L平面PAB,

V2

所以DE的長(zhǎng)就是點(diǎn)D到平面PAB的距離，故d.=DE=—；

2

令A(yù)CPIBD二M,在平面PDB內(nèi)作DFJ_PM,

V3

則DF_L平面PAC,所以點(diǎn)D到平面PAC的距離d=DF=-；BC到平面PAD的距離，即C到平面PAD

23

的距離，所以ch=1,故有d2<di<d3.

答案：d2〈d〈d3

課堂檢測(cè)-素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.在正方體ABCD-A.B,C,D.的六個(gè)面中，與AA,垂直的平面的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.6

【解析】選B.正方體ABCD-ABCD的六個(gè)面中與AAi垂直的平面是平面ABCD與平面ABCD.

2.下列說法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是

①若直線m〃平面a,直線l_Lm,則l_La;

②若直線1和平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線1與平面a必相交；

③過平面a外一點(diǎn)有且只有一條直線和平面a垂直；

④過直線a外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和直線a垂直.

A.0B.1C.2D.3

【解析】選C.①錯(cuò)誤，若直線m〃平面Q,直線lJ_m,則1與a平行、相交或1在a內(nèi)都有

可能；

②錯(cuò)誤,若直線1和平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線1與平面a平行、相交或1在a內(nèi)

都有可能;③?正確.

3.如圖，aClB=1,點(diǎn)A,CWa,點(diǎn)B￡B,且BA_La,BC_LB,那么直線1與直線AC的關(guān)系是

A.異面B.平行C.垂直D.不確定

【解析】選C.因?yàn)锽A±a,anB=l,1<=H,所以BA±1.同理BC±1.又BAABC;B,所以1_L平

面ABC.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以1_LAC.

4.（教材二次開發(fā):練習(xí)改編）如圖，在正方體ABCD-A.B,C.D.中,AB】與平面ADDA所成的角等

于,AB,與平面DCC1D,所成的角等于________.

【解析】NBIAAI為AB1與平面ADDA1所成的角，即45°;ABi與平面DCCD平行，即所成的角為

00.

答案：45°0°

5.如圖所示,在四棱錐P-ABCI）中,底面ABCD是矩形,PA_L平面ABCI）,AP=AB=2,BC=2A/2E,F分

別是AD,PC的中點(diǎn).證明:PC_L平面BEF.

【證明】連接PE,EC,在RtAPAE和RtACDE中，PA=AB=CD,AE=DE,所以PE二CE,

即4PEC是等腰三角形.又F是PC的中點(diǎn),

所以EF_LPC.又BP=Vi4P2+AB2=2V2=BC,

F是PC的中點(diǎn)，所以BF_LPC.又BFPlEF=F,所以PC_L平面BEF.

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)

+A直線與平面垂直

@I蕃硼通關(guān)=水理一》（15分鐘?30分）

1.下列條件中，能使直線m_La的是（）

A.m_Lb,m±c,bUa,cUa

B.m±b,b#a

C.mAb=A,b_La

D.m//b,b_La

【解析】選D.對(duì)于A,缺b與c相交;對(duì)于B,還可能得出m//a,m與a相交或mCa;對(duì)于C,

可能有m//a或mCa或m與a相交.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知兩條直線m,n,兩個(gè)平面a,B,給出下列四個(gè)說法：

①m〃n,mIa=>nIa:

②a〃B,mCa,nCB=^m//n;

?m±n,m//a今n〃a；

④?！˙,m〃n,m±a=>n±B.

其中正確說法的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.??【）.②③

【解析】選C.①④可由直線與平面垂直的定義和判定推證.根據(jù)②中條件可知,m與n平行或

異面，所以②錯(cuò).③中由m_Ln,m〃a,可知n〃a或nUa,或n與a相交，故③錯(cuò)，所以①?正

確.

2.在正方體ABCD-A.B,C,D,中,E是CC的中點(diǎn),則直線BE與平面B.BD所成的角的正弦值為（）

【解析】選B.取BQ的中點(diǎn)0,連接E0（圖略），

則E0/7AC,因?yàn)锳CJ?平面BED,

所以E0J■平面BBD,則NEB0就是直線BE與平面B.BD所成角的平面角,

EO回

所以sinZEB0=

EB~5

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,在直三棱柱ABC-A.BiCi中，D為A.B,的中點(diǎn),AB=BC=4,BBFI,402函,則BD與AC所成的角

為)

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】選C.取BC的中點(diǎn)M,連接BM,DM,

則DM〃AC〃AC,

所以異面直線BD與AC所成角為NBDM,

因?yàn)镈M=^AC=V5,BD=Vl2+22=V5,

2

BM=V12+22=V5,所以NBDM=60°,

即異面直線BD與AC所成的角為60°.

3.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA_L平面ABC,AB±BC,PA=AB,1)為PB的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有

()

①BC_L平面PAB;②A[)_LPC;③AD_L平面PBC;④PB_L平面ADC.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解析】選D.因?yàn)镻AJL平面ABC,BCU平面ABC,

則PA±BC,又人8_1801人0八8認(rèn)故BCJ_平面PAB,①正確；因?yàn)锽CJ■平面PAB,ADU平面PAB,

所以BC±AD,因?yàn)镻A=AB,D為PB的中點(diǎn)，故AD±PB,又BCC1PB二B,故ADJ■平面PBC,因?yàn)镻CC

平面PBC,故ADJ_PC,②③正確；若PBJ■平面ADC,因?yàn)镃DU平面ADC,故PB-LCD,因?yàn)镈為PB

的中點(diǎn),故CB=CP,又POAOBC,故CB=CP不成立，故④錯(cuò)誤.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在正四棱錐S-ABCD中,E.M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)

論，不一定成立的為（）

①EP_LAC;②EP〃BD;③EP〃平面SBD;④EP_L平面SAC.

A.①③B.③④C.①②D.@?

【解析】選D.作出如圖所示的軸聯(lián)線.

對(duì)①,在正四棱錐S-ABCD中,

因?yàn)锳C_LBD,AC_LSO,BDU平面SBD,

SOU平面SBD,且SOPBD=O,故ACJ■平面SBD.

又因?yàn)镋,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，

故平面EMN〃平面SBD,故ACJ?平面EMN,

因?yàn)镋PU平面EMN,故EP±AC成立.故①成立.

對(duì)②，當(dāng)且僅當(dāng)P與M重合時(shí)，EP〃BD.故②不一定成立.

對(duì)③，由①有平面EMN〃平面SBD,

又EPU平而EMN,故EP〃平面SBD.故③成立.

對(duì)④，當(dāng)且僅當(dāng)P與M重合時(shí)，才有EP_L平面SAC.故④不一定成立.

4.如圖所示,平面anB=CD,EA±a,垂足為A,EB±B,垂足為B,則CD與AB的位置關(guān)系

是.

c

【解析】因?yàn)镋A_La,CDUa,

根據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CD_LEA.

同理，因?yàn)镋BJLB,CDUB,

則有EB_LCD.又EADEB二E,所以CD_L平面AEB.

又因?yàn)锳BU平面AEB,所以CD±AB.

答案：CD_LAB

5.如圖,正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,過A點(diǎn)作平面A.BD的垂線,垂足為點(diǎn)H,有下列三個(gè)結(jié)

論：

①點(diǎn)H是AABD的中心；

②AH垂直于平面CBD;

③AG與4C所成的角是90。.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【解析】①正確，因?yàn)锳HJ■平面AiBD,AAi=AB=AD,

所以RtAAHA,^RtAAHD^RtAAHB,

所以HA,=HB=HD,

所以點(diǎn)H是AABD的外心，又因?yàn)锳1B=BD=DAb

所以點(diǎn)H是△ABD的中心.②正確，易證平面ABD〃平面CBD,

又因?yàn)锳HJ■平面ABD,

所以AH垂直于平面CBU.③止喇，易證AiDJ■平面ABGDi,所以AGJLAiD,又AiD〃&C,

所以AG_LB￡,所以AG與BC所成的角是90°.

答案:①②?

6.如圖,正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD,慶￡3_平面CDE.

求證:AB_L平面ADE.

【證明】因?yàn)锳E_L平面CDE,CDU平面CDE,

所以AE_LCD,又在正方形ABCD中，CDJ_AD,

AEClAD=A,所以CDJ■平面ADE,

又在正方形ABCD中，AB〃CD,

所以ABJ■平面ADE.

@［能力進(jìn)階=水平二?（30分鐘-60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.如圖，設(shè)平面an平面B=PQ,EG_L平面a,FHJ_平面a,垂足分別為G,H.為使PQ_LGH,則需

增加的一個(gè)條件是（）

A.EF_L平面aB.EF_L平面B

C.PQXGED.PQ1FH

【解析】選B.因?yàn)镋GJ?平面a,PQU平面Q,所以EG±PQ.若EFJ■平面B,則由PQU平面0,

得EF_LPQ.

又EG與EF為相交直線，所以PQ_L平面EFHG,

所以PQ_LGH.

2.在正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)P在側(cè)面BCCB及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP±BDb則動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡是（）

A.線段B.C

B.線段BCi

C.BBi中點(diǎn)與CCi中點(diǎn)連成的線段

D.BC中點(diǎn)與BC中點(diǎn)連成的線段

【解析】選A.如圖，由于B?_L平面ABC,故點(diǎn)P一定位于BC上.

3.如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),若直線AB與平面

1

ACD所成角的正弦值為g,則點(diǎn)B到平面ACD的距離為()

V24

A.—B.-

23

【解析】選B.因?yàn)锳B_LBC,ABLBD,

所以ABJ■平面BCD,故AB±CD,

因?yàn)镃D±BE,CD±AB,可得CDJ?平面ABE,

則AB在平面ADC上的射影與AE在一條直線上，故直線AB與平面ACD所成角即為ZBAE.

在RtAABE中，BE=V2,sinZBAEA故可得AE=3瓶,AB=4,故VA-BC(FVB-ACO,設(shè)點(diǎn)B到平面ACD

3

11

的距離為x,則一S-sXAB二-S&CDXX,

33

4

整理得2AB=6h,解得h=-.

3

4.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將4ADE沿直線DE翻折成AADE.若M為線

段A￡的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過程中，下列結(jié)論中正確的有（）

①總存在某個(gè)位置，使CE_L平面A.DIi;

②總有BM〃平面ADE;

③存在某個(gè)位置，使DE±AtC.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解析】選A.在①中，總存在某個(gè)位置，使CE_L平面AQE,①正確；在②中，取CD中點(diǎn)F,連接

1

MF,BF,則MF/7AiDJLMF=~AiD,FB〃ED且FB二ED,由MF〃AQ與FB/7ED,可得平面MBF〃平面ADE,

2

所以總有BM〃平面AQE,故②正確;在③中，AC在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直,

所以DE與A,C不垂直，故③錯(cuò)誤.

二、多選題（每小題5分，共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分）

5.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的,則能得出直線與平面垂直（）

A.三角形的兩邊B.梯形的兩邊

C.圓的兩條直徑D.正六邊形的兩邊

【解析】選AC.由線面垂直的判定定理知，直線垂直于平面內(nèi)三角形的兩邊，因?yàn)檫@兩邊是相交

的，所以能得出直線與平面垂直，所以A選項(xiàng)正確；直線垂直于梯形的兩邊，因?yàn)樘菪蔚膬蛇吙?/p>

能平行，所以不能得出直線與平面垂直，所以B選項(xiàng)不正確；直線垂直于圓的兩條直徑，因?yàn)槿?/p>

何一個(gè)圓的兩條直徑是相交的，所以能得出直線與平面垂直，所以C選項(xiàng)正確；直線垂直于正六

邊形的兩邊，因?yàn)檎呅蔚膬蛇吙赡芷叫?，所以不能得出直線與平面垂直，所以D選項(xiàng)不正

確.

6.（2020?惠州高一檢測(cè)）如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).現(xiàn)

在沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,下列

說法正確的是（）

A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFH

C.HF_L平面AEHD.HG_L平面AEF

【解析】選BC.由題意可得:AH_LHE,AH_LHF.

所以AHJ■平面EFH,而AG與平面EFH不垂直，所以B正確，A不正確.

又HFJLHE,所以HF_L平面AHE,C正確.

HG與AG不垂直，因此HGJ■平面AEF不正確，D不正確.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

（多選題）如圖,在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是)

【解析】選BD.對(duì)于A,由AB與CE所成南為45°,

可得直線AB與平面CDE不垂直；

對(duì)于B,由AB_LCE,AB_LED,CEDED=E,

可得ABJ■平面CDE；對(duì)于C,由AB與CE所成角為60°,可得直線AB與平面CDE不垂直；

對(duì)于D,連接AC,由ED_L平面ABC,

可得EDJLAB,同理可得EC1AB,

又EDC1EC=E,所以ABJ■平面CDE.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA_L平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)

論:①PB_LAE;②平面ABCJ_平面PBC;③直線BC〃平面PAE;@ZPDA=45°.

其中正確的有（把所有正確的序號(hào)都填上）.

【解析】對(duì)于①，因?yàn)镻A_L平面ABC,所以PA_LAE,又EA_LAB,PAGAB=A，所以EAJ_平面PAB,從

而可得EA_LPB,故①正確.對(duì)于②，由于PA_L平面ABC,所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，

故②不正確.對(duì)于③，由于在正六邊形中BC〃AD,所以BC與EA必有公共點(diǎn)，從而BC與平面PAE

有公共點(diǎn)，所以直線BC與平面PAE不平行,故③不正確.對(duì)于④，由條件得Z\PAD為直角三角形，

且PA±AD,又PA=2AB二AD,所以NPDA=45°.故④正確.

答案:①?

8.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉嚅.在如圖所示的鱉膈P-ABC中

PAJ_平面ABC,ZACB=90°,CA=4,PA=2,D為AB中點(diǎn),E為APAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且PC_LDE.

當(dāng)E在AC上時(shí),AE=;點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度為.

【解析】當(dāng)E在AC上時(shí)，

因?yàn)镻AJ■平面ABC,故PAXDE,又PC±DE,故DEJL平面PAC.故DE_LAC.

又ZACB=90°,故DE〃BC,D為AB中點(diǎn)，

1

所以E為AC中點(diǎn).故AE=~AC=2.

2

取AC中點(diǎn)F,則由（1）有DFJL平面PAC,故PC_LDF,又PC_LDE,

設(shè)平面DEFCIPSG,

則有PCJL平面DGF.故點(diǎn)E的軌跡為FG.

PA11

又此時(shí)CF=2,tanZPCA=―=-故sinNPCA='

AC2Vl2+22Vs'

22V5

所以FG=CF?sinZPCA=-==-------.

V55

2V5

答案：2

5

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示,四邊形ABCD為矩形,AD_L平面ABE,F為CE上的點(diǎn)，且BF_L平面ACE.求證:AE_LBE.

【證明】因?yàn)锳D_L平面ABE,AD〃BC,

所以BCJ■平面ABE.又AEU平面ABE,

所以AE_LBC.

因?yàn)锽FJ■平面ACE,AEU平面ACE,

所以AE_LBF.

又因?yàn)锽FU平面BCE,BCU平面BCE,BFABC=B,

所以AEJ?平面BCE.

又BEU平面BCE,所以AE±BE.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖所示,四邊形ABBA為圓柱的粕截面（過圓柱軸的截面）,C是圓柱底面圓周上異于A,B的任

意一點(diǎn).求證:AC_L平面BBiC.

【證明】因?yàn)樗倪呅蜛BBA為圓柱的軸裁面，

所以BB」底面ABC.因?yàn)锳CU底面ABC,

所以BBi_LAC.因?yàn)锳B為底面圓的直徑，

所以NACB=90°,所以BC_LAC.

又因?yàn)锽B,ABC=B,BBiU平面BB,C,BCU平面BB&

所以ACJ■平面BBiC.

10.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2