新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第1章　§1.4　基本不等式（原卷版）

§1.4基本不等式考試要求1.了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.3.理解基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．知識(shí)梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號(hào)成立的條件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()教材改編題1．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋4b＝ab，則ab的最小值為()A．16B．8C．4D．22．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x＋1)(x≥0)的最小值為_(kāi)_______．3．若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2.題型一利用基本不等式求最值命題點(diǎn)1配湊法例1(1)已知x>2，則函數(shù)y＝x＋eq\f(1,2x－2)的最小值是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋2C．2 D.eq\r(2)＋2(2)設(shè)0<x<eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為_(kāi)_______．命題點(diǎn)2常數(shù)代換法例2已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，則2x＋y的最小值為()A．16 B．8＋4eq\r(2)C．12 D．6＋4eq\r(2)命題點(diǎn)3消元法例3已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_(kāi)_______．延伸探究本例條件不變，求xy的最大值．思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)b有最小值eq\f(1,4)B．8eq\r(a)＋8eq\r(b)有最大值8eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)(2)已知x>1，則y＝eq\f(x－1,x2＋3)的最大值為_(kāi)_______．題型二基本不等式的常見(jiàn)變形應(yīng)用例4(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)思維升華基本不等式的常見(jiàn)變形(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟蹤訓(xùn)練2已知a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是()A.eq\f(2,a＋b) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(2,\r(ab)) D.eq\r(\f(2,a2＋b2))題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例5中華人民共和國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在陜西省舉辦，某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系全運(yùn)會(huì)組委會(huì)舉辦一場(chǎng)紀(jì)念品展銷(xiāo)會(huì)，并將所獲利潤(rùn)全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個(gè)會(huì)徽和一個(gè)吉祥物)售價(jià)定為x元時(shí)，銷(xiāo)售量可達(dá)到(15－0.1x)萬(wàn)套．為配合這個(gè)活動(dòng)，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為50元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷(xiāo)售量(單位：萬(wàn)套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計(jì)其他成本，即銷(xiāo)售每套紀(jì)念品的利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格．(1)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí)，能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？(2)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，單套的利潤(rùn)最大？最大值是多少元？思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．跟蹤訓(xùn)練3某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角梯形的高為_(kāi)_________cm時(shí)，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)．課時(shí)精練1．下列函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C．y＝ex＋e－xD．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則lga＋lgb的最大值為()A．0B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．13．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為()A．13B．12C．9D．64．已知a，b為正實(shí)數(shù)，a＋b＝3，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)的最小值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,2)D．45．(多選)設(shè)a＝log23，b＝log2eq\f(4,3)，則下列關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)b>eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)b<eq\f(a＋b,2)C.eq\f(a＋b,2)>eq\f(b,a) D．a(chǎn)b>eq\f(b,a)6．(多選)若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()A．0<eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C．log2a＋log2b<2 D.eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)7．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為_(kāi)_______．8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且2a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(a,2b)的最小值為_(kāi)_______．9．(1)當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)已知0<x<2，求函數(shù)y＝xeq\r(4－x2)的最大值．10．某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬(wàn)元，每生產(chǎn)x(千部)手機(jī)，需另投入成本R(x)萬(wàn)元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x2＋100x，0<x<40，,701x＋\f(10000,x)－9450，x≥40，))通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．(1)求出今年的利潤(rùn)W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本)；(2)今年產(chǎn)量為多少(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？11.已知α，β為銳角，且tanα－tanβ＋2tanαtan2β＝0，則tanα的最大值為()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)12．若a>0，b>0，則(a＋b)2＋eq\f(1,ab)的最小值為_(kāi)_______．13.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)為無(wú)字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD，過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無(wú)字證