2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.4-列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)【導(dǎo)學(xué)案】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.4-列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過實(shí)例,理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實(shí)例,了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查分類變量與列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn);獨(dú)立性檢驗(yàn)是高考熱點(diǎn),常以解答題的形式出現(xiàn).預(yù)測估計2025年高考仍會在獨(dú)立檢驗(yàn)上出題.【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識梳理·歸納1.分類變量為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.2.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表①2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

②定義一對分類變量X和Y,我們整理數(shù)據(jù)如表所示:XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)①定義:利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”.簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

②χ2=n(ad-bc)2(a+b(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.④在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.微思考χ2值越大,說明分類變量x與y獨(dú)立的可能性是大還是小?提示:χ2值越大,說明分類變量x與y獨(dú)立的可能性越大.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù).(√)提示:(1)由2×2列聯(lián)表可知,表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù),所以(1)正確.(2)事件A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān),即兩個事件互不影響.(×)提示:(2)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知:事件A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān),說明事件A和B關(guān)聯(lián)性不大,不一定互不影響,所以(2)錯誤.(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計量.(√)(4)在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,則說明兩個分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).(×)提示:(4)在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,說明卡方值越小,即兩個分類變量之間關(guān)系不強(qiáng),所以(4)錯誤.2.(選修第三冊P134練習(xí)4改編)某課外興趣小組通過隨機(jī)調(diào)查,利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān).計算得χ2=6.748,經(jīng)查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)=0.010,則下列判斷正確的是()A.每100個數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生B.若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,那么他為男生的概率是0.010C.有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”【解析】選D.因?yàn)棣?=6.748≥6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”,即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.所以ABC錯誤.3.(選修第三冊P133例4改編)在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,計算得到隨機(jī)變量χ2≈56.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確的是()A.因?yàn)殡S機(jī)變量χ2>10.828=x0.001,所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001B.因?yàn)殡S機(jī)變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不低于0.001C.因?yàn)殡S機(jī)變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”,并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001D.因?yàn)殡S機(jī)變量χ2>10.828,所以“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”,并且這個結(jié)論犯錯誤的概率不低于0.001【解析】選A.由題意知,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,計算得到隨機(jī)變量χ2≈56.632>10.828=x0.001,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.4.(不理解獨(dú)立性檢驗(yàn)方法)已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項體育運(yùn)動與性別是否有關(guān)的過程中,某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ2=7.235,則根據(jù)小概率值α=的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析喜歡該項體育運(yùn)動與性別有關(guān).

【解析】因?yàn)?.635<7.235<10.828,所以根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析喜歡該項體育運(yùn)動與性別有關(guān).答案:0.01【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一分類變量與列聯(lián)表[例1](1)為考察某種藥物對預(yù)防禽流感的效果,在四個不同的實(shí)驗(yàn)室取相同的個體進(jìn)行動物試驗(yàn),根據(jù)四個實(shí)驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個等高堆積條形圖,最能體現(xiàn)該藥物對預(yù)防禽流感有效果的圖形是()【解析】選D.在等高堆積條形圖中,aa+b與(2)如表是2×2列聯(lián)表,則表中a,b的值分別為()項目y1y2合計x1a835x2113445合計b4280A.27,38 B.28,38 C.27,37 D.28,37【解析】選A.a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.解題技法比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算χ2的大小判斷:χ2越大,兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.(2)通過計算|ad-bc|的大小判斷:|ad-bc|越大,兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.(3)通過計算aa+b與對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·莆田模擬)為考察A,B兩種藥物對預(yù)防某疾病的效果,進(jìn)行動物試驗(yàn),分別得到如下等高堆積條形圖,根據(jù)圖中信息,在下列各項中,說法最佳的一項是()A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預(yù)防效果D.藥物A,B對該疾病均沒有預(yù)防效果【解析】選B.根據(jù)題干中兩個等高堆積條形圖知,藥物A試驗(yàn)顯示不服藥與服藥時患病差異較藥物B試驗(yàn)顯示明顯大,所以藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果.2.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如下的2×2列聯(lián)表:性別打籃球合計喜愛不喜愛男生6女生10合計48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為23.請將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整【解析】在全班48人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為23,故喜愛打籃球的學(xué)生共有48×23=32(人),因?yàn)橄矏鄞蚧@球的女生有10人,故喜愛打籃球的男生有22人,結(jié)合題意可知不喜愛打籃球的女生有48-32-6=10(人)性別打籃球合計喜愛不喜愛男生22628女生101020合計321648考點(diǎn)二列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)[例2](2022·全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營,為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:公司準(zhǔn)點(diǎn)情況準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;【解析】(1)根據(jù)題中表格數(shù)據(jù),A共有班次260次,準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,設(shè)A公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,則P(M)=240260=12B共有班次240次,準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,設(shè)B公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,則P(N)=210240=7所以A公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為1213B公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為78(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?附:χ2=n(α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635【解析】(2)列聯(lián)表公司準(zhǔn)點(diǎn)情況合計準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500χ2=n(ad-bc)2(根據(jù)臨界值表可知,有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2=n(ad-bc)(3)比較χ2與臨界值xα的大小關(guān)系,作統(tǒng)計推斷.對點(diǎn)訓(xùn)練為了減少自身消費(fèi)的碳排放,“綠色消費(fèi)”等綠色生活方式漸成風(fēng)尚.為獲得不同年齡段的人對“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況,某地研究機(jī)構(gòu)將“90后與00后”作為A組,將“70后與80后”作為B組,并從A,B兩組中各隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián)表:(單位:人)年齡段認(rèn)知情況合計知曉不知曉A組(90后與00后)7525100B組(70后與80后)4555100合計12080200(1)若從樣本內(nèi)知曉“綠色消費(fèi)”意義的120人中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法隨機(jī)抽取16人,問:應(yīng)在A組、B組中各抽取多少人?【解析】(1)由題意知,在A組中抽取的人數(shù)為16×75120=10.在B組中抽取的人數(shù)為16×45120(2)能否依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析對“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有關(guān)?【解析】(2)零假設(shè)為H0:對“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡無關(guān).由題意,得χ2=200×(75×55-25×45)2120×80×100×100=18.75>10.828=x0.001,故依據(jù)小概率值α考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用[例3](2023·福州模擬)甲、乙兩所學(xué)校高三年級分別有1000人,1100人,為了了解兩所學(xué)校全體高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)測試情況,采用分層隨機(jī)抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表,規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀.分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)甲校頻數(shù)1298乙校頻數(shù)231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校頻數(shù)1010x3乙校頻數(shù)15y31(1)計算x,y的值;【解析】(1)由題可知,采用分層隨機(jī)抽樣共抽取105人,1000∶1100=10∶11,所以甲校抽取105×1021=50(人),乙校抽取105×11故1+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,2+3+10+15+15+y+3+1=55,解得y=6;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異?(注:x0.025=5.024)數(shù)學(xué)成績學(xué)校合計甲校乙校優(yōu)秀非優(yōu)秀合計【解析】(2)由頻數(shù)分布表可得2×2列聯(lián)表為數(shù)學(xué)成績學(xué)校合計甲校乙校優(yōu)秀201030非優(yōu)秀304575合計5055105零假設(shè)H0:兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績無差異,所以χ2=105×(20×45-30×10)250×55×30×75≈6.109>5依據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)解題策略(1)分清分類變量是什么;(2)計算χ2時注意運(yùn)算順序、運(yùn)算技巧的應(yīng)用;(3)注意與其他統(tǒng)計知識的交匯運(yùn)用.對點(diǎn)訓(xùn)練第五代移動通信技術(shù)簡稱5G或5G技術(shù),是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),也是繼4G系統(tǒng)之后的延伸.為了了解市民對A,B運(yùn)營商的5G通信服務(wù)的評價,分別從A,B運(yùn)營商的用戶中隨機(jī)抽取100名用戶對其進(jìn)行測評,已知測評得分在70分以上的為優(yōu)秀,測評結(jié)果如下:A運(yùn)營商的100名用戶的測評得分得分[40,50](50,60](60,70]頻率0.180.230.3得分(70,80](80,90](90,100]頻率0.240.030.02B運(yùn)營商的100名用戶的測評得分(1)根據(jù)頻率分布直方圖,分別求出B運(yùn)營商的100名用戶的測評得分的中位數(shù)和均值(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);【解析】(1)由題中頻率分布直方圖可知B運(yùn)營商測評得分在區(qū)間[40,70]的頻率為(0.008+0.016+0.026)×10=0.5,故B運(yùn)營商測評得分的中位數(shù)為70;由題中頻率分布直方圖可知B運(yùn)營商測評得分的均值為45×0.08+55×0.16+65×0.26+75×0.3+85×0.16+95×0.04=69.2.(2)填寫下面列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷測評得分優(yōu)秀是否與運(yùn)營商有關(guān).(x0.01=6.635)運(yùn)營商測評得分合計優(yōu)秀非優(yōu)秀AB合計【解析】(2)零假設(shè)H0:測評得分優(yōu)秀與運(yùn)營商無關(guān).由題中頻率分布表可知A運(yùn)營商測評得分優(yōu)秀的有100×(0.24