四川省瀘州市2025屆高三數(shù)學(xué)二診考試試題文含解析

PAGE18-四川省瀘州市2025屆高三數(shù)學(xué)二診考試試題文（含解析）一、選擇題1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定義干脆計(jì)算即可.【詳解】，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，留意常見(jiàn)集合的符號(hào)表示，本題屬于基礎(chǔ)題.2.為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，留意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.3.兩名男生、一名女生站成一排，其中兩名男生剛好相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】基本領(lǐng)件總數(shù)n6，其中兩名男生剛好相鄰包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m4，由此能求出其中兩名男生剛好相鄰的概率.【詳解】?jī)擅猩⒁幻境梢慌?，基本領(lǐng)件總數(shù)n6，其中兩名男生剛好相鄰包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m4，∴其中兩名男生剛好相鄰的概率p.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查排列組合、古典概型等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.4.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”【答案】B【解析】【分析】通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由即可得解.【詳解】.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委菽依垣內(nèi)角，下周三丈、高七尺、問(wèn)積及為菽幾何？“其意思為：“現(xiàn)將大豆在屋內(nèi)靠墻堆成半圓錐形，底面半圓的弧長(zhǎng)為3丈，高7尺、問(wèn)這堆大豆的體積和堆放的大豆各為多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的體積約為2.43立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的大豆有（）A.44斛 B.144斛 C.288斛 D.388斛【答案】B【解析】【分析】先求出圓的半徑，再利用圓錐的體積計(jì)算公式即可得出.【詳解】3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10，由題意可得：3×102×7144斛.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積計(jì)算公式，考查考生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，留意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題屬于基礎(chǔ)題.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.3 C.15 D.10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意一步一步進(jìn)行運(yùn)算，直到跳出循環(huán).【詳解】i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10，i＝5，跳出循環(huán).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查了推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x)(A≠0)，若函數(shù)f(x﹣m)(m>0)是偶函數(shù)、則實(shí)數(shù)m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)的奇偶性以及圖象的對(duì)稱性，求得m的最小值.【詳解】函數(shù)f（x）＝Asin（2x）（A≠0），若函數(shù)f（x﹣m）＝Asin（2x﹣2m）（m＞0）是偶函數(shù)，則2m最小為，則實(shí)數(shù)m的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性以及圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.10.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓，因?yàn)辄c(diǎn)為上的隨意一點(diǎn)，故.又，因?yàn)?，故，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，一般地，假如橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為上的隨意一點(diǎn)，則有，我們常用這特性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.11.若一個(gè)正三棱柱的正視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得，該正三棱柱的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為1．設(shè)該正三棱柱的外接球半徑為R，易知該正三棱柱的底面正三角形的外接圓半徑是2sin60°×＝，所以R2＝＋＝，則該球的表面積為4πR2＝．12.過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，?又雙曲線為中心對(duì)稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，留意利用雙曲線的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱）以及雙曲線的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上）13.已知直線l：x+m2y＝0與直線n：x+y+m＝0，若，則m的值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由m2﹣1＝0，解得m，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證即可得出.【詳解】，則m2﹣1＝0，解得m＝±1，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證都滿意l∥n，則m＝±1.故答案為：±1.【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系，考查考生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.若x，y滿意約束條件，則z＝3x+2y的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可.【詳解】由z＝3x+2y得y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線y由圖象可知：當(dāng)直線y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y的截距最小，此時(shí)z也最小，將A（1，1）代入目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y，得z＝5.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法.15.設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y＝2x+a的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則a＝_____.【答案】【解析】【分析】在函數(shù)y＝f（x）的圖象上取點(diǎn)（x，y），則關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱點(diǎn)為（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）圖象與y＝2x+a的圖象關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱，且f（﹣4）＝1；故（﹣1，4）在y＝2x+a的圖象上，故有4＝2﹣1+a?a＝3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式，考查圖象的對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題.16.的角所對(duì)的邊分別為，且，，若，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿意，所以即.因?yàn)?，解得或（舍?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，留意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿意.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列{bn}中，b1＝3a1，b2＝2，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an的關(guān)系式求出相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，推斷出數(shù)列{an}的類型，再求出通項(xiàng)公式；（2）先由題設(shè)條件求出bn，再結(jié)合（1）中的an求出an+bn，最終求出Tn.【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)有2S1+a1＝1＝3a1，解得.又∵2Sn+an＝1（n∈N*）①，∴2Sn+1+an+1＝1②.由②﹣①可得：2（Sn+1﹣Sn）+an+1﹣an＝0＝2an+1+an+1﹣an，即an+1，所以數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴an＝（）n.（2）∵等差數(shù)列{bn}中，b1＝3a1＝1，b2＝2，∴bn＝n，an+bn＝（）n+n.∴Tn＝[]+（1+2+3+…n）.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式和數(shù)列求和中的分組求和，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.18.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC＝2，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：BC⊥平面A1EF；（2）若∠B1EC1＝60°，求四面體A1B1EF的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得：A1F⊥AB.利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得：A1F⊥BC.利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC.進(jìn)而證明結(jié)論.（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系可得：EC1，A1E.由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2.可得△A1EF的面積S.由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面體A1B1EF的體積.【詳解】（1）∵AB＝AA1＝A1B，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1F⊥BC.∵AB＝4，BC＝2，AC＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（2）∵∠B1EC1＝60°，∴EC1，∴A1E＝2.由（1）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2.∴△A1EF的面積S4.由（1）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面體A1B1EF的體積S?B1C14×2.【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、等邊三角形與直角三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.某公司為抓住經(jīng)濟(jì)發(fā)展的契機(jī)，調(diào)查了解了近幾年廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干銷售地區(qū)分別投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0起先計(jì)數(shù)的.（1）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；并估計(jì)該公司分別投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)地區(qū)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；（2）該公司依據(jù)類似的探討方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到如表：廣告投入x（單位：萬(wàn)元）12345銷售收益y（單位：萬(wàn)元）2327由表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（1）的結(jié)果填入空白欄，依據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回來(lái)真線方程，并估計(jì)該公司下一年投入廣告費(fèi)多少萬(wàn)元時(shí)，可使得銷售收益達(dá)到8萬(wàn)元？參考公式：最小二乘法估計(jì)分別為，.【答案】（1）寬度為：2，平均值：5（2）空白欄中填5，，投入萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各個(gè)小長(zhǎng)方形面積總和為1，建立方程，即可求得結(jié)論.利用組中值，求出對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值；（2）利用公式求出即可計(jì)算y關(guān)于x的回來(lái)方程.【詳解】（1）設(shè)長(zhǎng)方形的寬度為m，由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2.小組依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中點(diǎn)分別為1，3，5，7，9.11對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04.故可估計(jì)平均值為1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5.（2）空白欄中填5.由題意可知，3，3.8，69，55，所以1.2，3.8﹣1.2×3＝0.2.所以關(guān)于x的回來(lái)方程為取，得到.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、線性回來(lái)方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出這組變量是線性相關(guān)的，進(jìn)而正確運(yùn)算求出線性回來(lái)方程的系數(shù)，屬于中檔題.20.拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若PF⊥x軸，且△POF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若C上的兩動(dòng)點(diǎn)A，B（A，B在x軸異側(cè)）滿意，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先解出P點(diǎn)坐標(biāo)，再表示△POF面積為1，解得p，進(jìn)而得出拋物線方程.（2）設(shè)直線AB方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，消元x，可得含y的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得y1+y2，y1y2，|AB|①，因?yàn)閨FA|+|FB|＝|AB|+2，得x1+x2＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②由①②得2m2+2n，依據(jù)?32，所以y1y2＝32，n2﹣8n﹣128＝0，進(jìn)而得出答案.【詳解】（1）由題知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，所以P（，﹣p）或（，p），△POF面積為1，解得p＝2，所以拋物線C方程為y2＝4x，S△OFP.（2）設(shè)直線AB方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立拋物線方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，|AB|①因?yàn)閨FA|+|FB|＝|AB|+2，所以x1+1+x2+1＝|AB|+2，即x1+x2＝|AB|，my1+n+my2+n＝|AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②由①②得2m2+2n，化簡(jiǎn)得m2＝n2﹣2n，因?yàn)?32，所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，（y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n）﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0，解得n＝﹣8（舍）或16，所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程，向量在圓錐曲線的應(yīng)用，直線與拋物線相交，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，f(x)<1；（2）求證：當(dāng)m＞2時(shí)，對(duì)隨意x0∈(0,π]，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）變換得到，設(shè)，求導(dǎo)得到最值得到答案.（2）只須要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后探討g（x）的單調(diào)性是先增后減或先減后增，同時(shí)說(shuō)明每一段上的函數(shù)值范圍都包含f（x）的值域即可.【詳解】（1），，即，設(shè)，則，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即，得證.（2）f（π）＝0，當(dāng)時(shí)，，故f（x）的值域?yàn)閇0，1）.又因?yàn)間′（x），x∈（0，π]，m＞2.令∈（0，1）.明顯y＝mx﹣2是增函數(shù).∴時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；，g′（x）＞0，g（x）遞增.此時(shí)g（x）min，（m＞2）.將上式化簡(jiǎn)并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.∵，∴r（m）在（2，+∞）上遞減.所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.明顯當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞，即當(dāng)時(shí)，g（x）遞減，且函數(shù)值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），∵，∴，即當(dāng)x時(shí)，g（x）遞增，且函數(shù)值取值集合包含f（x）的值域[0，1）.所以當(dāng)m＞2時(shí)，對(duì)隨意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最