高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十九平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十九平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．1〖解析〗選D.a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，所以x＝1.2．(2021·十堰模擬)若夾角為θ的向量a與b滿足|b|＝|a－b|＝1，且向量a為非零向量，則|a|＝()A．－2cosθB．2cosθC．－cosθ D．cosθ〖解析〗選B.因?yàn)閨b|＝|a－b|＝1，所以b2＝a2－2a·b＋b2，a2＝2a·b，|a|2＝2|a||b|cosθ，因?yàn)閍為非零向量，所以|a|＝2|b|cosθ＝2cosθ.3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(1，λ)，若(a＋b)⊥c，則λ的值為()A．－3B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．3〖解析〗選A.因?yàn)閍＋b＝(3，1)，由(a＋b)⊥c得(3，1)·(1，λ)＝0，3＋λ＝0，λ＝－3.4．已知非零向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|等于()A．4B．2C．eq\r(2)D．1〖解析〗選D.因?yàn)閨a－2b|＝2，所以|a－2b|2＝4，a2－4a·b＋4b2＝4，4－4·2|b|cos60°＋4|b|2＝4，解得|b|＝1.(|b|＝0舍去)5．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為()A．12B．8C．－8D．2〖解析〗選A.因?yàn)閨a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝12.二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋a·c＝________．〖解析〗因?yàn)椤碼，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，a·b＋b·c＋a·c＝－eq\f(3,2).〖答案〗－eq\f(3,2)7.已知向量a=(λ,-6),b=(-1,2),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是.

〖解析〗因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為鈍角,所以a·b=(λ,-6)·(-1,2)=-λ-12<0,解得λ>-12.當(dāng)a與b共線時(shí),設(shè)a=kb(k<0),可得QUOTE解得QUOTE即當(dāng)λ=3時(shí),向量a與b共線且反向,此時(shí)a·b<0,但a與b的夾角不是鈍角.綜上,λ的取值范圍是(-12,3)∪(3,+∞).〖答案〗:(-12,3)∪(3,+∞)8.(2021·貴陽模擬)已知△ABC外接圓的圓心為O,M為邊BC的中點(diǎn),若AB=3,AC=5,則·=.

〖解析〗如圖,取AC的中點(diǎn)D,AB的中點(diǎn)E,并連接OD,OE,則OD⊥AC,OE⊥AB,所以·=·=QUOTE=QUOTE,·=·=QUOTE=QUOTE,·=QUOTE·(+)=QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|.(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b).〖解析〗由已知a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4eq\r(3).②因?yàn)閨4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)因?yàn)?a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，k＝－7，所以當(dāng)k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．〖解析〗(1)由已知＝(3，5)，＝(－1，1)，則＋＝(2，6)，－＝(4，4).所以|＋|＝2eq\r(10)，|－|＝4eq\r(2).所以所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)由已知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).由(－t)·＝0得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，所以5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).1．已知向量a、b為單位向量，且a＋b在a的方向上的投影為eq\f(\r(3),2)＋1，則向量a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)〖解析〗選A.設(shè)向量a與b的夾角為θ，因?yàn)橄蛄縜、b為單位向量，a＋b在a的方向上的投影為eq\f(\r(3),2)＋1，所以(a＋b)·a＝|a|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋1))，變形得1＋a·b＝eq\f(\r(3),2)＋1，即a·b＝1×1×cosθ＝cosθ＝eq\f(\r(3),2)，又由0≤θ≤π，則θ＝eq\f(π,6)，故選A.2．已知非零向量a，b滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角θ為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)〖解析〗選B.因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(|b|2,2|b|2)＝eq\f(1,2)，所以a與b的夾角為eq\f(π,3).3.(5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn),=-2,則·= ()A.24 B.-7 C.-10 〖解析〗選D.由已知得=QUOTE,=QUOTE,=,所以=+QUOTE=+QUOTE,=-=QUOTE-.因?yàn)樵诹庑蜛BCD中,∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.又因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為4,所以·=||·||cos120°=4×4×QUOTE=-8,所以·=·=-||2-QUOTE·+QUOTE||2=-16-QUOTE×(-8)+QUOTE×16=-12.4．(2020·鄭州模擬)已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(eq\r(3)cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函數(shù)f(x)＝m·n的最小正周期為π.(1)求ω的值．(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝eq\r(3)，sinB＝eq\r(3)sinA，求·的值．〖解析〗(1)f(x)＝m·n＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝eq\r(3)sin2ωx＋cos2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6))).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，所以T＝eq\f(2π,2|ω|)＝π，又ω＞0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c.因?yàn)閒(B)＝－2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－1，又0＜B＜π，解得B＝eq\f(2π,3).因?yàn)锽C＝eq\r(3)，即a＝eq\r(3)，又sinB＝eq\r(3)sinA，所以b＝eq\r(3)a，b＝3.由正弦定理得，eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(3,sin\f(2π,3))，解得sinA＝eq\f(1,2).又0＜A＜eq\f(π,3)，解得A＝eq\f(π,6)，所以C＝eq\f(π,6)，c＝a＝eq\r(3)，所以·＝cacosB＝eq\r(3)×eq\r(3)×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(3,2).5．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若x＝eq\f(3π,4)，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|＋|的最小值．(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．〖解析〗(1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)，當(dāng)x＝eq\f(3π,4)時(shí)，可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|＋|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)(0≤t≤1)，所以當(dāng)t＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，|＋|2取得最小值為eq\f(1,2)，故|＋|的最小值為eq\f(\r(2),2).(2)由題意得C(cosx，sinx)，m＝＝(cosx＋1，sinx)，則m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).所以當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)時(shí)，m·n＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))取得最小值1－eq\r(2)，所以m·n的最小值為1－eq\r(2)，此時(shí)x＝eq\f(π,8).1．已知向量||＝2，||＝4，·＝4，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．2〖解析〗選A.因?yàn)橛衏os∠AOB＝＝eq\f(4,2×4)＝eq\f(1,2)，所以sin∠AOB＝eq\f(\r(3),2)，所以所求的平行四邊形的面積為||·||·sin∠AOB＝4eq\r(3).故選A.2．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，則λ的值為()A．2B．3C．4D．5〖解析〗選B.依題意得＝＋＝eq\f(1,2)－，＝＋，因此·＝·＝eq\f(1,2)2－eq\f(1,λ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))·，于是有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,λ)))×62＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))×62×cos60°＝－9，由此解得λ＝3.課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十九平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．1〖解析〗選D.a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，所以x＝1.2．(2021·十堰模擬)若夾角為θ的向量a與b滿足|b|＝|a－b|＝1，且向量a為非零向量，則|a|＝()A．－2cosθB．2cosθC．－cosθ D．cosθ〖解析〗選B.因?yàn)閨b|＝|a－b|＝1，所以b2＝a2－2a·b＋b2，a2＝2a·b，|a|2＝2|a||b|cosθ，因?yàn)閍為非零向量，所以|a|＝2|b|cosθ＝2cosθ.3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(1，λ)，若(a＋b)⊥c，則λ的值為()A．－3B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．3〖解析〗選A.因?yàn)閍＋b＝(3，1)，由(a＋b)⊥c得(3，1)·(1，λ)＝0，3＋λ＝0，λ＝－3.4．已知非零向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|等于()A．4B．2C．eq\r(2)D．1〖解析〗選D.因?yàn)閨a－2b|＝2，所以|a－2b|2＝4，a2－4a·b＋4b2＝4，4－4·2|b|cos60°＋4|b|2＝4，解得|b|＝1.(|b|＝0舍去)5．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為()A．12B．8C．－8D．2〖解析〗選A.因?yàn)閨a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝12.二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋a·c＝________．〖解析〗因?yàn)椤碼，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，a·b＋b·c＋a·c＝－eq\f(3,2).〖答案〗－eq\f(3,2)7.已知向量a=(λ,-6),b=(-1,2),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是.

〖解析〗因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為鈍角,所以a·b=(λ,-6)·(-1,2)=-λ-12<0,解得λ>-12.當(dāng)a與b共線時(shí),設(shè)a=kb(k<0),可得QUOTE解得QUOTE即當(dāng)λ=3時(shí),向量a與b共線且反向,此時(shí)a·b<0,但a與b的夾角不是鈍角.綜上,λ的取值范圍是(-12,3)∪(3,+∞).〖答案〗:(-12,3)∪(3,+∞)8.(2021·貴陽模擬)已知△ABC外接圓的圓心為O,M為邊BC的中點(diǎn),若AB=3,AC=5,則·=.

〖解析〗如圖,取AC的中點(diǎn)D,AB的中點(diǎn)E,并連接OD,OE,則OD⊥AC,OE⊥AB,所以·=·=QUOTE=QUOTE,·=·=QUOTE=QUOTE,·=QUOTE·(+)=QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|.(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b).〖解析〗由已知a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4eq\r(3).②因?yàn)閨4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)因?yàn)?a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，k＝－7，所以當(dāng)k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．〖解析〗(1)由已知＝(3，5)，＝(－1，1)，則＋＝(2，6)，－＝(4，4).所以|＋|＝2eq\r(10)，|－|＝4eq\r(2).所以所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)由已知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).由(－t)·＝0得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，所以5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).1．已知向量a、b為單位向量，且a＋b在a的方向上的投影為eq\f(\r(3),2)＋1，則向量a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)〖解析〗選A.設(shè)向量a與b的夾角為θ，因?yàn)橄蛄縜、b為單位向量，a＋b在a的方向上的投影為eq\f(\r(3),2)＋1，所以(a＋b)·a＝|a|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋1))，變形得1＋a·b＝eq\f(\r(3),2)＋1，即a·b＝1×1×cosθ＝cosθ＝eq\f(\r(3),2)，又由0≤θ≤π，則θ＝eq\f(π,6)，故選A.2．已知非零向量a，b滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角θ為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)〖解析〗選B.因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(|b|2,2|b|2)＝eq\f(1,2)，所以a與b的夾角為eq\f(π,3).3.(5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn),=-2,則·= ()A.24 B.-7 C.-10 〖解析〗選D.由已知得=QUOTE,=QUOTE,=,所以=+QUOTE=+QUOTE,=-=QUOTE-.因?yàn)樵诹庑蜛BCD中,∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.又因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為4,所以·=||·||cos120°=4×4×QUOTE=-8,所以·=·=-||2-QUOTE·+QUOTE||2=-16-QUOTE×(-8)+QUOTE×16=-12.4．(2020·鄭州模擬)已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(eq\r(3)cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函數(shù)f(x)＝m·n的最小正周期為π.(1)求ω的值．(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝eq\r(3)，sinB＝eq\r(3)sinA，求·的值．〖解析〗(1)f(x)＝m·n＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝eq\r(3)sin2ωx＋cos2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6))).因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，所以T＝eq\f(2π,2|ω|)＝π，又ω＞0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c.因?yàn)閒(B)＝－2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－1，又0＜B＜π，解得B＝eq\f(2π,3).因?yàn)锽C＝eq\r(3)，即a＝eq\r(3)，又sinB＝eq\r(3)sinA，所以b＝eq\r(3)a，b＝3.由正弦定理得，eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(3,sin\f(2π,3))，解得sinA＝eq\f(1,2).又0＜A＜eq\f(π,3)，解得A＝eq\f(π,6)，所以C＝eq\f(π,6)，c＝a＝eq\r(3)，所以·＝cacosB＝eq\r(3)×eq\r(3)×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(3,2).5．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若x＝eq\f(3π,4)，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|＋|的最小值．(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．〖解析〗(1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)，當(dāng)x＝eq\f(3π,4)時(shí)，可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|＋|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\