中國礦業(yè)數(shù)理統(tǒng)計課件

第二章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念§2.1

引言§2.2總體、樣本與統(tǒng)計模型§2.3統(tǒng)計量和抽樣分布§2.4

χ2分布、t分布和F分布§2.5

次序統(tǒng)計量§2.6

描述性統(tǒng)計分析—總體特征的識別§2.1引言數(shù)理統(tǒng)計問題可以分為兩大類：■如何科學(xué)地安排試驗，以獲取有效的隨機數(shù)據(jù)?！枋鼋y(tǒng)計學(xué)。如：試驗設(shè)計、抽樣方法?！鲅芯咳绾畏治鏊@得的隨機數(shù)據(jù)，對所研究的問題進(jìn)行科學(xué)的、合理的估計和推斷，盡可能地為采取一定的決策提供依據(jù)，作出精確而可靠的結(jié)論.——推斷統(tǒng)計學(xué)。如：參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等。§2.1引言應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法解決實際問題的基本步驟：（1）確定研究對象、研究目的；（2）數(shù)據(jù)收集與整理；（3）數(shù)據(jù)分析；（4）應(yīng)用數(shù)據(jù)分析結(jié)果解決實際問題。§2.2總體、樣本與統(tǒng)計模型1.總體研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)值的全體稱為總體。總體中每個研究對象(元素)稱為樣本。例如：◆咱們班男生的身高；

◆人的體溫；

◆徐州地區(qū)下個月的氣溫；

◆徐州地區(qū)下個月的降雨量；

………………總體有限總體無限總體總體可以用一個隨機變量X

及其分布來描述。此總體就可以用隨機變量X或其分布函數(shù)例如，研究某批燈泡的壽命時，這批燈泡中每個燈泡的壽命是我們所關(guān)心的指標(biāo).表示.2.樣本樣本：在總體中抽取的部分個體。樣本容量：樣本中所含個體的數(shù)目n。定義為了準(zhǔn)確地進(jìn)行判斷，對抽樣有所要求：①代表性：樣本的每個分量與總體X有相同的分布函數(shù)；②獨立性：為相互獨立的隨機變量，滿足以上條件的樣本稱為來自總體X的容量為n的一個簡單隨機樣本（簡稱樣本）。樣本的一次具體實現(xiàn)稱為樣本值。聯(lián)合分布函數(shù)為聯(lián)合概率密度為§2.3

統(tǒng)計量和抽樣分布定義1設(shè)

是來自總體X的一個樣本，為一實值連續(xù)函數(shù)，其不包含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。為的觀測值。注：仍為隨機變量。是一個數(shù)。例如總體是一個樣本，則均為統(tǒng)計量。當(dāng)未知時，均不是統(tǒng)計量。當(dāng)已知時，均為統(tǒng)計量。幾個常用的統(tǒng)計量1.樣本均值2.樣本方差設(shè)是來自總體X的一個樣本，3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差4.樣本k

階原點矩5.樣本k

階中心矩它們的觀察值分別為：其樣本為例2

設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X的樣本為求例1

設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為是來自總體例3設(shè)的一樣本,總體的階矩存在，證明(1)(2)證

獨立且與同分布獨立且與同分布由辛欽大數(shù)定律，知§2.4

幾個常用的分布記為定義

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布1.分布的概率密度為其中伽瑪函數(shù)定理1證明

當(dāng)x>0時，依定義有作球坐標(biāo)變換其中該變換的Jacobi行列式為其中是的函數(shù)，與r無關(guān)其中由得顯然，當(dāng)x<0時，所以ξ的概率密度為相互獨立,都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)證明例1

設(shè)分布證明因為所以又X1,X2,…,Xn相互獨立，也相互獨立。由的定義可知且X1,X2相這個性質(zhì)叫分布的可加性。（1）

設(shè)互獨立，則分布的性質(zhì)E(X)=n,D(X)=2n(2)

若證明則所以則c

2分布的分位點稱滿足條件分位點.為分布的上的點對于給定的正數(shù)記作T～t(n)。所服從的分布為自由度為n的t分布.設(shè)X～N(0,1),Y～則稱變量,且X與Y相互獨立，2.t分布t分布的概率密度為（1）設(shè)T~t(n)，則（2）t分布的概率密度關(guān)于x=0對稱t分布的性質(zhì)E(T)=0,D(T)=n/(n-2),n>2當(dāng)n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度的圖形。但對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大。（3）

t

分布的分位點對于給定的正數(shù)，稱滿足條件分位點。為分布的上的點設(shè)X與Y相互獨立，則稱服從自由度為3.F

分布n1及n2的F分布，記作F~F(n1,n2)。(2)若X~F(n1,n2)，則

n2>2(1)

由定義可知，~F(n2,n1)性質(zhì)n2>4(3)F

分布的分位點對于給定的正數(shù)稱滿足條件分位點.分布的上的點為證明:

設(shè)由定義又因為故例1

設(shè)總體X,Y

相互獨立其樣本為試求統(tǒng)計量服從什么分布？解

由已知得所以例2

設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其樣本為解

由已知得所以故例3

已知總體X

服從自由度為n的t

分布，求證：解

由已知得其中故所以還能得§2.5

正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布1.單個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布定理1設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則有⑴⑵⑶相互獨立定理2

設(shè)總體X

服從正態(tài)分布是X的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則有⑴⑵證明

因為是樣本的線性組合，故，標(biāo)準(zhǔn)化后可得又因為相互獨立，所以也相互獨立，則由t分布的定義得2.兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布定理3設(shè)X1,X2,…,Xn1與Y1,Y2,…,Yn2分別是來自正態(tài)總體的樣本，并且這兩個樣本相互獨立，記則有⑴⑵當(dāng)時其中例4

設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其樣本為解

由已知得，得例5

設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其樣本為解

由已知得查表例6

設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其樣本為解

因為例7

設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其樣本為解

由已知得所以標(biāo)準(zhǔn)化得又因為故例8

設(shè)總體X,Y

相互獨立其樣本為試求以下概率解

由已知得則所以例9一個樣本，求設(shè)是來自正態(tài)總體的(1)(2)由定理2知解

例9一個樣本，求設(shè)是來自正態(tài)總體的(1)(2)查表可得2.5次序統(tǒng)計量稱為樣本的次序統(tǒng)計量.特別地，注稱為極差說明:定理1

設(shè)獨立同分布，

為其次序統(tǒng)計量，則

若F(x)具有概率密度f(x)，則X(k)的概率密度為例解樣本的分布1）樣本的頻數(shù)分布將n個樣本值按從小到大排列，把相同的數(shù)合并，并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)）

x頻數(shù)頻率2）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值

樣本值小于或等于x的個數(shù)，作－－－樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)給出了在n次獨立重復(fù)試驗中，事件出現(xiàn)的頻率，具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如：非降，右連續(xù)；由頻數(shù)分布知若樣本為n維r.v，那么對于每一樣本值就可作一個經(jīng)驗分布函數(shù)，故是隨機變量---n次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率。由伯努利大數(shù)定律，這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù).格列汶科進(jìn)一步證明了：當(dāng)n→∞時，F(xiàn)n(x)以概率1關(guān)于x一致收斂于F(x)，即這就是著名的格列汶科定理.定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n足夠大時，對所有的x,

Fn(x)與F(x)之差的絕對值都很小，這件事發(fā)生的概率為1.2.6描述性統(tǒng)計分析—總體特征的識別2.6.1描述統(tǒng)計量1、中心位置的描述2、變異性的描述3、樣本偏度系數(shù)和峰度系數(shù)■所謂描述性統(tǒng)計分析，就是對一組數(shù)據(jù)的各種特征進(jìn)行分析，以便于描述測量樣本的各種特征及其所代表的總體的特征?！雒枋鲂越y(tǒng)計分析的項目很多，常用的如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、極差、偏態(tài)程度等等。這些分析是復(fù)雜統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢

(位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征的測度數(shù)據(jù)特征的測度分布的形狀集中趨勢離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰態(tài)四分位差異眾比率偏態(tài)1.中心位置的描述（1）分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)（2）順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)（3）數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值（4）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較（1）眾數(shù)(mode)■出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值■不受極端值的影響■一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)■主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)(不唯一性)■無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268■一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855■多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242（2）中位數(shù)(median)■排序后處于中間位置上的值Me50%50%■不受極端值的影響■主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)■各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即樣本中位數(shù)定義其觀測值為（3）數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(9個數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排

序:75078085096010801250150016302000位置:123456789中位數(shù)

1080

（4）數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(10個數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排

序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345678910

（5）四分位數(shù)(quartile)排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(9個數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507801080850960200012501630排

序:

75078085096010801250150016302000位置:123456789

數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(10個數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排

序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

均值(mean)集中趨勢的最常用測度值一組數(shù)據(jù)的均衡點所在體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征易受極端值的影響用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)簡單均值與加權(quán)均值設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…，xn各組的組中值為：M1，M2，…，Mk

相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fk簡單均值加權(quán)均值已改至此?。∧畴娔X公司銷售量數(shù)據(jù)分組表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)Mi

fi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計—12022200加權(quán)均值

(例題分析)加權(quán)均值(權(quán)數(shù)對均值的影響)

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：

考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811均值

(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零

2.各變量值與均值的離差平方和最小2、變異性的描述數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散程度）從另一個側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測度值四分位差

(quartiledeviation)對順序數(shù)據(jù)離散程度的測度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

QD

=QU–QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性極差(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)計算公式為方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差4681012

x=8.3樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(simplevarianceandstandarddeviation)方差的計算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式3、樣本偏度系數(shù)和峰度系數(shù)偏度系數(shù)定義為

峰度系數(shù)定義為峰度系數(shù)主要用來反映分布的偏倚性.對于所有3階矩存在的對稱分布，偏度系數(shù)為0.

偏度系數(shù)和峰度系數(shù)常用來衡量分布與正態(tài)分布的差異.正態(tài)分布的峰度系數(shù)都是0.樣本偏度系數(shù)和峰度系數(shù)分別定義為偏度(skewness)統(tǒng)計學(xué)家Pearson于1895年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度

偏度系數(shù)=0為對稱分布

偏度系數(shù)>0為右偏分布偏度系數(shù)<0為左偏分布偏態(tài)與峰態(tài)

(從直方圖上觀察)按銷售量分組(臺)結(jié)論：1.為右偏分布

2.峰態(tài)適中140150210某電腦公司銷售量分布的直方圖190200180160170頻數(shù)(天)25201510530220230240峰度(kurtosis)統(tǒng)計學(xué)家Pearson于1905年首次提出數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度峰度系數(shù)=0扁平峰度適中峰度系數(shù)<0為扁平分布峰度系數(shù)>0為尖峰分布扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰態(tài)左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！2.6.2總體特征的樣本表現(xiàn)1、總體分布的常見形態(tài)2、直方圖3、莖葉圖4、箱線圖眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值1、總體分布的常見形態(tài)2、直方圖(histogram)

直方圖是利用觀測樣本對一元總體（即單個變量）的常用描述方法。當(dāng)樣本比較大時，我們可以把變量的取值范圍劃分成若干個區(qū)間，計算觀測值中落入每個區(qū)間的頻率列成表格并畫出直方圖，用來推測總體分布的形。具體步驟參見書本例2.6.3。用矩形的寬度和高度來表示頻數(shù)分布的圖形，實際上是用矩形的面積來表示各組的頻數(shù)分布。在直角坐標(biāo)中，用橫軸表示數(shù)據(jù)分組，縱軸表示頻數(shù)或頻率，各組與相應(yīng)的頻數(shù)就形成了一個矩形，即直方圖。直方圖下的總面積等于1