2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一年級(jí)上冊冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、單選題

1.已知集合8={x|y=ln(x+l)},則/n^=()

A.{x|-l<x<31B.{x|3<x}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<3}

【答案】A

【分析】化簡集合45,然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可.

［詳解］A=lx|~~<0：={N(工一3)(x+2)<c!={j—2<x<},8==ln(x+l)}=；

/c3={x|-1<x<3}.

故選：A.

2.下列選項(xiàng)中滿足最小正周期為萬，且在(0,()上單調(diào)遞增的函數(shù)為()

］］(］xcos2x/］\sin2x

A.y=cos—xB.y=sin—xC.j；=l—ID..y=1—I

【答案】c

【分析】利用周期排除A,B,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性在C,D中可得到正確答案.

2TT24

【詳解】對選項(xiàng)A,B其周期為7=9二7=4",選項(xiàng)c,口其周期為7=也==="，故排除

—co2

選項(xiàng)A,B；

對于C：cos2x在］0,?］上為單調(diào)遞減，則>在(0,￡|上為單調(diào)遞增，故C正確；

對于D：sin2x在］0,7］上為單調(diào)遞增，則了=［；)在/，千］上為單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選:C

3.“a>1”是“函數(shù)/(x)=ax2-2x(aeR)在(1,+co)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先計(jì)算函數(shù)對稱軸，結(jié)合函數(shù)開口方向分析可得該函數(shù)的遞增區(qū)間，根據(jù)充分必要性辨析可

得答案.

【詳解】/■(力="2—2》(。40)對稱為軸丫=：,

若又/(X)開口向上，在X上單調(diào)遞增，

又:e(O,l),故/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增成立；

若函數(shù)/(X)=Q/-2x(aER)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

〃=OJ(x)=-2x單調(diào)遞減，不成立，

4＞0

〃。0,貝I」＜1，得Q21,

—W1

〃21不能推出a＞\,

故七＞1”是“函數(shù)/⑺="2—2x(“￡R)在(1,+8)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

4.已知幕函數(shù)＞=(/-叱I)，(°＞1且aeZ)過點(diǎn)(。,8),則函數(shù)＞=［印”的定義域?yàn)?)

'，log"(尤+3)

A.［-3,-2)u(-2,+oo)B.(-3,-2)U(-2,+oo)

C.(-2,+oo)D.(-3,+co)

【答案】B

I---r

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義求出。，根據(jù)塞函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)可求6,再根據(jù)函數(shù)了=1:，、有意義列

log2(x+3)

式可求出結(jié)果.

2

【詳解】根據(jù)幕函數(shù)的定義可知，a-a-l=l，解得。=2或a=T(舍)，

因?yàn)槟缓瘮?shù)y=/過點(diǎn)(2,8),所以于=8,得6=3,

■\/x+3fx+3＞0

由N二i公有意義,得?得》＞-3且

log2(x+3)［Iog2(x+3)w0

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?-3,-2)。(-2,+s).

故選：B

5.已知角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過dsin?,cos『］,則

*-。］=()

A.--B.—C.D

22i-4

【答案】D

【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sin。=—再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.

（4〃*4%"

【詳解】已知角。終邊經(jīng)過/sin?-,cos與-

6.2022年11月15日，聯(lián)合國宣布，世界人口達(dá)到80億，在過去的10年，人口的年平均增長率為

1.3%,若世界人口繼續(xù)按照年平均增長率為1.4%增長，則世界人口達(dá)到90億至少需要（）年（參

考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477,lg1.014=0.00604）

A.8.3B.8.5C.8.7D.8.9

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出不等式，通過取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)世界人口達(dá)到90億至少需要x年，由題意，得

99

80(l+1.4%)x>90=>1.014x^-^lgl.0141>lg-^xlgl.014>lg9-lg8=>xlgl.014>lg32-lg23

88

2122x0.477-3x0.301

^>xlgl.014>21g3-31g2^x>^-^p84,

0.00604

因此世界人口達(dá)到90億至少需要8.5年,

故選：B

A.B.

【答案】A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再通過取特殊點(diǎn)確定正確選項(xiàng).

6'+尸

【詳解】t（x）=有意義可得-4歸卜0,所以|加0且國",

4x2-4|x|

e'+e-

所以x4一1且x/0且x,所以/'（尤）=的定義域?yàn)椋ㄒ粏?1）5-1,0）50,1）51,+8）,

4x2-4|x|

e+ee+e

又“T）=4（T）2_4|T=4/_4國力所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于了軸對稱，B,D

錯(cuò)誤，

又/4]='Fl「一卜+/）一2八一2,?錯(cuò)誤，

⑴2

選項(xiàng)A符合函數(shù)/（X）的解析式，

故選：A.

8.已知x>>〉0,且一一歹2=1,貝|2公+3/一4中的最小值為（）

,3179

A.—B.1C.—D.—

4168

【答案】B

【分析】利用換元法表示出乙/代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.

【詳解】因?yàn)闊o2-/=1,所以（x-y）（x+y）=l,令加=x-y,〃=x+y,則加〃=1且

n+m

x=-------

7

,代入2—+3/-4孫中得:

n-m

y=-

2一+3/一用=2（亨;+3］亨］*_4x歹x亨

9m2+n2-2mn_9m2+n2-2_9m2+n21

4―4—42

2,9療13mn-l3x1-1

>-------------------=----------=---------=1

—4222

當(dāng)9m2=n2即冽=,n=時(shí)取"=",

3

所以最小值為1.

故選：B

二、多選題

9.下列不等式錯(cuò)誤的是（）

A.若Q<Z?<0,貝！J—-—>—B.若〃<6<0,則

a—baab

C.若a>6>0,則2<1D.若d>6>0,貝！

a

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一分析給定的四個(gè)不等式的正誤，可得答案.

【詳解】對于A中的不等式，因?yàn)椤?lt;6<0,

11b八

所以一T—=—一云<°，故選項(xiàng)A中的不等式不成立；

a-baa（^a-b）

對于B中的不等式，因?yàn)椤?lt;6<0,

所以2一?=仁《<0,故選項(xiàng)B中的不等式不成立；

abab

對于C中的不等式，因?yàn)閍>A>0,

所以化簡得出2<1,正確；

a

對于D中的不等式，因?yàn)閍>b>0,

所以附2>be?在c=0的情況下不成立.

故選：ABD

10.以下命題正確的是（）

A.函數(shù)y=ln（J-x2+x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,￡|

B.函數(shù)y=2cos2x+—―；的最小值為2a-2

COSX+1

C.A為三角形內(nèi)角，貝45?！笔恰皊insin45?！钡某湟獥l件

（y

D.設(shè)。是第一象限，則&為第一或第三象限角

2

【答案】AD

【分析】對選項(xiàng)A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A正確，對選項(xiàng)B,利用基本不等式的性質(zhì)即可

Of7T

判斷B錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C,利用特值法即可判斷C錯(cuò)誤，對選項(xiàng)D,根據(jù)題意得到上萬<(<￡+上萬，keZ,

即可判斷D正確.

【詳解】對選項(xiàng)A,y=ln^-x2+x^,因?yàn)橐?+》>0,所以0<x<l,

令f=J-f+x，所以>=lnf,

因?yàn)閒為增函數(shù)，,為減函數(shù)，

所以y=ln(J--+x)的增區(qū)間為(o,￡|,故A正確.

對*項(xiàng)B,jv—2cos2xH---------=2(cos?%+1)H-----------222*\/2—2,

~COSX+1''cosx+1

當(dāng)且僅當(dāng)2"x+l)=E，等號(hào)成立.

因?yàn)?(COS2X+1)=———，COSX無解，故等號(hào)取不到,

'7cosx+1

即函數(shù)y=2cos2^+—--最小值不是2行-2，故B錯(cuò)誤.

COSx+1

對選項(xiàng)C,若Z=135。，貝（Jsin/=sin45。,

所以若A為三角形內(nèi)角，則/>45o*sinZ>sin45。，不滿足充要條件，故C錯(cuò)誤.

對選項(xiàng)D,若a是第一象限，則2左乃<a<]+2左乃，ksZ,

OtTTCi

所以上萬(丁+上萬，keZ,即彳為第一或第三象限角，故D正確.

故選：AD

11.如圖所示，角xe(0,|■j的終邊與單位圓。交于點(diǎn)尸，A10),軸，NQ_Lx軸，W在x軸

上，。在角x的終邊上.由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義可知，sinx,tanx的值分別等于線段的

長,且0Ap<S扇形ojp<S^OAQ,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=sinx-x有3個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)y=tanx_%在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù))=tanx+sin%+x在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)歹=tanx+sinx-1tanx-內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn);

【答案】BCD

【分析】利用當(dāng)xe（o￡）時(shí)，sin尤<x<tanx,可得各個(gè)函數(shù)在（0,9上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的

圖象的對稱性得到函數(shù)在（一宗0）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又各個(gè)函數(shù)都有零點(diǎn)x=0,由此可判斷ACD；再結(jié)

合函數(shù)y=1211》和了=龍的圖象，可判斷B.

2

【詳解】由已知可知，當(dāng)xe（og）時(shí)，S］（）AP=-OA-MP=^mx,S^OAP=-OAx=^x,

§042=5,。4,AQ=5tanx,

JI

所以當(dāng)x￡（0,5）時(shí)，sinx<x<tanx,

jr

對于A,當(dāng)時(shí)，sinx<l,x>l,所以y=sinx-x<0,此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；

JT

當(dāng)0<x</時(shí)，因?yàn)閟inxcx,所以y=sinx-x<0,此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；

當(dāng)x=0時(shí)，y=sinx-x=O,此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為x=0；

因?yàn)閥=sinx-x為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，

綜上所述：函數(shù)N=sinx-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；

對于B,當(dāng)0cx<］時(shí)，因?yàn)閠anx>x,所以y=tanx-x>0,

JT

又；；=tanx-x為奇函數(shù)，所以當(dāng)一一<x<0時(shí)，y=tanx-x<0,

2

當(dāng)x=0時(shí)，y=tanx-x=0,

7171

所以函數(shù)了=tanx-x在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)無=0;

作出函數(shù)^=tanx和了=龍的圖象，如圖:

jrSir

由圖可知，當(dāng)G<%<二時(shí)，函數(shù)》=tanx和y=x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

22

函數(shù)V=tanx-x在■考1上只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)>=tanx-x在［內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

JI

對于C,當(dāng)工￡(0,萬)時(shí)，tanx>sinx>x>0,y=tanx+sinx+x>0,

又函數(shù)>=1@11工+5足工+工為奇函數(shù)，所以當(dāng)1—3,()］時(shí)，y=tanx+sinx+x<0,

當(dāng)x=0時(shí)，j/=tanx+sinx+x=O,

(兀兀、

所以函數(shù)了=12!1工+5M苫+%在［-萬,］］內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn)x=0,故C正確；

JT.

對于D,當(dāng)、￡(0,萬)時(shí)，tanx-sinx>0,所以

y=tanx+sinx—|tanx-sinx\=tanx+sinx-tanx+sinx=2sinx>0,

又由于V=tanx—sinx為奇函數(shù)，所以當(dāng)x￡(-|?,())時(shí)，tanx-sinx<0,

所以>=tanx+sinx—|tanx-sinx\=tanx+sinx+tanx-sin=2tanx<0，

當(dāng)x=0時(shí)，y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=0,

^LU?^J;=tanx+sinx-|tanx-sinx|^^-|-,|-^內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).

故選：BCD

12.已知正實(shí)數(shù)x,1滿足111廠一產(chǎn)+5=_2,則使方程當(dāng)斗=加有解的實(shí)數(shù)加可以為(

y2+lx*+V

,53

A.-B.2C.—D.1

22

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，化簡為ln[(2-x)2+l]+(2-x)=lnO2+l)+y,設(shè)/(x)=ln(/+l)+x,且x>0,根

據(jù)單調(diào)性，得到了⑺在空。時(shí)單調(diào)遞增，故/'(2-x)=〃y),得到--x,代入三弓=加，得到

%=-(xT)j+5,13

^r=(x-l)2,v2>x>0,.」>■(),得到機(jī)=二+,再根據(jù)單調(diào)性，可得到加

2(x—1)+27n

的范圍.

【詳解】x>0,y>0,?.?ln[(x-2)2+l]-ln(/+l)=x+y-2,ln[(^-2)2+1]-(^-2)=ln(y2+1)+y,

.-.ln[(2-x)2+l]+(2-x)=lnCv2+l)+y

設(shè)/(x)=ln(/+l)+x,x>0,明顯地，/(x)單調(diào)遞增

/./(2-x)：.y=2-x,2-x>0,/.2>x>0,

xy+4xC2—x)+4—x+2x+4—(x^—2x+l)+5—(x—1)^+5

m----------=-------------------------------------------------------------------------

x2+y2Y+Q-X)22r2-4x+42(/-2尤+1)+22(x-l)2+2

令/=(無一I)2,2>x>0,1>?>0,；.m=f+5=」+二—,設(shè)g?)=__L+^_,貝l]g(7)=〃？有解，

2/+22t+\2t+1

等價(jià)于y=g(Z)與y=加有交點(diǎn),

明顯地，g⑺單調(diào)遞減，且g(0)2g?)>g⑴，故(2g⑺>1,

故選：ABC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

通過化簡得到ln[(2-xY+l]+(2-x)=ln(y+l)+H設(shè)/(x)=ln(/+1)+x,利用/⑴的單調(diào)性，得到

_(1)2+5進(jìn)而利用尸機(jī)與昨就詈|有交點(diǎn)“

>與x的關(guān)系，進(jìn)而化簡得到加=得到m的取

2(1)2+2

值范圍.

三、填空題

13.命題“VxeR,/>0"的否定是.

【答案J3x6R,X2<0

【詳解】全稱命題的否可得，命題的否定為Ms?！?

答案：BxeR,x2<0.

14.計(jì)算“1-亞了+log3.

【答案】收一;

【分析】對數(shù)、根式與指數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可.

【詳解】原式=卜四+抽,=a-1+廄》

故答案為：/

rtana------

15.已知sin2c=包，則一7——"的值為______.

3tanf<7+^-j

【答案】-1##-0.2

【分析】切化弦展開后化簡代入計(jì)算即可.

【詳解】???sin2a="

3

冗冗冗1vV31?、

tan(a-----)sin(6Z—)cos(aH--)(—-sma-2cosc)qcosa--smi)

6_66,2

冗冗冗1..fi

,V3?1、

tan(a+—)cos?！?sin(aH-)(——COS6Z+5sme正萬sm<z+—cosa)

6662

,V31.cV31V3_Vj

sinacos戊----—sm2a------—X----

424,23一彳1

.61.,V31百65

sm。COS6ZH------—sin2ad-----一x--H-------

424234

故答案為：.

2

x+mx,x<0

16.設(shè)函數(shù)/(x)=，若函數(shù)的最小值為則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

|2x+m|-|x+l|,x>0

【答案】卜1+右｝“一'0)

【分析】對加分大于0,小于0,等于0,

同時(shí)利用函數(shù)圖像及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析求解即可.

【詳解】①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，

2

xx<0八,、X2,x<0

x>02x-(x+l),x>0

xr<0

即心)=1x；°,如圖所示:

由圖知此時(shí)函數(shù)/（%）無最值，所以加。0,

②當(dāng)加>0時(shí),

“、x2+mx,x<0(、x+mx,x<Q

|2x+m|-|x+l|,x>0'(2x+m)-(x+l),

x>0

x2+mx,x<0

即/（尤）=

x+m-1,x>0

當(dāng)xWO時(shí)，f（x）=x2+mx,對稱軸為工=一萬<0,

所以「（X）在,巴單調(diào)遞減，在\］，0）單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=x+加-1在（0,+“）上單調(diào)遞增,

所以/（%）>/（（））="—1,

由函數(shù)/（X）的最小值為

止匕時(shí)（加一1）_（羨_1］=￡>0,

所以函數(shù)最小值為-尤，

4

2

所以一"一='一1,BPm2+2m-4=0,

42

解得：m=-1+V5^m=-l-Vs（舍去），

③當(dāng)加<0時(shí)，由時(shí)，

f（x）=x2+mx,此時(shí)/（x）在（-叫0］上單調(diào)遞減,

所以最小值為/（0）=0>5-1,

由x>0時(shí),

_1八m

—3x—及/—l,O<x<----

/(x)=|2x+m|+=<2

,m

X+772—I,X>----

2

此時(shí)函數(shù)在[o,-^J單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

m〔m、

所以/(xu=/---------1-m—I=-----1

22

所以當(dāng)〃，<°時(shí),函數(shù)最小值為葭-1滿足題意,

綜上所述，當(dāng)函數(shù)/(“最小值為￡-1時(shí)，

實(shí)數(shù)加的取值范圍為：卜1+右｝U(-8,0),

故答案為：|-l+V5|U(-℃,0),

四、解答題

17.已知P：x?-ax+4>0在R上恒成立；0：存在8使得a+24sin。；廠：存在％eR,使得3"+a=0.

(1)若〃且9是真命題，求實(shí)數(shù)。的范圍；

(2)若?；颉甘钦婷}，。且『是假命題，求實(shí)數(shù)。的范圍.

【答案】⑴ae(-4,-1]

⑵ae(-8,-4]u[0,4)

【分析】(1)〃且0是真命題等價(jià)于？、0均是是真命題，將對應(yīng)的。的范圍分別計(jì)算取交集即可；

(2"或「是真命題，〃且『是假命題等價(jià)于？、，?一真一假，故分若。真「假，或若？假―真兩類考慮，

最后取并集.

【詳解】(1)若。為真，則一一°龍+4>0在R上恒成立等價(jià)于A=/-16<0,

得—4<。<4；

若q為真,則存在。使得a+24sin。等價(jià)于a+2W(sin。)1mx=1,

得aW-1；

夕且夕是真命題等價(jià)于o、9均是是真命題，故-4<a4-1,

故ae(-4,-1]；

(2)若一為真，等價(jià)于3』+a=0有解，則a<0,

若，為真假,則。20,

若？為真，則-4<”4,

若P為假，則a4-4或a24；

?；颉甘钦婷}，。且『是假命題等價(jià)于。、，?一真一假，

若。真「假，則0Va<4

若。假「真，則一4,

綜上：ae(-00,-4]u[0,4)

18.已知函數(shù)f(x)=x2+(l-2a)x-2a.

⑴求關(guān)于x的不等式〃x)>0的解集；

⑵若"1)=6,求函數(shù)>=〃”在x?l,+a>)上的最小值.

x-1

【答案】(1)當(dāng)。=-;時(shí)，不等式的解集為,卜片-1｝;

當(dāng)a>-g時(shí)，不等式的解集為卜卜<-1或x>2a｝；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或x<2a｝.

⑵2指+5.

【分析】(1)利用一元二次不等式的解法及對參數(shù)。分類討論即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.

【詳解】(1)由/卜)>0,得x?+(1-2a)x-2a>0,即(x-2a)(x+l)>0,

當(dāng)。=-g時(shí)，不等式"+1)2>0,解得xw-1,不等式的解集為卜卜丁-1｝；

當(dāng)-1<2a即a>時(shí)，不等式的解集為｛x\x<-1或無>2a｝；

當(dāng)-1>2a即a<時(shí)，不等式的解集為｛x\x>-1或x<2a｝；

綜上所述，當(dāng)°=-;時(shí)，不等式的解集為卜卜力-1｝;

當(dāng)“〉一；時(shí)，不等式的解集為卜卜<-1或x>2a｝；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為門卜>-1或x<2a｝.

(2)由/⑴=6,得/⑴=F+0_2a)xl-2a=6,解得q=T,

所以/(x)=/+3x+2.因?yàn)閤>l,所以2>0,

x-1

x2+3%+2164-5>2k-1)—H5=265,

-------------=%-1+-----

X—IX—If卜-1)

當(dāng)且僅當(dāng)=即x=#+l時(shí)，等號(hào)成立.

x-1

所以當(dāng)x=&+l時(shí)，函數(shù)y=在(1,+8)上的最小值為2n+5.

x-1

V3tanx

1/.2,2

19.已知函數(shù)/(x)=,H■—sinx-cos

tan2x+12'

兀

(1)化簡/(X),并求解了

12

⑵已知銳角三角形內(nèi)角A滿足/(4)=；,求cos2/的值.

【答案】⑴/(x)=sin(2x-tj,百

~T

⑵

6

【分析】(1)將函數(shù)中的切化弦，再分子分母同時(shí)乘以cos'x,利用二倍角公式及輔助角公式即可化簡,

化簡后將Aq代入解析式即可求得結(jié)果.

(2)將A代入解析式，再由已知求出2/-菅的取值范圍，即可求出呵24-總71的值，再利用湊角及

6

兩角和差公式代入數(shù)值即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴小)=*

2cosx22

x-cosx)=---?+—(sinx-cosX

7sin2x12'

^+l

COSX

wsinX2

73----xcosx1

--------C-O-S-X.r——1卻Isi黯nx"-cosX

sinx---12-----------21

---7—xcos2x+lxcosX

COSX

22

百sinxcosx1cosx-sinx)=^71

sin2x--cos2x-sin2x--

sin2x+cos2x27226

所以/(%)=sin12%一？

所以/sin

(2)因?yàn)?(4)=§,所以/(/)=sin|24—-71]_

63

n71)11口八人兀

又因?yàn)?(Z)=sin24-片卜丁萬且。斌/<5,

6

所以"洛,則2"告，

因?yàn)閟i“2"H，所以以“小/一$小/一5=］/=乎

cos2Z—cos2Z—H—

I66

2V2V311276-1

----X------X—=-------

32326

所以cos2A=--.

6

20.已知函數(shù)/（x）=log3（9'+l）-x.

⑴證明：函數(shù)g（x）=3/㈤在（0,+。）上為增函數(shù);

⑵求使/（2cos2。-3）-/（2+sing<0成立的。的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）［-2+2E,］+2也+2杭，,+2阮］左eZ

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則將函數(shù)/⑴化簡之后得出g（x）的表達(dá)式，再利用單調(diào)性的定義即可得

出證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)〃x）在（0,+8）上為增函數(shù)，再利用函數(shù)奇

偶性解帶絕對值不等式即可得出e的取值范圍.

【詳解】（1）由函數(shù)/3=1嗚（爐+1）-》可得/（X）=log3（9，+l）-log33'=log3［鋁］

所以g（x）=3'3=t^=3，+：

取任意AZe（0,+<?）,且無］</，

貝配）—+3-3-=3—/11=（3=3*）［1一門

易知網(wǎng)+%>0,所以而3''-3'2<0；

所以g（xJ_g（X2）<0，即g（xj<g（x2）

所以函數(shù)g（無）=3小）在（0,+“）上為增函數(shù).

（2）由題意可知，函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閤eR

由=log31丁J=logs（3、+3T）可得f（-X）=log3（3-^+3工）=/（x）,

所以函數(shù)/（x）為偶函數(shù)；

根據(jù)（1）可知，g（x）=3"+g=3x+3T在（0,+句上為增函數(shù)；

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，/。）=1083（3'+37）在（0,+句上為單調(diào)遞增；

又函數(shù)”X）為偶函數(shù)，所以〃x）在（-8,0）上為單調(diào)遞減，

由/（2cos26-3）-f（2+sin6?）<0可得/Qcos?6-3）<〃2+sin。）

只需滿足|2cos2e-3卜|2+sinM即可，

易知2cos2e-3<0,2+sin6>0,所以3-2cos?6?<2+sin）9

BP2sin20-sin0-l<0，解得一二<sin9<l；

根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知6€1巳+2標(biāo)，5+2后兀|q|女〃兀，春天1Z

21.近期，寧波市多家醫(yī)院發(fā)熱門診日接診量顯著上升，為了應(yīng)對即將到來的新冠病毒就診高峰，某

醫(yī)院計(jì)劃對原有的發(fā)熱門診進(jìn)行改造，如圖所示，原發(fā)熱門診是區(qū)域ODBC（陰影部分），以及可利用

部分為區(qū)域。4。，其中/0C3=/C0/=',OC=30G米，3c=30米，區(qū)域。C為三角形，區(qū)域0/3

TT

為以。/為半徑的扇形，且/ZOD=—.

（1）為保證發(fā)熱門診與普通診室的隔離，需在區(qū)域O/8C外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長度；

（2）在可利用區(qū)域04。中，設(shè)置一塊矩形HG7F作為發(fā)熱門診的補(bǔ)充門診，求補(bǔ)充門診面積最大值.

【答案】⑴90+306+2QT（米）；

（2）3600-1800^（平方米）.

【分析】（1）在直角三角形OBC中由已知條件可求出/3OC和03,則可求得N3Q4,從而可求出罰

的長，進(jìn)而可求得結(jié)果;

(2)連接OF,設(shè)NFCU=00co，則結(jié)合已知條件表示出G/,G〃，然后表示出矩形HG7F的面

積，化簡變形后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值.

【詳解】（1）因?yàn)?。C=30G，8c=30,NOCB=+,

CCHIfBC30V3

以tanNBOC=-產(chǎn)=—OA=OB=y/0C2+BC2=J2700+900=60，

OC30M3

TT

因?yàn)?80C為銳角，所以N80C=：,

6

TTTT

因?yàn)镹CO/=-,所以/以必=一，

23

TT

所以標(biāo)的長為60=20%,

所以隔離帶的總長度為30G+30+60+20;T=90+30E+20/（米）;

（2）連接。尸，設(shè)=

因?yàn)镺尸=60,所以打=60sin6=G〃，O7=60cos<9,

7r”GH605Asin0

因?yàn)橐?所以+兀

6tan—

6

所以G/=60cos<9-60x/3sin。,

所以S=(60cose-6()6sin60sin0

=3600sin0cos0-360(x/3sir?0

=1800[sin26-G(1-cos20)]

=18002sin(26>+yJ-V3,

jr7U24

因?yàn)?0+—E

所以S41800（2-V3）=3600-18006，當(dāng)。=展時(shí)取到最大值,

所以補(bǔ)充門診面積最大值為3600-18006（平方米）.

22.已知函數(shù)/(X)=(x+sin26+3)~+x+asin]e+￡

⑴當(dāng)。=1時(shí)，/(尤)最小值為9求實(shí)數(shù)。的值；

(2)對任意實(shí)數(shù)x與任意9e0,J1T,/(尤)》]1恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)。=3或〃=5

【分析】⑴求出sin26,sin,+S代入，變?yōu)橹缓袇?shù)。的二次函數(shù)，化簡為頂點(diǎn)式函數(shù)，頂點(diǎn)縱

坐標(biāo)即為最小值.

(2)把函數(shù)可以看成點(diǎn)[sin[+￡],(sin2e+3)1(-x,-x^4即直線一到拋物線”3+2

的最小距離的平方為g.

【詳解】(1)當(dāng)0=百時(shí)，sin20=sin-=l,sinf0+-^=sin-=l,所以

42I4J2

f(x)=(x+sin26+3)2+x+asin(6+=8+4)+g+aj=2x<2?+41+aK16

=21x+與:-￥[+4+16=2、二7J("丁W+16>^+16勺匕小)最小值為

BPa2+16-^a+^.-.(a-3)(a-5)=0;."二或a=5

(2)/(x)=(x+sin23+3)2+=[(sin23+31-打+“sin->所以可以

x=asin0+—

看成點(diǎn)aSin6+：,(sin28+3)與(-x,-x)的距離，令，I4,

y=sin26+3

i-cos12e+T

2

又因?yàn)?lt;一=a2sin218+~J—/-=-|-Q+sin26),

2

y=sin20+3

所以點(diǎn)asin'+*sin28+3)卜二次函數(shù)y=》+2的圖像上

點(diǎn)(f-x)在直線>=x上，直線y=x到拋物線y=與f+2的最小距離的平方為y

11

畫圖為：所以|4班9=|4耳『9=/.k司=k向卜kP4卜1

272

7

所以直線力4：歹=%+1,即直線441與二次函數(shù)>==一+2只有一個(gè)交點(diǎn),

a

即方程7=一+2=工+1=927+1=0只有一個(gè)解，

aa

「.4(2,3)

1-cos(26+/

l+sin262

即222a2

x=asin0+—/.x=a-二a?-----------G—TCL

I4222

所以了,4；.ae[2,2@o卜2"一2]

a2>4一一一

【點(diǎn)睛】一般把("L〃)2+(pT『看成點(diǎn)(冽,p)至的距離，再求(5P)與(凡。在那兩個(gè)函數(shù)上,

就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)上點(diǎn)的距離的最值問題.

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

1.卜”化為弧度是（）

A.1萬B.-zC.-zD.-z

33I6

2.已知角一的終邊經(jīng)過點(diǎn)八小“，且……/，則…（）

5

A.8B.SC.4D.

3.已知-e"?一?”,--0,則下列不等關(guān)系中必定成立的是（）

A.、iu〃<U,ti）?0>UB.Zu。>U,cu?W<0

C.>in0>0，cuts0>0D.IJ,c\a0<U

4.要得到函數(shù)”M.,l.r/的圖象，只需將函數(shù)u、iuL的圖象（）

A.向左平行移動(dòng):B.向右平行移動(dòng):C.向左平行移動(dòng):D.向右平行移動(dòng):

5.在區(qū)間“二二上滿足y一:的x的取值范圍是（）

T2TJT5x5x

A.o-B.c.D.

tGGT6,7T

6.在中，TF'.iTg-IK',ih則cl的最小值為（)

A.B.C.?D.

7.已知1,?為銳角，且I>1,2^iii'”，則（）

A.1B.C.△丑D.

1I|3

8.已知函數(shù)fi；?-JJ八…，若函數(shù)1—恰有2個(gè)零點(diǎn).，一，C,且一，貝I」.的

八

取值范圍是（）

A.B.'⑴C.11D.1八|

//

9.下列函數(shù)中，周期為1的函數(shù)是（）

A.y=B.y=xin（27

C.1/=lan（2?r.r）D.y=bin|2jrxI2nx）

10.對于任意向量了，了，下列命題中不正確的是（）

A.若了,丁則京與丁中至少有一個(gè)為“

B.向量1與向量/：夾角的范圍是"[

c.若”」了，則#r.1

D.

11.下列各式中值為1的是（）

Atan124-tan：J3「

A