大學(xué)數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料（理工類）

數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)資料(理工)

第一講函數(shù)與極限

(一)內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示

1.不等式與有限和公式：

1.對(duì)〃個(gè)正數(shù)%,4,…,勺,有幾…%

*=i*=i

式中的三項(xiàng)依次稱為這些正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù).

2.對(duì)〃個(gè)實(shí)數(shù)…，氏，有W十

*=|*=1

3.對(duì)2〃個(gè)實(shí)數(shù)4,4，…，?！ǎ┮?，…，"，有(X。也><(E憂)W憂),

*=lhl4=1

4.若0W〃>-1,且整數(shù)》1,則有(l+a)n>\+na.

5.若實(shí)數(shù)a[，/，…M〃均大于T且同號(hào)，則(1+6)(1+。2>一(1+%)21+

k=\

6.對(duì)任意實(shí)數(shù)x有卜inX&W，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)戶0;若0v兇v片,貝[cos,<件印1.

7.0工工>一1且〃>1時(shí),(1+幻”>1+〃K.8.[…嗡1VLi，9〃>1時(shí)，m<(皇)".

10.￡(2左一1)=/]]$%2=〃<〃戈2"叫

mm*?i

13s3-1)214名：2攵一1)3=〃2(2〃2_])

Jt=l

2.函數(shù)，復(fù)合函數(shù)與變量替換.

例1.1.設(shè)函數(shù)段)=/,J[(p(x)]=lr,且(p(x)N0,求(p(x).(1990北京理工大學(xué)競(jìng)賽)

解.因1-4=e/(6,ln(l-x)=/(萬(wàn),于是奴x)=Jln(l-x),其定義域?yàn)?-8,0].

3.簡(jiǎn)單函數(shù)方程的求解.一般通過(guò)變量替換，從方程得到關(guān)于九1)、力雙燈]等的方程組，然后解出<x).

例1.2.求滿足方程加+y)?次r-y)=貨x)cosy的函數(shù)?x),其中40)=。與大江/2)?為己知常數(shù).

解.以。,月=(0,“),3+冗/2,冗/2),(g/2,〃+兀/2)代入原方程,可得含1/(〃)、人-〃)、人〃+兀)的方程組

f(?)+/(一〃)=2。COS”

?/("+乃)+/(〃)=0,然后解出《")=。85〃+戾111〃，即有九1)=。85%+戾111彳.

/(?+4)+f(-u)=-2bsinu

4.數(shù)列與函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則：(1)夾擠準(zhǔn)則.(2)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則.(3)柯西收斂準(zhǔn)則.

例1.3.設(shè)$=2,工2=2++,…,x“+i=2+5,….求證：limx“存在，并求其值.

nn->oo

分析.給定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)增加有上界，偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)減少有下界，因此兩子列均收斂.

對(duì)于這種數(shù)列仍可應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則.

解.首先易見(jiàn)>°，又計(jì)算可得加2一%=黃7(乙-1一%+1)，〃=2,3,…,與一玉>°，

x4-x2<0,因此乙+2-乙與國(guó)用-&T異號(hào)，子列｛%2“｝單調(diào)減少有下界2,子列｛/?。龁握{(diào)

增加有上界3,兩子列均收斂，然后由遞推式/e=2+±=2+^兩端取極限得

limx2n_l=limx2?=1+行，由此推出lim=1+V2.

w->xn—>oon—

n

命題1.1.若limx=〃，貝ljlim-a.

W—>00n"TOO’

*=l

命題1.2.設(shè)0W〃<1,對(duì)X7〃GNW|X/HI-a\<i\xn-4a為常數(shù).貝ijlimxn=a.

例1.4.設(shè)%>O,x〃+iN,求吧工”.

解.>0,〃￡N.因卜“+[-VI卜|舞■卜〃—后卜小〃一碼,據(jù)命題12得limxn=\[2.

5.幕指函數(shù)/(%)=〃(%)心)的極限.

命題1.3.在某變化過(guò)程中，函數(shù)人幻為無(wú)窮小量,g(x)為無(wú)窮大量JiWWg。)斗，則

lim[l+7(x)1^=e\

命題1.4.在某變化過(guò)程中，危)與g(x\F⑴與G(幻均為等價(jià)無(wú)窮小(大)，且以)>0,g(x)>0,

limg(n嚴(yán))=A(0<A<-KO),則limf(x)FM=A.

例1.5.計(jì)算極限lim(1-x嚴(yán).

X->1-

解.令y=七，則limln(l-x),nv=-[lim(T)?Iny]=0,故原式=1.

XTl-y->4fl0)

6.用洛必達(dá)法則與泰勒展開(kāi)式計(jì)算極限.

應(yīng)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)注意：(1)先判斷極限是否普或色型;(2)通過(guò)分解、變量的等價(jià)替換、析

出可成為常數(shù)的變量等整理和化簡(jiǎn)，以便于計(jì)算導(dǎo)數(shù);(3)可重復(fù)上述步驟.

應(yīng)用泰勒展開(kāi)式時(shí)需注意分子與分母展開(kāi)的階數(shù)為各自主部的階數(shù).

例1.6.設(shè)函數(shù)段)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且呵平=0,/*(0)=4,求㈣[1+里也

解.因lim口=lim竽=.華=2,因此lim[1+=e2.

x->0Axx->0zrx->0",r->0x

例1.7.若limT6TAx>)=o,則lim絲上為()

KTOXx->0x

(A)0.(B)6.(C)36.(D)?>,

解.用sin6x的泰勒展開(kāi)式，知應(yīng)選:C.注.由于4工)無(wú)可微條件，此題不能用洛必達(dá)法則.

7.無(wú)窮小、無(wú)窮大量階的比較.

⑴當(dāng)正整數(shù)〃―8時(shí),以下各無(wú)窮大數(shù)列的階由低到高排列為:

log“n,na[0<a<P\a'\a>1),

⑵當(dāng)實(shí)數(shù)XfE時(shí)，以下各無(wú)窮大量的階由低到高排列為：

log“x,xa,xp(0<a<p\ax[a>l),xx.

⑶當(dāng)xrO時(shí)，下列各無(wú)窮小量?x:

sinx,arcsinx,tanx,arctaar,,Inalogrt(l+x),(0<a=1).

(4)設(shè)a?0,攵為正整數(shù)，則x->0時(shí)：

a2kk

1-cosx^yx,(l+0%/-1—arx,aox+—+4，+”aQx(a0>0).

(5)當(dāng)x->8時(shí)：a()+qx+…+?(〃為正整數(shù)，a〃工0).

8.等價(jià)無(wú)窮小(大)量在極限計(jì)算過(guò)程中的替換：

命題1.5.設(shè)函數(shù)兀0可導(dǎo)，xf0時(shí)兀0?x\k>1,則/”(x)?kK.

命題16設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中，無(wú)窮小(大)量函數(shù)段)?ax、g(x)?bx,,aW0Wb,r>0,s>0:

(1)若s<r(y),則火x)+g(x)—bxs.

(2)若r=s,a+bWO,則?￥)+g(x)?(a+6)￡.

命題1.7.在某變化過(guò)程中，/)、g。)、尸(x)與G(x)均為無(wú)窮小(大)量，且人)?g(x),尸(x)?G(x),

ga)-G(x)K0,lim第二。是不等于1的數(shù)或8,則對(duì)任何變量心),有

lim[w(x)(/(x)-7(x))]=lim[M(x)(j?(x)-G(x))].

例1.8.當(dāng)x-0+時(shí)，與五等價(jià)的無(wú)窮小量是

(A)l-e77.(B)ln^.(C)71+Vx-1.(D)l-cosVx.(2007研招一)

解.=ln(l+%)-ln(l-4),ln(l+x)~x,-ln(l-4)?五,應(yīng)選:B.

例1.9.計(jì)算極限lim莖叫■最；，.(2001天津競(jìng)賽理工)解?力.

例1.10.設(shè)危尸「二山"2)出送(幻=工3+/,則當(dāng)I。時(shí)，()

(A)_/(X)與g(X)為同階但非等價(jià)無(wú)窮小.(B)_/(x)與g(X)為等價(jià)無(wú)窮小.

(C)?r)是比g(x)更高階的無(wú)窮小.(D)40是比g(x)更低階的無(wú)窮小.

解.因x->0時(shí)f\x)=sin(sin2%)以>§.1等價(jià)于/送口)=3x2+4x\知應(yīng)選:A.

9.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與定積分定義計(jì)算極限.

例1.11.設(shè)函數(shù)以)在點(diǎn)a可導(dǎo),｛a〃｝、｛2｝為趨于零的正數(shù)數(shù)列求極限：lim.

〃一>00n””

解.原式出曠小).缶+.備]，令

“W0=(3)+%/?管一=/⑷十%,其中l(wèi)imt=lims〃=0,于是

n%w—>oo〃fH?

原式=則八幻+箋咨]，且0<|號(hào)野上赧+螺引"+卜』f0(L8)，原式寸，⑷.

/1k

C

.例1.12.求lim\A=

"TR念?+nCT

fli-I

解.原式=limV(L-^r)=|-^-dx=arctanevIL=arctane-f.

1

〃T8Mi+e^J。紜

10.由包含參數(shù)的變量極限求參數(shù)的問(wèn)題.

singyX<0

例1.13.設(shè)函數(shù)/(x)=<吁術(shù)2八，當(dāng)X.0時(shí)的極限存在，求4的值.

^[lnx-ln(x+x*)],x>0

解./(O-)=-'fia,f(0+)=—1,故a=-y-.

11.曲線的漸近線.

例1.14.曲線y=5+ln(l+e')漸近線的條數(shù)為

(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(2007研招一)

解.曲線有漸近線.r=0,產(chǎn)0,y=x.應(yīng)選D.

12.多元函數(shù)的(多重)極限.

一般通過(guò)一元函數(shù)的極限來(lái)研究二[多)元函數(shù)的極限，有時(shí)也可利用極坐標(biāo)來(lái)研究二元函數(shù)的

極限;通過(guò)兩條不同路徑考察函數(shù)的變化情況來(lái)驗(yàn)證二元函數(shù)的極限不存在.

例1.15.求極限：lim荔.

x_>0,v->0囚+1)1

解.顯然r=J/+y2w國(guó)+鳳0<獻(xiàn)Mr,因此原式=0.

(二)習(xí)題

1.1.填空題：

⑴設(shè)函數(shù)危)=In罟，則函數(shù)加〃)+_/(1A)的定義域?yàn)?(2004天津競(jìng)賽理工)

⑵設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)工和乂恒有人小月㈤如),且知/(行)=1,則〃％)二—.(2003天津競(jìng)賽理工)

⑶設(shè)y(x)=x+siiu-,則人丫)與其反函數(shù)/T(x)的圖象的交點(diǎn)是.

(4)設(shè)4>0,且對(duì)每個(gè)x>0,函數(shù)｛r)滿足「(Y=左,若>>0,貝|」"(竽)]r=.

(5)函數(shù)y=sinx|sinx|(其中|工區(qū)n/2)的反函數(shù)為.

(6)在x=0的附近與函數(shù)Kx)=secx的差為一的高階無(wú)窮小的二次多項(xiàng)式為.

⑺設(shè)人處定義在(YO,*O)上,a、b為常數(shù)，則曲線丁/4+辦》/(/>-2t)關(guān)于直線上=對(duì)稱.

(8)設(shè)函數(shù)兀x)=lim圮3,則Kt)的定義域是.(1996北京競(jìng)賽本科)

⑼%=1+土+出+…+[+2+1..+〃?則山=.(1998北京競(jìng)賽本科)

(10)若數(shù)列｛x“｝滿足條件lim(x-x)=0,則lim乎=.

n-?oon+lnn—>90

(11)當(dāng)x->0時(shí),aC+Zx2與4(x)=VTTxarcsinx-Vcosx是等價(jià)無(wú)窮小，則k=.

J

(12)lim(cosx),n(,+j2)=.(2003研招一)

.r->0

(13)lim空津=5,則lim華=______.(1996北京競(jìng)賽本科)

x->03-1x->0x

(14)設(shè)數(shù)列｛x“｝滿足：〃sin±vX”<5+2)sin士，則㈣士=—.(2000北京競(jìng)賽本科)

?=i

(15)lim(亞普)"=—淇中a>0,歷>0為常數(shù)，且g1,麻1.(2002北京競(jìng)賽本科甲、乙)

n>8

(16)已知函數(shù)｛x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且lim絲=1,則lim/(I+9)：=_____.

x^O*XTO

(17)若lim=2,則a=_____.(2000北京競(jìng)賽本科甲、乙)

x->0ln(l-2x)+<-(l-e-*)

(18)曲線y二吊的斜漸近線方程為.(2005研招一)

(19)lim(x2+y2)xy=

(20)設(shè)曲線尸於)與產(chǎn)sinx在原點(diǎn)相切,則極限lim歷南=.(2004北京競(jìng)賽本科甲、乙)

12單項(xiàng)選擇題:

2-x,x<0r<，0，則g"(x)]=()

⑴設(shè)g(x)=,f(x)=?

x+2,x>0x>0

X2XX2XX2X02+X2,X<0

(A)｛2+,<0(B)〈2-,<0.(C)｛\2-,<(D)《

2-x,x>02+x,x>02-x,x>024-X,A：>0

(2)若外)與g(x)互為反函數(shù)，則/[g(3x)0的反函數(shù)是()

(A)g[f(3xY2].(B)mg(x)]/3.(C)g[2Kv3)].(D)2g火63].

⑶定義在(Y0,E)上的下列函數(shù)中沒(méi)有反函數(shù)的是()

(A))，=x+sinx.(B)y=x-siiu.(C)y=xsiav.(D)y=(\+x2)sgnx.

(4)若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有危尸dx+5),則曲線y=J(x)()

(A)向左(或向右)平移10個(gè)單位后與原曲線重合.(B)關(guān)于直線x=5/2對(duì)稱.

(C)關(guān)于點(diǎn)(5/2,0)對(duì)稱.(D)關(guān)于直線產(chǎn)工對(duì)稱.

⑸下列函數(shù)中的非周期函數(shù)是()

(A)cos(sin|x|).(B)(sin|ji|)2.(C)sin(sin|^).(D)es,n|A'+e"an'AL

(6)設(shè)數(shù)列｛怎｝與｛先｝滿足=0,則下列斷言正確的是()

71^00

(A)若｛居｝發(fā)散，則也｝必發(fā)散.(B)若區(qū)｝無(wú)界，順無(wú)｝必有界.

(C)若｛居｝有界，則｛)，“｝必為無(wú)窮小.(D)若｛尊為無(wú)窮小則也,｝必為無(wú)窮小(1998研招二)

⑺若lim°(x)="0且lim/(w)=A,則()

(A)lim/[以切存在,(B)limf[(p(x)]=A.(C)lim/[。(切不存在.

Xf與XT%XT%

(D)A、B、C均不正確.(2001天津競(jìng)賽理工)

(8)曲線y=e,2arctan高科)的漸近線有()

(A)l條.(B)2條.(C)3條.(D)4條.(2002天津競(jìng)賽理工)

(9)曲線y=x+dx27+1()

(A)沒(méi)有漸近線.(B)有條水平漸近線和?條斜漸近線.

(C)有一條鉛直漸近線.(D)有兩條水平漸近線.(2006天津競(jìng)賽理工)

(10)設(shè)函數(shù)Rr)在(-8,+8)內(nèi)單調(diào)有界,｛%｝為數(shù)歹山下列命題正確的是()

(A)若｛%｝收斂，則｛/(%)｝收斂.(B)若｛￡｝單調(diào)，則｛/(%)｝收斂.

(C)若｛/(%)｝收斂，則｛怎｝收斂.(D)若｛/*.)｝單調(diào)，則｛%｝收斂.(08研招一)

1.3.設(shè)常數(shù)取0,求證:若為什。)二仔招,或人計(jì)。)=摘，則貝幻是周期函數(shù).

1.4.求函數(shù)/)=x+[x],xe(-oo,*o),的反函數(shù)

1.5.解下列函數(shù)方程：當(dāng)沖0,1時(shí)，心〕滿足方程危)+川-1/%)=1+%.

1.6.給定下列函數(shù)人x),定義人。)=/(x),fn+l(x)=/[/；*)],nGN.求力(幻:

(D/(x)=|1+乂一|1一乂.(2)/(x)=^-.

1.7.設(shè)對(duì)每一對(duì)實(shí)數(shù)(%,y)，函數(shù)/滿足方程乂x)t/W)=i/(x+y)-孫~1,川)=1.求整數(shù)n使.*〃)=.

1.8.設(shè)定義在(YO+O)上的函數(shù)於)滿足於+7)=女外)，XG(-OO,+oo),其中7與原1均為給定的正

的常數(shù)，證明：有正數(shù)。與以7為周期的函數(shù)(p(x)使段)=優(yōu)(p(x),xe(-oo,+oo).

19試構(gòu)造整系數(shù)多項(xiàng)式ad+bx+c,使它在(0』)內(nèi)有相異實(shí)根，且。是滿足條件的最小正整數(shù).

1.10.證明：若犬外是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)/"(?三人工)，則府)三院

1.11.計(jì)算極限：lim-〃!)：.

/1—>??

1.12.設(shè)lim然=。且〃工0,求limx”.

W-HO-〃->00

1.13.設(shè)limx“=4,試討論｛爭(zhēng)｝的收斂性.

"TOOn

1.14.設(shè)/=之+-In〃.⑴求證數(shù)列｛x“｝收斂;⑵求lim￡擊.

k=\〃T8火=]

1.15.證明下述各數(shù)列Z｝收斂，并求lim%:

⑴%=〃,/+]=缶(&七+號(hào)),"￡N,給定正整數(shù)fc及正的常助與b.

⑵=3,/+|=J10+3x〃，〃wN.(3)x0=i，xn+i=六.eN.

⑷0<芭v3,xll+i=J%(3-怎)(n=1,2,…).

⑸％=會(huì)居+1=x0N,O<a<1.

1.16.設(shè)M>0,當(dāng)川=轉(zhuǎn),〃=1,2,…，時(shí)每一個(gè)實(shí)麴討論數(shù)列(Z｝的收斂性并在數(shù)列

收斂時(shí)求出limx”.

n—>oo

1.17.設(shè)/=1,玉=2,求下述各數(shù)列的極限：

⑴乙+2=I(怎+%)，⑵?=J4+M”，⑶/+2=,九6N.

1.18.設(shè)Ova=%(1-3)7=1,2,…求lim%〃與

n—>oon->oo

1.19.求證:⑴lim力士=?;(2)€-€==務(wù),其中0<4,<1.

"T84=0k=0

L20.設(shè)4=1,%=2,當(dāng)寸,%=%+%，證明:

⑴W〃T"見(jiàn)"2%;⑵lim,=0.

1.21.設(shè)0<%VqV…V…，怎=2(1-")木,〃=12….證明數(shù)列｛/｝收斂.

1.22.計(jì)算下列各極限：

(l)lim[ln(l+2x)ln(l+1)].(2)lim[lnxln(l-x)].(3)lim(±+2bx.(4)lim(1-sin。)”.

X->-K6XT1-XT8n-yX>

⑸+空孑隧泡研.

〃一>8

(6)limlsinv-sin(：inv)|s,nr.(08研招一)

L23.設(shè)叱制，求：

(1)lim/(幻:⑵lim/(x);(3)lim/(x);(4)lim/(幻;⑸lim/(%).

XT3XT-00*^O+x->0-X^O

L24.如果外)是(口,收)上的周期函數(shù)，且1必/G)=0.求府).

1.25.設(shè)L0+時(shí)函數(shù)九I)是與x等價(jià)的無(wú)窮小量，且危)X,試求極限lim

1.26.設(shè)db是三維空間R3上的兩非零常向量且|\=l/(aZO=JT/3,求極限

lim[^(Ia+xb-a|)].

1.27.設(shè)危)在x=O的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim(羋+#)=2,試求的)及/(0).

.r->0*

(三)習(xí)題解答或提示

1.1.(l)｛x|l<|x|<2).(2)1/2.(3)&r,g,kwZ.(4)k2.(5)y=sgn^arcsin^p^,xG[-1,1].

(6)l+1x2.(7)6a)/4.(8)(-1J).(9)5/2.(10)0.(11)3/4.(12)e-\(13)101n3.

(14)1.(15)7^.(16)e.(17)-4.(18)y=(19)1.(20)亞.

L2.D,B,C,A,C,D,D,B,B.

arctanx+1,x>0

(10)B正確.A的反例是/(x)=?0,x=0,x?=上｝.C與D的反例是_/(x)=arctanx,

arctanx-1,x<0

x?=〃.應(yīng)選:B.

1.3.證.(1)由於+。)二潴解得〃幻=挑篇=f(x+勿)，故〃幻以為為周期.

(2)由貝x+a尸；；；：；彳哥(%)=—/(h)J(R+加)=_/(/La)，4X)=人計(jì)44)，故段)以4a為周期.

1.4.f~x(x)=x-m,2fn<x<2m+i,meZ.1.5./(X)=

-2,x<-y

n+,

1.6.(1)/；(x)=<2x,一步<x<十，〃￡N.(2)f6(x)=fQ(x),九+*冷=AW,0<k<5.

2,x>^

1.7.解.令y=l,從原方程可得式x+l)=<x)+x+2.......(1)

由此遞推式看出x為正整數(shù)時(shí)，區(qū)幻為正，且｛x+l)>x+2>x+l,再?gòu)摹Ｅc負(fù)整數(shù)中求解，將

x=0,-l,-2等代入(1)的等價(jià)式"r)="r+l)-(x+2).........(2)

得火0)=-1，及一1)二一2,4—2)=—2,于是有一解〃二一2.此外還有人―3)=-1,/(T)=1.當(dāng)《-4

時(shí)，-(x+2)>2,由(2)式可知兒i)>0,不可能有人x)=x.總之我們得唯一整數(shù)解〃=-2.

1.8.證.由&>0,T>0,可設(shè)所H>0,其中aW1,我們有/(x+7')=//(x).現(xiàn)令

以幻=a~xf(x\xe(yq,+8),則/")=ax(p(x\且不難驗(yàn)證(p(x)以7為周期.

1.9.解?設(shè)4X2+加+。=4(1一九)0一口),0<九<”1,整數(shù)尺0)川)=。2[X(1-X)][R(1一刈>0二次三項(xiàng)式

M1T)在二1/2達(dá)到最大值1/4,故1<f(O)f(l)=。2[41一%)]3(1一")]<傘,于是。>4.若

取。=5,則由0<卻=c/a<l,O<X+|i=-b/a<2,/>4ac得c=I,b=-5.我們得多項(xiàng)式5x2-5x+1,

它完全滿足條件.而且可以通過(guò)枚舉法驗(yàn)證，此解唯一.

1.10.證.若廣lx)三/*),則必有烏=Dfi=勺.假定有由￡。/野(因)。2，不妨設(shè)

X</(石),如(再)=巧，有芭<x2tSf~\x2)=x1因尸(x)三f(x),有/(%2)=和且

/(%)</(%)，得工2<X1,導(dǎo)出矛盾，這就證明了命題.

1.11.解.令￡=￡,則\”了1—已-1(〃-8),得原式=吧區(qū)=上

1.12.解.令y〃=含，由lim甥=lim(l-yM)=。得出nyn=1,lim=lim(y-a)=a.

S3解a工0時(shí),lim乎=1;。=0且數(shù)歹U｛乎｝收斂時(shí)，其極限的絕對(duì)值不超過(guò)1.

114.分析.利用不等式(1+5)”<e<(1+i)n+,證明｛x〃｝單調(diào)減少有下界.

解(2)因力士=%2”-乙+In2,故吧力士=In2.

Jt=lhl

1.15.解。)顯然%>0,〃WN淇次根據(jù)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的不等式，有

.VM+I>?才="蠣,｛七｝有下界組伍且胃=出伏+.)V±(k+初=1,｛5｝單調(diào)

減少;因此以"收斂.再由lim%=告lim(也+%)可解得limx“=崛.

⑵%>O,neNffl|xM+1-5|=卜3%+10-5|=潦竟]?年一5|，吧巧=5.

⑶先歸納證明奇數(shù)項(xiàng)子列單減有下界0,偶數(shù)項(xiàng)子列單增有上界1,兩子列均收斂.其次，由遞推式

兩端取極限可解得lim々“T=limx2?=與，因此lim=亨.

n->30n-^x)n—>co

(4)解法1.0<xn<j,n>1,即數(shù)列區(qū)侑界.其次,

可?=學(xué)=/-121,即7]>乙，｛怎｝單調(diào)不減，因此｛怎｝收斂.limx=1.

xf9nn〃一>oc

⑸0<aWl時(shí)Ovx“4號(hào).由

冗一一蒼/，得出｛通｝單調(diào)減少有下界

+243)+XZ,+1)(X?_I-Xn+i\x2<

。,｛當(dāng)“+J單調(diào)增加有上界會(huì)因此都收斂.設(shè)1皿x,?=Z?,limx?=c,且。

n-?87+1

由遞推式取極限得2b=a-C2,2c=a-/.兩式相減得2(b-c)=(b-c)(b+c\EZn-c^a^l可知/?=(1.并

解得limx“=b=-\.a=0時(shí)此式仍然正確.

n—>oo

1.16.解.avO時(shí)｛x“｝發(fā)散，應(yīng)0時(shí)｛xn｝收斂,且limxn=4a.

?->oo

〃-1—I

A

U7.解.⑴lim=/+limY(xA+l-)=1+limY(-4)=4.

力⑷2

⑵%=粉?紫一管=2?。"JimxM=limx,I+2=2\

⑶令乙=占則力"+2=六=號(hào)7什2T〃+1=(T)/2,得1imr”411mz=??

n力?上n?8n?8

1.18.解.(1)｛怎｝單調(diào)減少有下界，得lim怎=O

n-w

(2)站事=1加(1一%)=1,1加(十一十)=1,令%=六一+，

n-xx>nn^oo〃T8"In用”n

則lim-"+；%=limyn=l,lim=1,limnxn=lim(nxn+i?=1.

rtfoow-x?ns9w-x?/tf?'

1.19.證.(1)記x〃=(l+9〃，尤=￡亂對(duì)正整數(shù)/底，有

*=0

%=2+z*(r>7iT)N2+z=(r>yT),

k=2k=2

固定風(fēng)令〃->8,則由上式得侖乂”.又顯然%>由夾擠準(zhǔn)則得limylt=e.

ni-w1

/〃〃/〃

(2)令z〃=e-y〃，則0<z〃=扁￡擊一2==同￡卷又

m->3&m->o>,一*/,

i=0hO

，〃

y±<—l—H+-!-+—?—4--??+—>—1<-1---------1_=_l_.2i±l<±.l

w111

乙Jt!一(n+l)」iT“+2T("+2)2(W-->r-<?+!>!I-(n+D!〃+l一川”，

Jt=?+1"C

因此0<z〃<5?《,令?！倍〃?小〃!.則易得0<e“<1.命題得證

1.20.證.｛%｝單增.不等式⑴對(duì)一切〃成立.其次，

4〃-2an-\--G)W，fl|=6尸,因此0“十W(］尸,且=0,

n

由夾擠準(zhǔn)則即得(2).

1.21證.｛x,J單調(diào)不減.現(xiàn)

ri_at-\\I_)<*/i_|_、(4&7以一1)v9/___1________1\

_s

U一式)標(biāo)-FF—砧U+R?國(guó)反s乙E一有),

于是x“V2(木-亡)V京，數(shù)列&/有上界因此收斂.

2

1.22.解.(1)31112.(2)0.(3)2e.(4)eT(5)e”.

⑹原式=lim而門(mén)丁皿)=11m31=產(chǎn)熱)=11m=11m8sM努in,)=尢

x-X>*X3x?.t->03/.06x6

1.23.解.⑴3;(2)1/7;(3)3;(4)1/7;(5)不存在.

1.24.解.令％=%則1加/(-L)=lim/(/^。，用反證法證明田一匕+⑹上/㈤三。

A-M)r->oo

.、，5yt[.X(Eir-r'K—f-1]ri..xln3..*呵1+在3](

1.25解因曾」一原式=蠅^^=蠅尢后1=覘公=場(chǎng)中^=1.

I"?解?原式=吧器繇=吧耦箱=吧盒瑞T蚓端=舒=㈤3/(。必已.

1.27.解.用泰勒展開(kāi)式可得用))=-1及尸(0)=2.

數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)資料（理工）

第二講函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)

（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示

1.函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類.

例2.1.設(shè)函數(shù)於）在（0,1）上有定義,且函數(shù)與函數(shù)e"⑶在（0,1）上都是單調(diào)不減的,求證：

危）在（0,1）上連續(xù).（1992北京競(jìng)賽）

證.首先對(duì)任意?！辏?,1）,及ME,因e/（a）We"（x）=e""⑷</（幻,又「⑷We-',

有加）2段）,因此工/（x）</⑷,且limea~xf（a）=f（a），由夾擠準(zhǔn)則得加+）二加）.

X-

同理可證.由此推出氏）1在（0,1）內(nèi)任意。連續(xù)，即凡0在（0,1）上連續(xù).

例2.2.求函數(shù)/（x）=（1+工）”2方在區(qū)間（0,2n）內(nèi)的間斷點(diǎn),并判斷其類型.（1998研招二）

解?府）在區(qū)間（0,2n）內(nèi)的間斷點(diǎn)是使tan。-￡）為0與8的點(diǎn)，即x=￡,%苧，弩.

W/（f+）=+8,/（苧+）=+oo,lim/（x）=limf（x）=1,故￡與苧是第二類（無(wú)窮）間斷點(diǎn)

XT子X(jué)T于

華與華是第一為可去）間斷點(diǎn).

2.（有界）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性與根的存在（零點(diǎn)）定理.

關(guān)于根的存在性證明問(wèn)題,一般考慮三種方法：（1）直接運(yùn)用最大值最小值定理與介值定理；（2）

先將結(jié)論（或滿足條件的等式）中的,（或根）換成變量x,再移項(xiàng)使一邊為0,令另一邊的函數(shù)為輔

助函數(shù)尸（幻,然后運(yùn)用零點(diǎn)定理導(dǎo)出結(jié)論；（3）用反證法證明.

注.零點(diǎn)定理是介值定理的特殊情況,換言之,能用介值定理證明的命題也能用零點(diǎn)定理證明，而

后者具有某種規(guī)范性,比較容易掌握.

例2.3.設(shè)函數(shù)於）在（-8,+8）內(nèi)連續(xù),且fy（X）］=X.證明在（-8,+8）內(nèi)至少有一個(gè)與滿足

/（x0）=x0.（1988北京競(jìng)賽）

證.任取一點(diǎn)a,若加）=6則已滿足要求.現(xiàn)設(shè)外）=岳孫我們有心）=a.則函數(shù)g（x）=?v）T連續(xù)，

且g（a）=b-a與g（b）=a-b異號(hào).根據(jù)介值定理，在a與b之間至少有一點(diǎn)

兀）使g&o）=0,即f*o）=/，命題得證.

例2.4.設(shè)段）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，<0）=川），證明：對(duì)于任意給定的整數(shù)心1,必存在

4￡［0,1）使得/（0=/（4+十）.

證.函數(shù)F（x）=f（x）-/（x+?在［0,1-學(xué)上連續(xù)，我們假定尸（乃在［0,1-廿上不變號(hào),則

尸G）=/（9-八陪）水=0,1,…,』-1,同號(hào)，各式相加徼（。）一/（1）工0,此矛盾說(shuō)明F。）

在［0,1-廿上變號(hào)，于是有4€（0,1-1）u［0,1）,使F《）=0,即fC）=/?+十）.

例25證明方程，>?=1（，之1）有唯一正實(shí)根當(dāng)G（0,1）,并求lim幺.

解.若n=l,結(jié)論顯然正確，現(xiàn)設(shè)??>!.對(duì)0<AV,我們有

〃/1〃〃

(Z-1)-(￡,_1)_之(產(chǎn)一)_(f一X這Z--I>0.

因此連續(xù)函數(shù)次1尸Z--1在。+8)內(nèi)單調(diào)增加1,且爾))<1)<0,根據(jù)介值定理，方程府)二0即

hl

=1有唯一正實(shí)根短e(o,i).

hl

其次，數(shù)列｛4｝顯然有界，次證｛基｝單調(diào)減少.事實(shí)上，=1,兩式相減得

*=1*=1

。J+X?/+CY這%〃上尸=0,由此品T〃<。?

*=1*=11=0

lim=。存在.最后由得卷=1,解出。=丸

M-X?"TOO

k=l

3.多元函數(shù)的連續(xù)性.

例2.6.已知函數(shù)代r,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim約等：=1,則()

x->O,.v-?O*+y)

(A)點(diǎn)(0,0)不是貝x,y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是於,y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是於,y)的極小值點(diǎn).

(D)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)是否為y(x,y)的極值點(diǎn).(2003研招一)

解.(.qy)~*(0,0)時(shí)fix,y)=xy+(x2+y2)2+o((x2+y2)2),7(0,0)=0.y=x-*0時(shí)/x,y)>>/(0,0).

y=~x-*0時(shí),危,y)<7(0,0).應(yīng)選:A.

4.一元與多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,可導(dǎo)、可微與連續(xù)概念的關(guān)系.

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微連續(xù)二重極限存在偏導(dǎo)數(shù)存在兩個(gè)二次極限存在且相等

不隱含的反例(均在原點(diǎn)處)：

(蒼小(°。⑵/(蒼加產(chǎn)/川咤戶?工0

(X,y)=(0,0)0,x=OoJcy=0

xsin"+ysin5,工W0,yW0

(3)f(x,y)=<

1,x=0或y=0

+y-)sin二片(x,y)x(0,0)

⑷f(wàn)(x,y)=?

0,(x,y)=(0,0)

(5)f(x,y)=yj\x^.(6)Xx,y)=|x\+\y\.

例2.7.設(shè)函數(shù)段)在m0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()

(A)若limR存在，則用))=0.(B)若lim/(V)Y('X)存在，則的)=0.

.t->0xA->0*

(C)若也竽存在，則/>'(())存在.(D)若吧/⑸丁F存在，則廣(0)存在.(2007研招一)

解.A、B、C都正確.應(yīng)選：D.

5.分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù).

g(x),x<a

命題2.1.設(shè)/(x)=-4,x=其中g(shù)(x)在(c,a)內(nèi)可導(dǎo),力(X)在(4力)內(nèi)可導(dǎo)，若兀0在a點(diǎn)連續(xù),

h(x),x>a

且存在極限limg\x)=limh\x)=氏則存在導(dǎo)麴f'(a)=B.

XT。-

例2.8.函數(shù)/)=，7-2*一乂不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

(A)3.(B)2.(C)l.(D)0.解.用根軸法作圖，應(yīng)選:B.

例2.9.設(shè)孔?在(-8,+8)內(nèi)有定義,對(duì)任意”都有人/1)=力且當(dāng)OWxWl時(shí),?r)=M1,).試判

斷在x=0處函數(shù)?r)是否可導(dǎo).

解.廣(0+)=1,當(dāng)TWx<0時(shí),OWx+lvl,/W==/(x+l)=呆工+1)(---2外,廣(0-)=一1.因止匕

在x=0處函數(shù)式工)不可導(dǎo).

g(X)-COSX,Q

例2.10.設(shè)函數(shù)段尸，、'，其中g(shù)(x)有連續(xù)二階導(dǎo)函數(shù)，g(O)=l.(1)求a使/)在點(diǎn)

a,x=0

x=0處可導(dǎo)及尸㈤；(2)討論尸⑶在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.(2003天津競(jìng)賽理工)

.〕\Tg(x)-cos.r],XH0

解.⑴a=g，(O).r(x)=?

知〃(0)+1],x=0

(2?口)在點(diǎn)尸0處連續(xù).

6.復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程表示的函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，一階微分形式的不變性.

例3.11.求下列函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)及其左右導(dǎo)數(shù)：

(1)j=|ln|x||.⑵產(chǎn)|tanx|.(3)y=arcsin-^-.

解.⑴不可導(dǎo)點(diǎn)有％=0及±1.y在A0無(wú)定義，在xWO處均連續(xù),由此根據(jù)命題3.1可計(jì)算出

/(-1)=X(1)=-1，X(-1)=X(1)=1.

(2)不可導(dǎo)點(diǎn)有x=kn及k天+五/2、kEZ.丫在二k冗+不/2無(wú)定義,在xWA萬(wàn)+力■/2處均連續(xù),

由此根據(jù)命題3.1可計(jì)算出義伏乃)=一1,乂伏；r)=1.

(3)#±1時(shí)，廣七戶;川(一1)=義⑴=一1,尺(一1)=又⑴=l,x=±l時(shí)了不存在.

例2.12.設(shè)加/)為二元可微函數(shù),z=/(V,yX),則舍=.(2007研招一)

解.應(yīng)填：/尸"；+尸/21nA

例2.13.已知函數(shù)產(chǎn)）侖）由方程e，+6孫+/-1=。確定，貝1］），〃（0）=.（2002招一）

解.應(yīng)填：-2.

例2.14.設(shè)z/x,加吧急急浮，則就?！唬?.（2004北京競(jìng)賽）解.應(yīng)填T.

u=x

例2.15.設(shè)z=z（x,），）滿足/當(dāng)+y2_^￡=z2,且…=5-+,對(duì)函數(shù)g=g（〃,y）,求證導(dǎo)=0.

dx辦一.

證?用全微分證明.由d"=$一步=du=以山:+（當(dāng)一崇）力：解得

z；=z2（-4-^-號(hào)）,z；=亨〃,由條件等式推出&2此=0,于是結(jié)論成立.

例2.16.〃=+y2+z?在點(diǎn)處沿曲=爐+y2在點(diǎn)M處的外法線方向〃的方

向?qū)?shù)普=—?解.應(yīng)填：1/3.

7.極坐標(biāo)方程確定的函數(shù)的微分法.

對(duì)于極坐標(biāo)方程確定的函數(shù)r=r［o），應(yīng)該先通過(guò)公式x=r（0）cos。,

產(chǎn)“0）sin0，轉(zhuǎn)換為參數(shù)0的參數(shù)方程，然后求導(dǎo).

命題2.2.（1）極坐標(biāo)方程r=r（。）確定的光滑曲線上一點(diǎn)M（r,0）處的切線

與M的向徑所成的角等于Jarcta吟母.（圖3.1）圖3.1

⑵極坐標(biāo)方程0）與尸g（（））確定的兩光滑曲線在交點(diǎn)M=（r,0）處的

天用力［arctan八°%@+/，9川@卜

例2.17.求極坐標(biāo)方程的曲線r=3cos2。與X3sin2。在交點(diǎn)后，幻處的夾角.

解.按命題2.2,所求夾角等于［arctan年黯溪燎懸）卜表

8.一般，，階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

（i）直接法.連續(xù)計(jì)算若干次導(dǎo)數(shù)后發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后用歸納法證明之.

例2.18.設(shè)y=求震.

I,II

;

解.n=\時(shí)y'=-^-e;n=如寸y"=3/;我們推測(cè)嚴(yán)）=（T）"下面用典納法證明之：

（￡小）（〃旬=［（X噌）'產(chǎn)=（心"％士嚴(yán)一［（冗1最）（?。?，=〃.界J一e；

注.此題作歸納時(shí)不能計(jì)算（V）0,+1）.

（ii）公式法.

（工i）對(duì)復(fù)雜函數(shù)可先將其分解（包括有理分式的部分分式分解與三角函數(shù)的積化和差等）為簡(jiǎn)單

函數(shù)之和后再計(jì)算.

例2.19.求下列函數(shù)產(chǎn)），（x）的n階導(dǎo)數(shù)：

(l))=ln(x2+3x-4).(2)y=券.(3)y=sin6x+cos6x.

解.(1)=[In。+4)+ln(x-l)](z,)=(-1)^+方].

⑵嚴(yán))=(±一七嚴(yán)=成6(-ir7]?

(3)y=(sin*x+cos2x)(sm4x-sin2xcos2x+cos4x)

=(sin2x+cos2x)2-3siii2xcos2x=l-|sin22x=l-1(l-cos4x)=f+1cos4x,

嚴(yán))=3.4"Tcos(4x+詈).

(iv)利用函數(shù)滿足的某個(gè)關(guān)系，借助萊布尼茲公式計(jì)算，得到導(dǎo)數(shù)的遞推式，比處的某個(gè)關(guān)系，有時(shí)

可通過(guò)去分母得到.

例2.20.求下列函數(shù)y=y(x)的〃(>3)階導(dǎo)數(shù)：

(1)產(chǎn)占,嚴(yán)).(2)y=(arcsinx『,嚴(yán)(0).

解.(1)方法1.尸(/1)(/+1)+=,嚴(yán))=(-1)"湍不

方法Zy滿足關(guān)系(尸1)丫=總于是(Al)/〉+〃/7=(/嚴(yán)

(RT-,)(,,-2

若片4?(4)=代;若〃HV=JZZL.-"I》v)=..1

X-\J.t-1x-lJ=卦卻…言嚴(yán)

由此推出y⑺=(一1)”/,〃>3.

tx-l)

⑵y'=2疑爐叫oJ\-x2yf=2arcsinx,在方程兩邊求導(dǎo)后得

VT7

加一/了〃-看=*=(]一/?〃一封,_2=0,運(yùn)用萊布尼茲公式，可得

(1-%2)產(chǎn))(x)=(2〃+l)xy(n+,)(Xi+n2y(n)。),代x=0得嚴(yán)(0)=(?-2)2產(chǎn))⑼,

因/(0)=0,