專題19與圓有關的最值問題12種常見考法歸類（原卷版）

專題19與圓有關的最值問題12種常見考法歸類1、圓的最值問題求解與圓有關的最值問題，其通法是數形結合和轉化化歸思想，其流程為：與圓有關的最值問題主要表現在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化2、圓的最值類型：（1）圓上動點到定點距離的最值問題圓外一點P到圓C上點的距離距離的最大值等于，最小值等于.圓內一點P到圓C上點的距離距離的最大值等于，最小值等于.（2）圓上動點到定直線的距離的最值問題圓C上的動點P到直線l距離的最大值等于點C到直線l距離的最大值加上半徑，最小值等于點C到直線距離的最小值減去半徑.圓的切線長最值問題從圓外任一點向圓引兩條切線，圓心C,兩切點A,B,我們把線段PA,PB的長度叫做切線長，設圓的半徑為r,則有：①切線長的計算：，當半徑給定，切線長最小等價于最小，②過圓外一點P向圓引兩條切線，切點記為A、B,則四邊形面積的最值等價于求圓心到點P的距離最值。（4）由直線與圓的位置關系求距離的最值（5）過圓內定點的弦長的最值問題（最長弦、最短弦問題）設點M是圓C內一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點的直徑垂垂直的弦，弦長為.（6）與斜率、距離、截距有關的圓的最值問題處理與圓有關的最值問題時，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數式的幾何意義，借助數形結合思想求解．與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如u＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉化過定點(a，b)的動直線斜率的最值問題求解．②求形如u＝ax＋by的最值，可轉化為求動直線截距的最值．具體方法是：1）數形結合法，當直線與圓相切時，直線在y軸上的截距取得最值；2）把u＝ax＋by代入圓的方程中，消去y得到關于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范圍，進而求得最值.③求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可轉化為圓上的點到定點的距離的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是點(a，b)與圓上的點(x，y)連線的距離的平方，利用數形結合法求解.（7）圓中與角度有關的最值問題①圓上兩點與圓外一點的連線的夾角(圓處一點為頂點)中，以這兩條直線為切線時最大.②圓上一點、圓心與圓外一點連線的夾角(圓外一點為頂點)中，以這條直線為切線時最大.③圓上一點、圓外兩點連線的夾角(圓外一點為頂點)中，以這條直線為切線時最大。（8）利用對稱性求最值形如|PA|＋|PQ|形式的與圓有關的折線段問題(其中P，Q均為動點)，要立足兩點：①減少動點的個數．②“曲化直”，即折線段轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.注：三角不等式(將軍飲馬):任意兩邊之和大于等于第三邊，任意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當且僅當三點共線.如圖，動點P為直線上一點，A、B為直線一側的兩個定點，那么PBPA的最大兩側，則需先利用對稱將其搬到一側再尋找最大值，此時，PBPA的最小值為0,即P為AB中垂線與的交點.總結：“和最小，化異側，差最大，轉同側”（9）阿波羅尼斯圓的逆用已知圓上任意一點P和坐標軸上任意兩點A、B,求形如的最值問題，可逆用阿氏圓轉化為三點共線最值計算.圓有關的平行線束最值問題兩個動點分別在兩條平行線上運動，這兩個動點間的最短距離為兩條平行線間的距離考點一圓上動點到定點的距離的最值問題考點二圓上動點到定直線的距離的最值問題考點三圓的切線長最值問題考點四直線與圓的位置關系求距離的最值考點五與圓的弦長有關的最值問題考點六與斜率、距離、截距有關的圓的最值問題（一）斜率型最值問題（二）截距型最值問題（三）距離型最值問題（四）綜合應用考點七利用三角換元求最值考點八圓中與角度有關的最值問題考點九利用對稱性求最值考點十阿波羅尼斯圓的逆用考點十一圓有關的平行線束最值問題考點十二利用圓的方程構建函數求最值考點一圓上動點到定點的距離的最值問題1．（2023秋·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谀┰谥校?，，，動點在以點為圓心，半徑為的圓上，則的最小值為.2．（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎c，是圓上的動點，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東江門·高二江門市第二中學?？计谥校┮阎c，點M是圓上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·廣東深圳·高二校考期中）對任意實數m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長恒為4，若動點P在圓C上，則點P到原點距離的最小值為；5．（2023秋·廣東深圳·高二?？计谥校cM為圓：上任意一點，直線過定點P，則的最大值為（

）A． B． C． D．考點二圓上動點到定直線的距離的最值問題6．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）已知點A在直線l：上，點B在圓C：上，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．57．（2023秋·廣東梅州·高三五華縣水寨中學校考階段練習）已知點是直線上的點，點是圓上的點，則的最小值是.8．（2023秋·廣東揭陽·高二揭陽華僑高中?？计谥校┮阎c在圓上運動，，點為線段的中點．(1)求點的軌跡方程(2)求點到直線的距離的最大值和最小值．9．（2023秋·廣東江門·高三?？茧A段練習）已知點是圓上的動點，，則點到直線的距離的最大值為.10．（2023秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學?？茧A段練習）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.11．（2023秋·廣東揭陽·高二?？计谀┮阎本€：與直線關于直線對稱，點在圓：上運動，則動點到直線的距離的最大值為.考點三圓的切線長最值問題12．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）設是直線：上的動點，過作圓：的切線，則切線長的最小值為（

）A．4 B． C． D．13．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）若圓關于直線對稱，則過點作圓C的切線，切線長的最小值是．14．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市東莞中學?？计谀┮阎獔A，點為直線上一個動點，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點分別為．(1)求外接圓的方程；(2)設P是直線上一動點，過點P作外接圓的一條切線，切點為Q，求最小值及點P的坐標．16．（2023秋·廣東深圳·高二深圳中學?？计谀┰O為直線的動點，為圓的一條切線，為切點，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市白云中學?？计谥校┮阎狿是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．考點四直線與圓的位置關系求距離的最值18．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）已知實數x，y滿足：，則的取值范圍是．19．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）當圓的圓心到直線的距離最大時，（

）A． B． C． D．20．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是.21．【多選】（2023秋·廣東深圳·高二校聯考期中）已知直線與圓，則下列說法中正確的是（

）A．直線與圓一定相交B．若，則直線與圓相切C．當時，直線被圓截得的弦最長D．圓心到直線的距離的最大值為考點五與圓的弦長有關的最值問題22．（2023春·廣東陽江·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過點的直線被該圓所截的弦長的最小值為.23．（2023秋·廣東惠州·高二?？茧A段練習）若點是圓內一點，則過點的最長的弦所在的直線方程是.24．（2023秋·廣東·高二校聯考期中）若圓的方程為，則圓中過點的最短的弦長為.25．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市真光中學校考階段練習）當圓截直線所得的弦長最短時，實數（

）A． B．1 C． D．126．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市南頭中學校考期中）已知圓及直線．(1)證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．27．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）在圓內，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為．28．（2023秋·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┲本€過且與圓交于兩點，當弦最長時，直線的方程為.考點六與斜率、距離、截距有關的圓的最值問題（一）斜率型最值問題29．（2023秋·高二課時練習）已知實數、滿足，求的取值范圍．30．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習）如果實數滿足，則的取值范圍是．31．（2023·貴州·校聯考模擬預測）若點在曲線：上運動，則的最大值為.32．（2023秋·四川廣安·高三廣安二中校考期中）設點是曲線上的任意一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．33．（2023秋·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圓C的圓心坐標為(2，7)，直線是圓C的一條切線，且點(－2，3)為圓外的一點.(1)求圓C的標準方程；(2)若點為圓上的任一點，求的最大值和最小值；(3)若點在圓C上運動，求的最大值和最小值．（二）截距型最值問題34．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習）若點在圓上運動，則的取值范圍.35．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的取值范圍．36．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與圓存在公共點，則的取值范圍為.（三）距離型最值問題37．（2023秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期中）若實數x、y滿足，則的最大值是.38．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期中）已知實數，滿足，則的取值范圍為．39．（2023秋·高二課時練習）（1）如果實數x，y滿足，求的最大值和最小值；（2）已知實數x，y滿足方程，求的取值范圍．（四）綜合應用40．（2023秋·廣東梅州·高二?？计谥校┮阎獙崝祒，y滿足方程，求：(1)的最大值；(2)的最小值．41．（2023秋·黑龍江綏化·高二?？茧A段練習）已知，是實數，且．(1)求的最值；(2)求的取值范圍；(3)求的最值．42．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校考階段練習）已知實數滿足方程．求：(1)的取值范圍為；(2)的取值范圍；(3)的取值范圍．考點七利用三角換元求最值43．（2023春·河南開封·高三通許縣第一高級中學校考階段練習）已知點，點為圓上一動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．44．【多選】（2023秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W?？计谥校┮阎c，，，且點是圓：上的一個動點，則的值可以是（

）A．66 B．79 C．86 D．89考點八圓中與角度有關的最值問題45．【多選】（2023春·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)第一中學?？奸_學考試）已知圓，點是圓上的一個動點，點，則（

）A． B．的最大值為C．面積的最大值為2 D．的最大值為446．【多選】（2023春·廣東茂名·高三茂名市第一中學?？茧A段練習）已知點在圓：上，點，，則（

）A．點到直線的距離的最小值是 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．當為直角三角形時，其面積為347．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）設O為坐標原點，A為圓C：上一個動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．48．（2023秋·廣東江門·高二新會陳經綸中學?？茧A段練習）過直線上的一點P向圓作兩條切線．設與的夾角為θ，則的最大值為．49．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點在直線上運動，過作的兩條切線，切點分別為、，當四邊形的面積最小時，．考點九利用對稱性求最值50．（2023秋·廣東清遠·高二校聯考期中）已知圓上一動點和定點，點為軸上一動點，則的最小值為．51．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市玉巖中學?？计谥校cP在直線上運動，點Q在圓上運動，，則的最小值為（

）A． B．13 C．12 D．52．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）已知直線與直線相交于點P，圓交y軸正半軸于M，若N是圓C上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．53．（2023秋·廣東深圳·高二紅嶺中學?？计谥校┮阎c，是軸上的動點，是圓上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．54．（2023秋·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）已知點，且點在圓上，為圓心，則下列說法錯誤的是（

）A．的最小值為 B．當最大時，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為考點十阿波羅尼斯圓的逆用55．（2023春·廣東東莞·高三東莞實驗中學?？奸_學考試）對平面上兩點A、B，滿足的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，命名為阿波羅尼斯圓，稱點A，B是此圓的一對阿波羅點．不在圓上的任意一點都可以與關于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在圓內，另一點在圓外，系數只與阿波羅點相對于圓的位置有關．已知，，，若動點P滿足，則的最小值是．56．（2023秋·廣東江門·高二校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名的數學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯