直線方程復(fù)習(xí)小結(jié)

第三章直線與方程小結(jié)（1）在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(3,4)的距離之和最?。謡PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|，解：設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線3x－y－1＝0上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′(a，b)，

已知正方形的中心為G(－1,0)，一邊所在直線的方程為x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線方程．設(shè)正方形與已知直線平行的一邊所在直線方程為解得C1＝－5或C1＝7.解：正方形的中心G(－1,0)到四邊距離均為故與已知邊平行的直線方程為x＋3y＋7＝0.設(shè)正方形另一組對(duì)邊所在直線方程為3x－y＋C2＝0，

解得C2＝9或C2＝－3.

所以正方形另兩邊所在直線的方程為3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.

綜上所述，正方形其他三邊所在直線的方程分別為

x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.直線的方程基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1.直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸

與直線l

方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為

.②傾斜角的范圍為

.正向向上0°≤＜180°0°(2)直線的斜率①定義：一條直線的傾斜角的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k=

，傾斜角是90°的直線斜率不存在.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=

正切值tan2.直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于x軸的直線斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線x=x1

（x1≠x2）和直線y=y1

（y1≠y2）截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3.過(guò)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程（1）若x1=x2,且y1≠y2時(shí)，直線垂直于x軸，方程為

;(2)若x1≠x2,且y1=y2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為

;(3)若x1=x2=0，且y1≠y2時(shí)，直線即為y軸，方程為

;(4)若x1≠x2,且y1=y2=0時(shí)，直線即為x軸，方程為

.x=x1y=y1x=0y=04.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），則，此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.題型一直線的傾斜角【例1】

若，則直線2xcos+3y+1=0

的傾斜角的取值范圍是（）

A.B.C.D.題型分類(lèi)深度剖析思維啟迪

從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的范圍，再確定傾斜角范圍.解析設(shè)直線的傾斜角為,則tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤

cos

＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案

B思維啟迪

從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的范圍，再確定傾斜角范圍.解析設(shè)直線的傾斜角為,則tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤

cos

＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案

B探究提高

（1）求一個(gè)角的范圍，是先求這個(gè)角某一個(gè)函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍.（2）在已知兩個(gè)變量之間的關(guān)系式要求其中一個(gè)變量的范圍，常常是用放縮法消去一個(gè)變量得到另一個(gè)變量的范圍，解決本題時(shí)，可以利用余弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的是消去變量得到。題型二直線的斜率【例2】

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，2），且與以A（-2，-3），B（3，0）為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍.

分別求出PA、PB的斜率，直線l處于直線PA、PB之間，根據(jù)斜率的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合即可求.解

方法一

如圖所示，直線PA的斜率直線PB的斜率思維啟迪當(dāng)直線l繞著點(diǎn)P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的斜率變化范圍是［5，+∞）；當(dāng)直線l繞著點(diǎn)P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時(shí)，它的斜率的變化范圍是∴直線l的斜率的取值范圍是方法二

設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.∵A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-.即直線l的斜率k的取值范圍是

∪［5，+∞）.

方法一運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需根據(jù)正切函數(shù)y=tan的單調(diào)性求k的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時(shí)，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達(dá)到快捷解題的目的.方法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決.探究提高三、解答題10.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍.

解

方法一直線x+my+m=0

恒過(guò)A（0，-1）點(diǎn).

kAP==-2，

又m=0時(shí)直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，∴所求m的范圍是≤m≤.方法二過(guò)P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-1=即

代入x+my+m=0,整理得：

,由已知-1≤≤2,解得：-≤m≤.題型三求直線的方程【例3】

求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-3），且傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.

選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要的條件求出即可.解

（1）方法一設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過(guò)點(diǎn)（0，0）和（3，2），∴l(xiāng)的方程為y=x，即2x-3y=0.思維啟迪若a≠0，則設(shè)l的方程為∵l過(guò)點(diǎn)（3，2），∴∴a=5，∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k≠0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直線l的方程為y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.∵tan=3,∴tan2=又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-3），因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.探究提高

在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距是否為零，若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.專(zhuān)題二距離公式

例2：已知點(diǎn)

P(2，－1)，求：

(1)過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；

(2)過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最長(zhǎng)的直線l的方程并求出最大距離；

(3)是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：(1)過(guò)P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，可見(jiàn)，過(guò)P(2,1)垂直于x軸的直線滿(mǎn)足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.

若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作圖可知過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，直線，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線． 方法二：設(shè)過(guò)P點(diǎn)到原點(diǎn)距離為6的直線的斜率存在且方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.即32k2－4k＋35＝0.因Δ＝16－4×32×35<0，故方程無(wú)解．所以不存在這樣的直線．方法與技巧1.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：k=，該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（x1≠x2）時(shí)，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)x1=x2，y1≠y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.思想方法感悟提高2.求斜率可用k=tan（≠90°），其中為傾斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”.3.求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法.4.重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線上設(shè)一任意點(diǎn)P（x，y），再找出x，y的一次關(guān)系式，例如求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程、求直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程就可用軌跡法來(lái)求.失誤與防范1.求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率.2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量為（-B，A）不可記錯(cuò)，但同時(shí)注意方向向量是不唯一的.4.利用三種直線方程求直線方程時(shí)，要注意這三種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求出垂直于x軸的直線方程.二、例題分析注：判斷兩直線平行時(shí)要檢驗(yàn)是否重合！專(zhuān)題二距離公式

例2：已知點(diǎn)

P(2，－1)，求：

(1)過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；

(2)過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最長(zhǎng)的直線l的方程并求出最大距離；

(3)是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）過(guò)P點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線2x-y-2=0和x+y-3=0之間的線段恰好被點(diǎn)P平分，求這條直線方程

解：(1)過(guò)P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，可見(jiàn)，過(guò)P(2,1)垂直于x軸的直線滿(mǎn)足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.

若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作圖可知過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，直線，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線． 方法二：設(shè)過(guò)P點(diǎn)到原點(diǎn)距離為6的直線的斜率存在且方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.即32k2－4k＋35＝0.因Δ＝16－4×32×35<0，故方程無(wú)解．所以不存在這樣的直線．專(zhuān)題一兩直線的位置關(guān)系

已知直線方程為(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0. (1)求證不論λ取何實(shí)數(shù)值，此直線必過(guò)定點(diǎn)；

(2)過(guò)這定點(diǎn)引一直線，使它夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被這點(diǎn)平分，求這條直線方程.

即點(diǎn)(－3，－3)適合方程2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就是適合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.解：把直線方程整理為2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0.

所以，不論λ取何實(shí)數(shù)值，直線(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0必過(guò)定點(diǎn)(－3，－3)．

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，－3)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A(a,0)，B(0，b)．解得a＝－6，b＝－6.即x＋y＋6＝0.二、