2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第2章 平面解析幾何初步測(cè)評(píng)卷

第2章平面解析幾何初步

(滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符

合題目要求的)

1.“a=l”是“直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知直線1的傾斜角為)，直線h經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)和B(a,-1),且直線1與11平行,則實(shí)數(shù)a的值為

q

()

A.0B.1C.6D.0或6

3.若點(diǎn)P(l,l)在圓C:x2+y2+x-y+k=0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A(2,+s)

D.(-2,2)

4.已知圓Ci：(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0)與圓C2：(x+l>+(y-2)2=4,若圓Ci與圓C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),

則實(shí)數(shù)r等于()

A.7B.3

C.3或7D.5

5.已知點(diǎn)A(-1』),B(3,5),若點(diǎn)A,B到直線1的距離都為2,則直線1的方程不可能為()

A.x-y+2-2V2=0B.x-y+2+2V2=0

C.y=3D.x-y-l=0

6.過(guò)點(diǎn)P(2,3)向圓C:x2+y2=l作兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則弦AB所在的直線方程為()

A.2x-3y-l=0B.2x+3y-l=0

C.3x+2y-l=0D.3x-2y-l=0

7.直線kx-y+3-3k=0與曲線y=2+，％2+2x+3有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A-[p+°°

C3

-GI4]D(8，4.

8.設(shè)點(diǎn)M(E,3)在圓O:x2+y2=r2(r>0)外，若圓O上存在點(diǎn)N,使得NOMN=J,則實(shí)數(shù)r的取值范圍

是()

A.[V3,2V2]B.[2V2,2V3)

C.[V6,2V2)D.[V6,2V3)

二,多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.過(guò)(xi,yi),(X2,y2)兩點(diǎn)的直線方程為空工=必

及-%x2~xl

B.點(diǎn)(1,3)關(guān)于直線x-y+l=O的對(duì)稱點(diǎn)為(2,2)

C.直線2x-y+4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

10.設(shè)有一組圓Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k@R),下列結(jié)論正確的是()

A.無(wú)論k如何變化，圓心Ck始終在一條直線上

B.存在圓Ck,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)

C.存在定直線始終與圓Ck相切

D.若圓Ck上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則k?償竽)

11,己知圓Ci：x2+y2=l,0C2：(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判斷正確的是()

A.若圓Ci與圓C2無(wú)公共點(diǎn)，則0<r<4

B.當(dāng)r=5時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程為6x-8y-l=0

C.當(dāng)r=2時(shí),P,Q分別是圓Ci與圓?2上的點(diǎn),則田(31的取值范圍為[2,8]

D.當(dāng)0<r<4時(shí),過(guò)直線6x-8y+r2-26=0上任意一點(diǎn)分別作圓Ci、圓C2的切線，則切線長(zhǎng)相等

12.設(shè)m?R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線li：x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線12：mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P,圓

C:(x-2>+(y-4)2=3,則下列說(shuō)法正確的有()

A.直線12過(guò)定點(diǎn)(1,3)

B.直線12與圓C相交的最短弦長(zhǎng)為2

C.動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相交

D.|PA|+|PB|的最大值為5

三'填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知圓C:x2+y2-4x-2y+l=0,直線l:3x-4y+m=0與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且NACB=120。,則實(shí)數(shù)m

的值為.

14.已知直線h：灣=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),且與直線12：2x+y+m=0平行測(cè)a+b=；若這兩條平行

線之間的距離為逐，且b不經(jīng)過(guò)第一象限，則m=.

15.點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，若A(2,3),則AABC的周長(zhǎng)的最小值

為.

22

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓Ci：(x-2)2+(y-l)2=5,線段AB是圓C2:(x+4)+(y+2)=4的一

條動(dòng)弦，且|AB|=2VX線段AB的中點(diǎn)為Q,則直線OQ被圓Ci截得的弦長(zhǎng)的取值范圍

是.

四,解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(10分)在以下這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解.

①圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3,4);②圓心在直線x+y-2=0上;③圓截y軸所得弦長(zhǎng)為8且圓心M的坐標(biāo)為整數(shù).

已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(6,3),且.

⑴求圓M的方程；

⑵求以(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

18.(12分)等腰直角^ABC的直角為NC,且點(diǎn)C(O,-1),斜邊AB所在的直線方程為x+2y-8=0.

(l)^AABC的面積；

⑵求斜邊AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo).

19.(12分)已知4ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+l=0,ZA的平分線所在的直線方

程為y=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2).

⑴求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵過(guò)點(diǎn)C作直線1,分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)M,N,求△MON(C)為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最

小值及此時(shí)直線1的方程.

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓N過(guò)點(diǎn)(-1,0),(1,0),且圓心N在直線l:x+y-l=0上，圓

M:(x-3)2+(y-4)2=8.

⑴求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷圓M與圓N的位置關(guān)系；

⑵直線MN上是否存在點(diǎn)B,使得過(guò)點(diǎn)B分別作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為T(mén),S(不重合)，

滿足|BS|=2|BT]?若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)如圖所示，為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要

求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩

端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不小于80m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，

點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),tanNBCOq

⑴求新橋BC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)|0M|為多少時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

22.(12分)已知點(diǎn)Pi(-V^+l,0),P2(V^+l,0),P3(l,l)均在圓C上.

⑴求圓C的方程；

(2)若直線3x-y+l=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)；

⑶設(shè)過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線1與圓C相交于M,N兩點(diǎn),試問(wèn):是否存在直線1,使得以MN為直徑的圓

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O?若存在，求出直線1的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案與解析

1.A由直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直，可得a(a+3)+(-l)x4=0,即a2+3a-4=0,解得a=l

或a=-4,「?"a=l”是“直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直”的充分不必要條件.故選A.

2.C由題意得直線1的斜率為tan*=1,直線li的斜率為旁，因?yàn)橹本€1與h平行,所以等=-1,

4Cl-o

解得a=6,故選C.

3.C由題意得1+^4/7>0k>°'解得-2<k?,故選C.

4.C由題意知圓Ci與圓C2內(nèi)切或外切，

因?yàn)閨CIC2|=J(-3)2+42=5,

所以r-2=5或r+2=5,

所以r=7或r=3,故選C.

5.D由題意得直線AB的斜率為與石=1.當(dāng)直線1與直線AB平行時(shí)，設(shè)直線1的方程為

x-y+m=O,點(diǎn)A到直線1的距離為吟乙2,解得111=2±2/,直線1的方程為x-y+2-2V2=0或

x-y+2+2e=0.當(dāng)直線1過(guò)AB的中點(diǎn)(1,3)時(shí),若直線1的斜率存在,設(shè)直線1的方程為y-3=k(x-l),

整理得kx-y+3-k=0,點(diǎn)A到直線1的距離為華型=2,解得k=0,直線1的方程為y=3;若直線1的斜

',2廠'

率不存在,則直線1的方程為x=l,滿足題意.故選D.

6.B因?yàn)镻C垂直平分AB,所以弦AB可以看作是以PC為直徑的圓與圓x2+y2=l的公共弦，而

以PC為直徑的圓的方程為(x-l)2+(y-|)24根據(jù)兩圓的公共弦的求法，可得弦AB所在直線的

方程為(.1)2+卜|)2孝?+丫2一1)=0,整理可得2*+311=0.

7.C由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,則直線過(guò)定點(diǎn)C(3,3),由y=2+V-X2+2x+3得

(x-l)2+(y-2)2=4(y》2).如圖所示,當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心(1,2)到直線的距離(1=莊萼組2,解

一7.2

得k暇;

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)人(-1,2)時(shí),上-2+3-31:=0,解得k=：

4

由于直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故故選

4qC.

-4-20\

-2

8.D如圖所示，由題意得，當(dāng)NOMN的最大值大于或者等于即寸，一定存在點(diǎn)N,使得NOMN=],

當(dāng)MN與圓相切時(shí),NOMN取得最大值,此時(shí),sinNOMN=^=瞿巳*解得r=|ON|>6，又

\UM\ZV3L

M(E,3)在圓外,r<2百，綜上可得，遍Wr<2g.

9.BC當(dāng)xi=x2或yi=y2時(shí)，方程不成立，故A錯(cuò)誤;點(diǎn)(1,3)和點(diǎn)(2,2)連線的斜率k=W=-l,與直線

x-y+l=O垂直，并且兩點(diǎn)到直線x-y+l=O的距離均為:所以點(diǎn)(1,3)關(guān)于直線x-y+l=O的對(duì)稱點(diǎn)為

(2,2),故B正確;直線2x-y+4=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)和(0,4),所以直線2x-y+4=0與

兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是32x4=4,故C正確;當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為y=kx,代入

(1,1),得k=l,所以直線方程是y=x,當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)其方程為祥=1,代入(1,1),得號(hào)=1,解得

a=2,此時(shí)直線方程是為=1,即x+y-2=0,故D錯(cuò)誤.故選BC.

10.AC圓心Ck(k,k)的軌跡為直線y=x,即無(wú)論k如何變化，圓心Ck始終在一條直線上,A正確；

圓Ck中，當(dāng)x=3,y=0時(shí),(3-k)2+k2=4=2k2-6k+5=0,因?yàn)锳=(-6)2-4x2x5=-4<0,所以關(guān)于k的方程無(wú)

實(shí)數(shù)根,B錯(cuò)誤;選取直線l:x-y±2/=0,圓心Ck(k,k)到直線1的距離d=片±2@=2,即直線1與圓

jl2+(-l)2

Ck相切,C正確;到原點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡是單位圓O:x2+y2=l,當(dāng)圓O與圓Ck相交時(shí)滿足條件,

此時(shí)|OCk|=&|k|G(1,3),得ke侍苧)或ke(考，閣,D錯(cuò)誤.故選AC.

22222

11.BCD圓Ci:x+y=1的圓心為Ci(0,0),半徑門(mén)=1;圓C2：(x-3)+(y+4)=r(r>0)的圓心為C2(3,-4),

半徑為r,則|CIC2|=J(0-3)2+(0+4)2=5.若圓Ci與圓C2無(wú)公共點(diǎn),則只需20|<|7|或

2222

|CiC2|>r+l,解得r>6或0<r<4,故A錯(cuò);若r=5,則圓C2：(x-3)+(y+4)=25,Sx+y=l與

(x-3>+(y+4)2=25兩式作差，可得兩圓的公共弦所在直線的方程為6x-8y-l=0,故B正確;若r=2,則

圓C2：(x-3>+(y+4)2=4,此時(shí)|CIC2|=5>2+1=3,所以圓Ci與圓C2外離，又P,Q分別是圓Ci與圓C2

上的點(diǎn)，所以ICC卜(1+2)W|PQ|W|CC|+l+2,即2W|PQ|W8,故C正確;當(dāng)0<r<4時(shí)，兩圓外離，記直

線6x-8y+r2-26=0上任意一點(diǎn)為M(xo,yo),則6xo-8yo+r2-26=O,所以

MC2X22

|MC11=7^0+yoJI=V(O-3)+(yo+4)=7^o+yo-6^0+8y0+25=7%O+7o+因止匕

切線長(zhǎng)分別為di=J|MCi|2-12=J/+y*l,d2=J|MC2『-r2=J4+%-1,即di=d2,故D正確.故選

BCD.

12.ABC由題意得直線11過(guò)定點(diǎn)A(0,0),直線12過(guò)定點(diǎn)B(l,3),所以A正確;由圓的方程可得圓心

C(2,4),半徑r=g,所以圓心C到直線12的距離d」27±"3|=粵』，所以弦長(zhǎng)為

2后手=2(2+品?[2,2四心(2/,2舊],即弦長(zhǎng)的最小值為2,故8正確;因?yàn)閮?/p>

條直線始終互相垂直,P是兩條直線的交點(diǎn)，所以PALPB,可得P的軌跡為圓,設(shè)為圓Q,則圓心為

QC泮徑因?yàn)閨CQ|=J(2-—+(4-§=^|^e(r-r；r+r'),兩圓相交，所以C正確;

I22

由C可知|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+32=1O,由基本不等式，可得也竽生WJ眼羅L圾即

|PA|+|PB|W2V^,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)，等號(hào)成立，所以D不正確.故選ABC.

13.答案3或-7

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-l)2=4,圓心為C(2,l),半徑R=2,由NACB=120。,知C到AB的

距離d=Rcos60。=1,所以1,解得m=3或m=-7.

14.答案6;1

解析Vh過(guò)點(diǎn)P(1,2),.-.1+|=10,V12的斜率為2且與1,平行,.?.、2②，由①②可得a=2,b=4,

a+b=6,/.11:^+7=1,即2x+y-4=0,回投=迷,解得m=l或m=-9.當(dāng)m=-9時(shí)J2經(jīng)過(guò)第一象限，不

Z4"

符合題意,m=l.

15.答案V58

解析設(shè)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,A關(guān)于l:x-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為D,.'.|MB|=|BA|」AC|=|CD|,連接

MD交直線1于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)B,則AABC的周長(zhǎng)=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|2|MD|,.「

*x1=-1

當(dāng)M,B,C,D四點(diǎn)共線時(shí),AABC的周長(zhǎng)最小.易知M(-2,3).設(shè)點(diǎn)D(x,y),則’解得

"(等告-2=0,

二，所以口(5,0).由兩點(diǎn)間的距離公式知,0乂|=技了布=畫(huà).

1/2345

x-y-2=Q

16.答案[3V2,2V5]

解析由題意得圓Ci的圓心為Ci(2,l),半徑ri=V^,圓C2的圓心為C2(-4,-2),半徑*2.由弦長(zhǎng)

|AB|=2/可得，圓心C2到直線AB的距離d=J名-(竽)2="^=魚(yú)，即心2(3|=魚(yú),所以點(diǎn)Q的軌

跡方程為(x+4A+(y+2)2=2.設(shè)直線0Q與圓Q相切的直線為y=kx,則隼望=VX解得k=l或k=1,

一727

當(dāng)直線為y=x時(shí)，圓心Ci到直線的距離山=4^=冬弦長(zhǎng)為2行屏=25-當(dāng)直線為

y=Jx,即x-7y=0時(shí)，圓心Ci到直線的距離"=噌弦長(zhǎng)為2個(gè)*6=25-打在所以弦

長(zhǎng)的取值范圍為[3V2,2V5].

17.解析⑴選條件①.設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

5-D+2E+F^0,

由題意得卜5+6。+3E+F=0,(3分)

.25+3。+4E+F=0,

(D--6,

解得E=2,

[F=-15,

所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,BP(x-3)2+(y+l)2=25.(6分)

選條件②.設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

(5—D+2E+尸=0,

由題意得]45+6。+3E+F=°,?分)

I捐-2=0,

(D--6,

解得E=2,

[F=-15,

所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,

BP(x-3)2+(y+l)2=25.(6分)

選條件③.設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

出口而音為(5—D+2E+F—0,...

由"心侍(45+6。+3E+F=0,⑴

因?yàn)閳A截y軸所得弦長(zhǎng)為8,

2

所以方程y+Ey+F=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根yi,y2,

2=2

Jt|yi-y2|=V(7i+y2)-4yiy2V￡'-4F=8,

即E2-4F=64,(ii)(3分)

由(i)(ii)可得D=-6,E=2,F=-15或D=若,E=今產(chǎn)考

又因?yàn)閳A心M的坐標(biāo)為整數(shù)，

所以D=-6,E=2,F=-15,

故圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,IP(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)

(2)由(1)知圓心M的坐標(biāo)為(3,-1),弦的中點(diǎn)為N(2,l),

弦的斜率卜=七二擊W(8分)

所以弦所在的直線方程為y-l=.|(x-2),BPy=1x.(10分)

18.解析⑴頂點(diǎn)C到斜邊AB所在的直線的距離d=匣學(xué)典=浮2遍,(3分)

Jl2+220

所以|AB|=2d=4芯,(4分)

故4ABC的面積S=|x|AB|xd=|x4V5x2V5=20.(6分)

(2)由題意知,CDLAB,

又因?yàn)閗AB=”,所以kcD=2,(7分)

所以直線CD的方程為y=2x-1和2x-y-l=0,（9分）

X+2y-8=0,解得｛;二如分）

2x-y-l=0,

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3）.（12分）

19.解析⑴易知點(diǎn)A在BC邊上的高所在的直線x-2y+l=0上，且在NA的平分線所在的直線

y=o上,解方程組優(yōu)1=仇得Z『'即A（-I,o）,（2分）

因?yàn)锽C邊上的高所在的直線方程為x-2y+l=0,所以kBc=-2,

因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,所以直線BC的方程為2x+y-4=0.（4分）

因?yàn)閗Ac=l,所以kAB二-kAc=-l,所以直線AB的方程為x+y+l=0,

解方程組區(qū)得C二!：6即B（5,-6）.（6分）

⑵依題意得直線1的斜率存在,設(shè)直線1的方程為y-2=k（x-l）（k<0）,

則M（容,0）,N（0,2-k）,（8分）

所以SAMON=|?塔?(2-k)

4\>1

-)\-4+2卜?(_/=4,(10分)

々/2

當(dāng)且僅當(dāng)*=片即k=-2時(shí)取等號(hào)，所以(S^MON)min=4,此時(shí)直線1的方程是2x+y-4=0.(12分)

20.解析⑴由題意知，圓心N也在直線x=0上，

聯(lián)立仁丁。懈需或

...N(0,l),易知圓N的半徑rN=V2,

...圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-l)2=2.(3分)

M(3,4),且|MN|=J(3-0)2+(4—1)2=3/,

rM+rN=2V2+V2=3V2=|MN|,

.?.圓M與圓N外切.(6分)

(2)存在.,.?N(0,l),M(3,4),.?.直線MN的方程為x-y+l=0,

設(shè)B(a,a+1),

由|BS|=2|BT|可知,|BS|2=4|BT|2,

即|BN|2-2=4(|BM|2-8),所以|BN|2=4|BM|2-30,

即a2+(a+l-l)2=4[(a-3)2+(a+l-4)2]-30,(9分)

整理得a2-8a+7=0,解得a=l或a=7,

.?.B(l,2)或B(7,8),

當(dāng)B的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)，點(diǎn)B為圓N與圓M的公切點(diǎn)，此時(shí)T,S,B重合,不符合題意.

???存在點(diǎn)B(7,8),滿足|BS|=2|BT|.(12分)

21.解析(1)如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn),0C所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

:60臨二一,

OL-170x

由條件知,A(0,60),C(170,0),kBc=-tanZBCO=-1.

又因?yàn)锳BLBC,所以kAB=j.(2分)

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),

rrt.rb-041b-603,A

貝'11kBCKM，kAB=kz，(4分)

解得a=80,b=120.

所以|BC|=J(170-80)2+(0—120)2=150.

因此新橋BC的長(zhǎng)為150m.(6分)

(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,|0M|=dm(0WdW60).

由⑴知，直線BC的方程為y=-1(x-170),

即4x+3y-680=0.

由于圓M