第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1引言

控制系統(tǒng)是由控制對象、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、放大器、檢測（測量）裝置和控制器等組成。

數(shù)學(xué)模型：在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，了解這些磚磚瓦瓦的工作原理及運(yùn)動過程是很重要的，.

更重要的是深入研究宜們的動態(tài)特性2JE確列寫出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式2_

我們把描述系統(tǒng)或元件的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。

深入了解元件及系統(tǒng)的動態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型一稱建模，只有得到較為準(zhǔn)確的

數(shù)學(xué)建模，.才能設(shè)計(jì)出姓能良好的控制系統(tǒng)。一

動態(tài)特性控制系統(tǒng)所采用的元件種類繁多，雖然各自服從的規(guī)律，但它們有一共同點(diǎn)：

即任何系統(tǒng)或元件總有物質(zhì)或能量流入，同時又有某些物質(zhì)或能量流出，系統(tǒng)通常又是有貯

存物質(zhì)或能量的能力，貯存量的多少用狀態(tài)變量來表示。狀態(tài)變量是反應(yīng)系統(tǒng)流入量或流出

量之間平衡的物理量，由于外部供給系統(tǒng)的物質(zhì)或能量的速率是有限的，不可能是無窮大，

因此，系統(tǒng)的狀態(tài)變量有一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)不可能瞬間完成，而要經(jīng)過一段時間。這

樣，狀態(tài)變量的變化就有一個過程，這就是動態(tài)過程。例如，電路中電容上的電壓是一個狀

態(tài)變量，它由一個值變到另一個值不可能瞬間完成。具有一定慣量的物體的轉(zhuǎn)速是一個狀態(tài)

變量，轉(zhuǎn)速的變化也是一個過渡過程，具有一定質(zhì)量的物體的溫度是一個狀態(tài)變量，它由溫

度TO變到T,同樣有一個動態(tài)過程；又如容器中液位也是一個狀態(tài)變量，液位的變化也要一

定的時間。

物理模型任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必

須進(jìn)行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，

要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有

分析法一對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律

建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個步驟：

?建立物理模型。

?列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶梢蝗缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能

量守恒定律等）

?選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變

量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。

實(shí)驗(yàn)法一人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)。

輸入（已知）--------輸出（已知）

—T黑——?

數(shù)學(xué)模型的逼近

數(shù)學(xué)模型有多種表現(xiàn)形式

一、時1微分方程一輸入量和狀態(tài)變量都是連續(xù)的。集總參數(shù)

偏微分方程，分布參數(shù)

2差分方程一離散系統(tǒng)

二、復(fù)域1傳遞函數(shù)

2結(jié)構(gòu)圖一信號流圖

三、頻率一頻率特性，波特圖

連續(xù)系統(tǒng)一微分方程1線性微分方程線性系統(tǒng)

時2常系數(shù)線性微分方程線性定常系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)

3偏微分方程一分布參數(shù)系統(tǒng)

域4非線性微分方程

離散系統(tǒng)一差分方程

2.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

2.2.1線性元件的微分方程

例2-1圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以UI(t)為輸入量，U2(t)為輸出

量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。

RIR2

°---1I--T--1I--1---°

UIC1±C2士U2

o---------------------------------------------------------o

圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)

解：設(shè)回路電流il、i2

根據(jù)克希霍夫定律，列寫方程

。1=財(cái)+4①

"cl-，2)4

G②

+42③

Uc2=—\hdt

“④

U2=Uc2