2021-2022學(xué)年重慶市云陽縣鳳鳴中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知隨機(jī)變量的分布列是則()A. B. C. D.2.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.3.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A.-40 B.-20 C.20 D.405.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn),,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.7.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點(diǎn),已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A. B.1 C. D.8.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.10.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是,雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在過且垂直于軸的直線上,當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí),點(diǎn)恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.11.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.12.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,,.若,,,則_____________14.的展開式中的系數(shù)為__________.15.若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的最大值為__________.16.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,,,證明:(1);(2).18.(12分)誠(chéng)信是立身之本,道德之基,我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”,既便于學(xué)生用水,又推進(jìn)誠(chéng)信教育,并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”,為了便于數(shù)據(jù)分析,以四周為一周期,如表為該水站連續(xù)十二周(共三個(gè)周期)的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期(Ⅰ)計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù);(Ⅱ)若定義水站誠(chéng)信度高于的為“高誠(chéng)信度”,以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研,計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度”的概率;(Ⅲ)已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng),根據(jù)已有數(shù)據(jù),說明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果,并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí),的最大值為,求證:.20.(12分)已知.(1)解不等式;(2)若均為正數(shù),且,求的最小值.21.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法,是基本知識(shí)的考查.2.A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得3.D【解析】

連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.4.D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項(xiàng),由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80,由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40,故所求的常數(shù)項(xiàng)為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘,若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x,選3個(gè)提出;若第1個(gè)括號(hào)提出,從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出,選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=405.A【解析】

首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6.A【解析】

直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.7.D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點(diǎn),可得∴焦點(diǎn)為,即焦點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)焦點(diǎn)為,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).8.B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于容易題.9.A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B;【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時(shí),接近于,,此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.10.A【解析】

點(diǎn)的坐標(biāo)為,,展開利用均值不等式得到最值,將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于為定值,由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí),的外接圓面積取得最小值,也等價(jià)于取得最大值,因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)最大,此時(shí)的外接圓面積取最小值,點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入可得,.所以雙曲線的方程為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11.B【解析】

由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).12.D【解析】

如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.或【解析】試題分析:由,則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系:,已知兩邊及其對(duì)角,求角.用正弦定理;,則;可得.考點(diǎn):運(yùn)用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)14.3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題15.【解析】

分類討論,時(shí)不合題意;時(shí)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到在上的最小值,利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值,化簡(jiǎn)得,構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究,可解,【詳解】令;當(dāng)時(shí),,不合題意;當(dāng)時(shí),,令,得或,所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)椋以趨^(qū)間上單調(diào)遞增,所以在處取極小值,即最小值為.若,,則,即.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),則.設(shè),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,所以,即,所以的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路:已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立,求參數(shù)的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無法分離參數(shù),可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或,)求解.16.18【解析】

先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)?,所以?故答案為:18.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)先由基本不等式可得,而,即得證;(2)首先推導(dǎo)出,再利用,展開即可得證.【詳解】證明:(1),,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).(2),,,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查基本不等式的運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好,理由詳見解析.【解析】

(Ⅰ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù),代入平均數(shù)公式求解即可;(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周,則有兩周為“高誠(chéng)信度”事件為,利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件,利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可;(Ⅲ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】(Ⅰ)表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù).(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠(chéng)信度”事件為,總的基本事件為共15種,事件所包含的基本事件為共10種,由古典概型概率計(jì)算公式可得,.(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好.理由:活動(dòng)舉辦后,“水站誠(chéng)信度'由和看出,后繼一周都有提升.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式;考查運(yùn)算求解能力;利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.19.(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,令,即(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時(shí),令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),所以(1)當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時(shí),令,即,所以令,即,所以(i)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(iii)當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是當(dāng)時(shí),在上的最小值是(Ⅲ)因?yàn)楹瘮?shù),所以所以當(dāng)時(shí),令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?,,所以在上存在,使得,即所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得最大值是因?yàn)?,所以因?yàn)?,所以所?0.(1);(2)【解析】

(1)利用零點(diǎn)分段討論法可求不等式的解.(2)利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】(1),由得或或,解得.(2),所以,由柯西不等式得:所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”).所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對(duì)值不等式的基本方法有零點(diǎn)分段討論法、圖象法、平方法等,利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇,利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù),而利用圖象法求解時(shí)注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時(shí)注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式,本題屬于中檔題.21.(1)見解析;(2)【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)

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