考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷1（共234題）

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷1（共9套）（共234題）考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)曲線y=y(x)滿足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)與直線x=1及x軸所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則y(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為=一1，其通解為V==x+Cx2。曲線y=C+Cx2與直線x=1及x軸所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V(C)=π∫01(x+Cx2)2dx=。故C=是唯一的極值點(diǎn)，則為最小值點(diǎn)，所以y=x一x2。2、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)線性無關(guān)的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齊次線性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)與(y2一y3)線性無關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故本題的答案為D。3、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：已知題設(shè)的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為λ=1，λ=±2i，所以特征方程為(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根據(jù)微分方程和對(duì)應(yīng)特征方程的關(guān)系，可知所求微分方程為y’’’一y’’+4y’一4y=0。4、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：齊次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程為λ2一3λ+2=0，特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故選D。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、微分方程y’=的通解是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Cxe－x(x≠0)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程等價(jià)為兩邊積分得ln｜y｜=ln｜x｜－x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe－x(x≠0)。6、微分方程xy’+y=0滿足初始條件y(1)=2的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為(xy)’=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即y=。7、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+C)cosx知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用一階線性微分方程的通解公式可知y=e－∫tanxdx[∫cosx．e∫tanxdxdx+C]=(x+C)cosx。8、微分方程y’+y=e－xcosx滿足條件y(0)=0的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e－xsinx知識(shí)點(diǎn)解析：原方程的通解為y=e－∫1dx(∫e－xcosx．e∫1dxdx+C)=e－x(∫cosxdx+C)=e－x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求解為y=e－xsinx。9、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0滿足y｜x=1=的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x3知識(shí)點(diǎn)解析：公式法。原方程變形為，由一階線性微分方程通解公式得10、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知識(shí)點(diǎn)解析：顯然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，且y*=一xe2x是非齊次微分方程的一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2ex一xe2x。11、微分方程y’’一y’+y=0的通解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(C1+C2x)知識(shí)點(diǎn)解析：二階齊次微分方程的特征方程為λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=。因此齊次方程的通解為y=(C1+C2x)。12、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的特征方程為λ2一2λ+2=0，解得其特征根為λ1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可設(shè)原方程的特解為y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解為y=C1excosx+C2exsinx+ex。13、若二階常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+by’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex，則非齊次方程y’’+ay’+by=x滿足條件y(0)=2，y’(0)=0的特解為y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(1一ex)+2知識(shí)點(diǎn)解析：由常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex為其兩個(gè)線性無關(guān)的解，代入齊次方程，有y1’’+ay1’+by1=(1+a+b)ex=01+a+b=0，y2’’+ay2’+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=02+a=0，從而a=一2，b=1，故非齊次微分方程為y’’+ay’+by=x。設(shè)特解y*=Ax+B，代入非齊次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即所以特解為y*=x+2，非齊次方程的通解為y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解為y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程為λ2一3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。即對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=C1e2x+C2ex。設(shè)非齊次方程的特解為y*=(ax+b)xex，則有(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex。(y*)’’=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解為y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(t)連續(xù)并滿足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(t)連續(xù)，因此∫0tf(s)sinsds可導(dǎo)，從而f(t)可導(dǎo)，于是f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，利用公式f(t)=e∫sintdt[∫－2sin2t．e∫sintdtdt+C]，由f(0)=1得C=e。因此，f(t)=e1－cost+4(cost一1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。16、試將x=x(y)所滿足的微分方程=0變換為y=y(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知，于是有代入原微分方程得y’’一y=sinx。(*)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程y’’一y=0的通解為Y=C1ex+C2e－x。設(shè)方程(*)的特解為y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求得A=0，sinx，因此y’’一y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e－x一sinx。由y(0)=0，y’(0)=，得C1=1，C2=一1。故所求初值問題的特解為y=ex—e－x一sinx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(μ，ν)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e－2xf(x，x)，有y’(x)=一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)滿足一階線性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解為y(x)=e－2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部積分公式，可得∫sin2x．e2xdx=(sin2x—cos2x)e2x，所以y(x)=(sin2x—cos2x)+Ce－2x。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分。求曲線y=f(x)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x，y)處的法線方程為Y一y=(X一x)，令X=0，則它與y軸的交點(diǎn)為(0，y+)。由題意，此點(diǎn)與點(diǎn)P(x，y)所連的線段被x軸平分，由中點(diǎn)公式得=0，即2ydy+xdx=0，上式兩端積分得+y2=C(C為任意常數(shù))，代入初始條件，故曲線y=f(x)的方程為，即x2+2y2=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y’(x)＞0，y(0)=1。過曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1一S2恒為1，求曲線y=y(x)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y=y(x)上的點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X—x)，它與x軸的交點(diǎn)為(x一，0)。由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是S1=。又可得s2=∫0xy(t)dt。根據(jù)題設(shè)2S1一S2=1，有一∫0xy(t)dt=1。并且y’(0)=1，兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得yy’’=(y’)2，這是可降階的二階常微分方程，令p(y)=y’，則上述方程可化=p2，分離變量得從而有y=C2eC1x。根據(jù)y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲線的方程為y=ex。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、如圖1—5—1，C1和C2分別是y=(1+ex)和y=ex的圖象，過點(diǎn)(0，1)的曲線C3是一單調(diào)增函數(shù)的圖象。過C2上任一點(diǎn)M(x，y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly。記C1，C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2，C3與ly所圍圖形的面積為S2(y)。如果總有S1(x)=S2(y)，求曲線C3的方程x=φ(y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件S1(x)=∫0x[et一(1+et)]dt=(et—t)｜0x=(ex一x一1)，S2(y)=∫1y(lnt一φ(t)dt，故有(ex一x一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt，而y=ex，于是(y一lny一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt，兩邊對(duì)y求導(dǎo)得=lny一φ(y)，故所求的函數(shù)關(guān)系為x=φ(y)=lny—。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=φ(y)(y≥0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器的底面圓的半徑為2m。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3／min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以πm2／min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體)。22、根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與φ(y)之間的關(guān)系式；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在t時(shí)刻，液面的高度為y，此時(shí)液面的面積為A(t)=πφ2(y)，由題設(shè)，液面的面積將πm2／min的速率均勻擴(kuò)大，可得所以φ2(y)=t+C。由題意，當(dāng)t=0時(shí)φ(y)=2，代入得C=4，于是得φ2(y)=t+4。從而t=φ2(y)一4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求曲線x=φ(y)的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：液面的高度為Y時(shí)，液體的體積為V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ，由題設(shè)，以3m3／min的速率向容器內(nèi)注入液體，得[π∫0yφ2(μ)dμ]=3，所以π∫0yφ2(μ)dμ=3t=3φ2(y)一12，上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)，即φ(y)，解此微分方程，得φ(y)=，其中C為任意常數(shù)。由φ(0)=2知C=2，故所求曲線方程為x=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度ν之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)。試建立y與ν所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(ν)。標(biāo)準(zhǔn)答案：選取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)O，Oy軸正向取鉛直向下，則根據(jù)牛頓第二定律得=mg一Bρ一kν，這是一個(gè)可降階的二階微分方程，其中ν=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y｜x=2=1的特解為()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得，兩端積分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，將y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。應(yīng)選C。2、設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y’+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μλ2是該方程的解，λy1一μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件可得由λy1+μy2仍是該方程的解，得(λy1’+μxy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，則λ+μ=1；由λy1一μy2是所對(duì)應(yīng)齊次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。綜上所述λ=μ=。3、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求方程的三個(gè)特解知，λ=一1，一1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個(gè)根，則其特征方程為(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ—1=0，對(duì)應(yīng)的微分方程為y’’’+y’’一y’一y=0，故選B。4、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+C的解，則()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，則xex是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，則a=1。x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故選B。5、微分方程y’’一λ2y=eλx+e－λx(λ＞0)的特解形式為()A、a(eλx+e－λx)。B、ax(eλx+e－λx)。C、x(axλx+be－λx)。D、x2(aeλx+be－λx)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一λ2=0，其特征根為r1，2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解為y2*=bxe－λx，根據(jù)疊加原理可知原方程的特解形式為y*=y1*+y2*=x(aeλx＋be－λx)，因此選C。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=tan[(1+x)2+C]知識(shí)點(diǎn)解析：將已知微分方程變形整理得，=(1+x)(1+y2)，則=(1+x)dx，兩邊積分可得，arctany=(1+x)2+C，因此y=tan[(1+x)2+C]。7、微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xe1－x知識(shí)點(diǎn)解析：此方程為一階齊次微分方程，令y=μx，則有，所以原方程可化為μ+=μlnμ，μx=1=1。解此微分方程得ln｜lnμ-1｜=ln｜C1x｜，去絕對(duì)值可得lnμ=C1x+1，μ=eC1x＋1，將μ｜x=1=1代入，得C1=－1，μ=e1－x，因此原方程的解為y=xe1－x。8、微分方程xy’+2y=sinx滿足條件y｜x=π=的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(sinx-xcosx)知識(shí)點(diǎn)解析：將已知方程變形整理得，，根據(jù)通解公式得，y==(sinx—xcosx+C)，由y｜x=π=，得C=0，因此y=(sinx—xcosx)。9、微分方程(y+x2e－x)dx一xdy=0的通解是y=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x(一e－x+C)知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程(y+x2e－x)dx—xdy=0，可變形為=xe－x。所以其通解為y==x(一e－x+C)。10、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0滿足條件y｜x=1=1的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)原微分方程變形可得=3y。此方程為一階線性微分方程，所以x=，又y=1時(shí)x=1，解得C=0，因此x=y2。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1+知識(shí)點(diǎn)解析：令p=y’，則原方程化為p’+p=0，其通解為p=Cx－3。因此，y=∫Cx－3dx=C1一。12、微分方程y’’一4y=e2x的通解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e－2x+(C2+x)e2x知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程為λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解為y1=C1e－2x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。由于非齊次項(xiàng)為f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程可求出A=。故所求通解為y=C1e－2x+(C2+x)e2x。13、微分方程y’’一3y’+2y=2ex滿足=1的特解為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一3ex+3e2x一2xex知識(shí)點(diǎn)解析：y’’一3y’+2y=2ex對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的兩個(gè)特征根分別是λ1=1，λ2=2。因此對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=C1ex+C2e2x。又因?yàn)閤=1是特征方程的單根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為y*=Axex，則(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，將以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex。由所給題設(shè)條件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、求微分方程(x2一1)dy+(2xy一cosx)dx=0滿足y(0)=1的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：整理微分方程(x2一1)dy＋(2xy－cosx)dx=0，得，先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，解得ln｜y｜=一｜lnx2一1｜＋C，即有y=。將上式代入原微分方程得到，故C(x)=sinx+c，則原微分方程的解為y=。又因?yàn)閥(0)=1，代入上式得到c=一1，則原微分方程的解為y=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求微分方程y’’(x+y’2)=y’滿足初始條件y(1)=y’(1)=1的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：因本題不含y，所以可設(shè)y’=p，于是y’’=p’，因此原方程變?yōu)閜’(x+p2)=p，從而有+p，解之得x=p(p+C)。將P(1)=1代入x=p(p+c)得C=0。于是x=p2，所以y’=+C1，結(jié)合y(1)=1得C1=。故y=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=1，且滿足等式f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。16、求導(dǎo)數(shù)f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得(x+1)f’’(x)=一(x+2)f’(x)，即有。兩邊積分，得ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以f’(x)=。在題設(shè)等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表達(dá)式，得C=一1，故有f’(x)=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、證明：當(dāng)x≥0時(shí)，成立不等式e－x≤f(x)≤1。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)中結(jié)果知，當(dāng)x≥0時(shí)，f’(x)＜0，即f(x)單調(diào)減少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。設(shè)φ(x)=f(x)一e－x，則φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e－x=e－x，當(dāng)x≥0時(shí)，φ’(x)≥0，即φ(x)單調(diào)增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e－x。綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e－x≤f(x)≤1成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、利用代換y=將方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y==μsecx，得y’=μ’secx+μsecxtanx，y’’=μ’’secx+2μ’secxtanx+μ(secxtan2x+sec3x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得μ’’+4μ=ex。(*)先求其相應(yīng)齊次方程的通解。由于其特征方程為λ2+4=0，則特征方程的根為λ=±2i。所以通解為=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2為任意常數(shù))。再求非齊次方程的特解。設(shè)其特解為μ*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得ex。故(*)的通解為μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1，C2為任意常數(shù))。所以，原微分方程的通解為y=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=y(x)是區(qū)間(一π，π)內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，函數(shù)y(x)滿足y’’+y+x=0。求函數(shù)y(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，法線均過原點(diǎn)，所以有y=，即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又，代入y2=一x2+C得C=π2，從而有x2+y2=π2，即y=。當(dāng)0≤x＜π時(shí)，y’’+y+x=0，得其對(duì)應(yīng)齊次微分方程y’’+y=0的通解為y*=C1cosx+C2sinx。設(shè)其特解為y1=Ax+B，則有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解為y=C1cosx+C2sinx一x。因?yàn)閥=y(x)是(一π，π)內(nèi)的光滑曲線，故y在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，所以由已知得y｜x=0=π，y｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過點(diǎn)(，0)。20、(I)試求曲線L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線L過點(diǎn)P(x，y)的切線方程為Y一y=y’(X一x)，令X=0，則Y=－xy’+y，即它在y軸上的截距為－xy’+y。根據(jù)距離公式，點(diǎn)P(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為。故由題設(shè)條件得一xy’+y=(x＞0)，即得y’=(x＞0)，此為一階齊次微分方程，令y=μx，則，代入上式，方程變?yōu)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)知曲線的方程為y=一x2，則y’=一2x，點(diǎn)P(x，y)=P(x，一x2)，所以在點(diǎn)P處的切線方程為Y一(一x2)=一2x(X一x)，分別令X=0，Y=0，解得在y軸，x軸上的截距分別為x2+。此切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為A(x)=(4x2+1)2，x＞0。由于該曲線在第一象限中與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積為定值，記為S0，于是題中所求的面積為S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2一S0，求最值點(diǎn)時(shí)與S0無關(guān)，而S’(x)=，令S’(x)=0，得x=，S’(x)＞0。根據(jù)極值存在的第一充分條件知，x=是S(x)在x＞0時(shí)的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，于是所求切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=y(x)是凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(x，y)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程，并求函數(shù)y=y(x)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)及曲率公式，有，(因曲線)y=y(x)是凸的，所以y’’＜0，｜y’’｜=一y’’。)化簡(jiǎn)得=一dx，兩端同時(shí)積分解得arctany’=一x+C1。由題設(shè)，曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1。以x=0代入上式，得C1=。(本題選擇是因?yàn)橐阎€在X=0處有值，且曲線是一條連續(xù)曲線，因此該解的范圍應(yīng)該包含X=0在內(nèi)并且使y(X)連續(xù)的一個(gè)區(qū)間。)對(duì)上式積分得又由題設(shè)可知y(0)=1，代入上式，得C2=1一，于是所求的曲線方程為y=。由于cos(一x)≤1，且lnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)cos(一x)=1時(shí)，即x=，所以此時(shí)y取極大值，極大值為y=1+ln2，顯然y在沒有極小值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、假設(shè)：①函數(shù)y=f(x)(0≤x≤+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；②平行于y軸的動(dòng)直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點(diǎn)P1和P2；③曲線y=f(x)，直線MN與x軸所圍成的封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度。求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，兩端求導(dǎo)，得f(x)=ex一f’(x)，即有f’(x)+f(x)=ex。由一階線性方程求解公式，得f(x)=e－x[∫ex．exdx+C]=Ce－x+ex。由f(0)=0得C=，因此所求函數(shù)為f(x)=(ex一e－x)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)是區(qū)間[0，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)=1。對(duì)任意的t∈[0，+∞)，直線x=0，x=t，曲線y=f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體。若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：旋轉(zhuǎn)體的體積公式V=π∫0tf2(x)dx，側(cè)面積公式S=2π∫0tf(x)，根據(jù)已知∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)，上式兩端對(duì)t求導(dǎo)得由分離變量法解得y+=Cet。將y(0)=1代入，知C=1，故因此，所求函數(shù)為y=f(x)=(ex+e－x)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)φ1(χ)，φ2(χ)為一階非齊次線性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(χ)＋φ2(χ)]B、C[φ1(χ)－φ2(χ)]C、C[φ1(χ)－φ2(χ)]－φ2(χ)D、[φ1(χ)－φ2(χ)]＋Cφ2(χ)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(χ)，φ2(χ)為方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的兩個(gè)線性無關(guān)解，所以φ1(χ)－φ2(χ)為方程y′＋P(χ)y＝0的一個(gè)解，于是方程y＋P(χ)y＝Q(χ)的通解為C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)，選C．2、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)為微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0滿足初始條件y(0)＝1的解，則y(χ)dχ為()．A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，積分得ln(χ2－1)＋lny＝lnC，從而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此選D．3、微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e-2χ的特解形式為()．A、(aχ＋b)e-2χB、aχ2e-2χC、(aχ2＋bχ)e-2χD、χ2(aχ＋b)e-2χ標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樵匠痰奶卣鞣匠痰奶卣髦禐棣?＝－2，λ2＝3，而－2為其中一個(gè)特征值，所以原方程的特解形式為χ(aχ＋b)e－2χ，選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)＝dt＋eχ，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2χ－eχ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2知識(shí)點(diǎn)解析：令y′＝p，則，兩邊積分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝C1(2χ＋3)3，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2．6、yy〞＝1＋y′2滿足初始條件y(0)＝1，y′(0)＝0的解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜y＋｜＝±χ知識(shí)點(diǎn)解析：令y′＝p，則yp＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，則1＋p2＝C1Y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，ln｜y＋＋C2＝±χ，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解為ln｜y＋｜＝±χ．7、微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程兩個(gè)特征值為λ1＝－2i，λ2＝2i，則微分方程的通解為y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2．8、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)過原點(diǎn)，在原點(diǎn)處的切線平行于直線y＝2χ＋1，又y＝y(tǒng)(χ)滿足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程為λ2－6λ＋9＝0，特征值為λ1＝λ2＝3，令y〞＝6y′＋9y＝e3χ的特解為y0(χ)＝aχ2e3χ代入得以a＝，故通解為y＝(C1＋C2χ)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，則y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．9、微分方程2y〞＝3y2滿足初始條件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2－λ＝0，特征值為λ1,2＝，則原方程的通解為y＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e-χ－3e2χ為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ為特解，所以e2χ，e－χ也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1＝－1，λ2＝－2，特征方程為(λ＋1)(λ－2)＝0即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程為y〞－y′－2y＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)eχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋2λ－3＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝－3，則y〞＋2y′－3y＝0的通解為y＝C1eχ＋C2e－3χ．令原方程的特解為y0＝χ(aχ＋b)eχ，代入原方程得，所以原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e－3χ＋(2χ2＋χ)eχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求y〞－2y′－e2χ＝0滿足初始條件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程化為y〞－2y′＝e2χ．特征方程為λ2－2λ＝0，特征值為λ1＝0，λ2＝2，y〞－2y′＝0的通解為y＝C1＋C2e2χ．設(shè)方程y〞－2y′＝e2χ的特解為y0＝Aχe2χ代入原方程得A＝，原方程的通解為y＝C1＋C2e2χ＋χe2χ．由y(0)＝1，y′(0)＝1得解得故所求的特解為y＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋4λ＋4＝0，特征值為λ1＝λ2＝－2，原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ．(1)當(dāng)a≠－2時(shí)，因?yàn)閍不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(χ)＝Aeaχ，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋；(2)當(dāng)a＝－2時(shí)，因?yàn)閍＝－2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(χ)＝Aχ2e－2χ，代入原方程得A＝，則原方程的通解為y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋χ2e－2χ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋1＝0，特征值為λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ．對(duì)方程y〞＋y＝χ3＋3，特解為y1＝χ2＋1；對(duì)方程y〞＋y＝cosχ，特解為χsinχ，原方程的特解為χ2＋1＋χsinχ，則原方程的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)，阻力F＝ma＝，則有，解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝得t＝ln3，從開始到t＝ln3的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)與f(χ)的幾何平均數(shù)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得，令a＝，則有∫0χf(t)dt＝兩邊求導(dǎo)得，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)曲線L位于χOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L經(jīng)過點(diǎn)()，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(χ，y)，則切線MA：Y－y＝y(tǒng)′(X－χ)．令X＝0，則Y＝y(tǒng)－χy′，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y－χy′)．由｜MA｜－｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′－y2＝－χ，或者＝－χ，則y2＝＝χ(－χ＋C)，因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)()，所以C＝3，再由曲線經(jīng)過第一象限得曲線方程為y＝(0＜χ＜3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點(diǎn)P(χ，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ的長度的倒數(shù)(Q為法線與χ軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與χ軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y＝y(tǒng)(χ)，該曲線在點(diǎn)P(χ，y)的法線方程為Y－y＝－(X－χ)(y′≠0)令Y＝0，得X＝χ＋yy′，該點(diǎn)到χ軸法線段PQ的長度為由題意得，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，則y〞＝，則有＝1＋p2，或者，兩邊積分得y＝，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，所以y′＝，變量分離得＝±dy，兩邊積分得ln(y＋)＝±χ＋C2，由y(1)＝1得C2＝，兩式相加得y＝＝ch(χ－1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時(shí)后體積為原來的，求全部融化需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻雪堆的半徑為r，則有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，則于是有r＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小時(shí)雪堆可以全部融化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0圍成的平面區(qū)域繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)得f(χ)＝[a∫(χ－1)e∫－1dχdχ＋C]e－∫－dχ＝Ceχ－av，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ－aχ．V(a)＝由V′(a)＝＝0得a＝3，因?yàn)閂〞(a)＝＞0，所以當(dāng)a＝3時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(χ)＝eχ－3χ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(χ)在(－1，＋∞)內(nèi)連續(xù)且f(χ)－tf(t)dt＝1(χ＞－1)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ)－tf(t)dt＝1得(χ＋1)f(χ)－∫0χtf(t)dt＝χ＋1，兩邊求導(dǎo)得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1，由f(0)＝1得C＝3，故f(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(χ)是連續(xù)函數(shù)．(1)求初值問題的解，其中a＞0；(2)若｜f(χ)｜≤k，證明：當(dāng)χ≥0時(shí)，有｜f(χ)｜≤(eaχ－1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)y′＋ay＝f(χ)的通解為y＝[∫0χf(t)eatdt＋C]e－aχ，由y(0)＝0得C＝0，所以y＝e－aχ∫0χf(t)eatdt．(2)當(dāng)χ≥0時(shí)，因?yàn)閑－aχ≤1，所以｜y｜≤(eaχ－1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，在(－∞，＋∞)求連續(xù)函數(shù)y(χ)，使其在(－∞，1)及(1，＋∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ＜1時(shí)，y′－2y＝2的通解為y＝C1e2χ－1，由y(0)＝0得C1＝1，y＝e2χ－1；當(dāng)χ＞1時(shí)，y′－2y＝0的通解為y＝C2e2χ，根據(jù)給定的條件，y(1＋0)＝C2e2＝y(tǒng)(1－0)＝e2－1，解得C2＝1－e-2，y＝(1－e-2)e2χ，補(bǔ)充定義y(1)＝e2－1，則得在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、利用變換z＝arctant將方程cos4χ＋cos2χ(2－sin2χ)＋y＝tanχ化為y關(guān)于t的方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入整理得＋y＝t．＝0的特征方程為λ2＋2λ＋1＝0，特征值為λ1＝λ2＝－1，則＝t的通解為y＝(C1＋C2t)e-t＋t－2，故原方程通解為y＝(C1＋C2tanχ)e-tanχ＋tanχ－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)為偶函數(shù)，且滿足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫0χf(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0χf(t－χ)dt＝－∫0χ(t－χ)d(χ－t)＝－∫χ0f(－u)du＝∫0χf(u)du，則有f′(χ)＋2f(χ)－3∫0χf(u)du＝－3χ＋2，因?yàn)閒(χ)為偶函數(shù)，所以f′(χ)是奇函數(shù)，于是f′(0)＝0，代入上式得f(0)＝1．將f′(χ)＋2f(χ)－3∫0χf(u)du＝－3χ＋2兩邊對(duì)χ求導(dǎo)數(shù)得f〞(χ)＋2f′(χ)－3f(χ)＝－3，其通解為f(χ)＝C1eχ＋C2e－3χ＋1，將初始條件代入得f(χ)＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y〞＋ay′＋by＝ceχ有特解y＝e2χ＋(1＋χ)eχ，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y＝e2χ＋(1＋χ)eχ代入原方程得(4＋2a＋b)e2χ＋(3＋2a＋b)eχ＋(1＋a＋b)χeχ＝ceχ，則有解得a＝－3，b＝2，c＝－1，原方程為y〞－3y′＋2y＝－eχ．原方程的特征方程為λ2－3λ＋2＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝2，則y〞－3y′＋2y＝0的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ，于是原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ＋e2χ＋(1＋χ)eχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)u＝且二階連續(xù)可導(dǎo)，又＝2且＝0，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝2得f(1)＝0，f′(1)＝2，令＝r，則得f〞(r)＋f′(r)＝0或rf〞(r)＋f′(r)＝0，解得rf′(r)＝C1，由f′(1)＝2得C1＝2，于是f′(r)＝，f(r)＝lnr2＋C2，由f(1)＝0得C2＝0，所以f(χ)＝lnχ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0．(1)求f′(χ)；(2)證明：當(dāng)χ≥0時(shí)，e－χ≤f(χ)≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫0χf(t)dt＝0，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得(χ＋1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ)再由f(0)＝1，f′(o)＋f(0)＝0，得f′(0)＝－1，所以C＝－1，于是f′(χ)＝－．(2)當(dāng)χ≥0時(shí)，因?yàn)閒′(χ)＜0且f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1．令g(χ)＝f(χ)－e－χ，g(0)＝0，g′(χ)＝f′(χ)＋e－χ＝e－χ≥0，由f(χ)≥e－χ(χ≥0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)C，C1，C2，C3是任意常數(shù)，則以下函數(shù)可以看作某個(gè)二階微分方程的通解的是A、y=C1x2+C2x+C3．B、x2+y2=C．C、y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．D、y=C1sin2x+C2cos2x．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：僅有D含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)C1與C2，選D．2、設(shè)y1(x)、y2(x)為二階變系數(shù)齊次線性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的兩個(gè)特解，則C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2為任意常數(shù))是該方程通解的充分條件為A、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題目的要求，y1(x)與y2(x)應(yīng)該線性無關(guān)，即≠λ(常數(shù))．反之，若這個(gè)比值為常數(shù)，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用線性代數(shù)的知識(shí)，就有y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．所以，B成立時(shí)，y1(x)，y2(x)一定線性無關(guān)，應(yīng)選B．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)3、已知(x－1)y"－xy’+y=0的一個(gè)解是y1=x，又知y=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的解，則此方程的通解是y=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：C1x+C2ex－x2－1知識(shí)點(diǎn)解析：由非齊次方程(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的兩個(gè)特解與y*可得它的相應(yīng)齊次方程的另一特解－y*=ex－x，事實(shí)上y2=(ex－x)+x=ex也是該齊次方程的解，又ex與x線性無關(guān)，因此該非齊次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2為任意常數(shù)．4、微分方程y"+6y’+9y=0的通解y=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(C1+C2)e－3x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解為y=(C1+C2)e－3x，其中C1，C2為任意常數(shù)．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)5、求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy"=2(y’2－y’)滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)此方程不顯含y．令p=y’，則原方程化為xp’=plnp．當(dāng)p≠1時(shí)，可改寫為，其通解為ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=這樣，原方程的通解即為y=+C2，其中C1≠0，C2為任意常數(shù)．當(dāng)p=1時(shí)，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不顯含x．令p=y’，且以y為自變量，，原方程可化為=2(p2－p)．當(dāng)p≠0時(shí)，可改寫為=2(p－1)或，解為p－1=C1y2．再利用p=y’，以及初始條件，可推出常數(shù)C1=1．從而上述方程為變量可分離的方程y’=1+y2=>其通解為y=tan(x+C2)．再一次利用初始條件y(0)=1，即得C2=．所以滿足初始條件的特解為y=tan(x+)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令tx=s，原方程改寫成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．①(x=0時(shí)兩端自然成立，不必另加條件．)將②直接積分得f(x)==－xsinx+cosx+C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、求下列方程的通解：(Ⅰ)y"－3y’=2－6x；(Ⅱ)y"+y=cosxcos2x．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求相應(yīng)齊次方程的通解，由于其特征方程為λ2－3λ=λ(λ－3)=0，所以通解為=C1+C2e3x．再求非齊次方程的特解，由于其自由項(xiàng)為一次多項(xiàng)式，而且0是特征方程的單根，所以特解應(yīng)具有形式y(tǒng)*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]"－3[y*(x)]’=2A－3(2Ax+B)=－6Ax+2A－3B=2－6x．比較方程兩端的系數(shù)，得解得A=1，B=0，即特解為y*(x)=x2．從而，原方程的通解為y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2為任意常數(shù)．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根據(jù)線性微分方程的疊加原理，可以分別求出y"+y=的特解y1*(x)與y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2+1=0，特征根為±i，所以其通解應(yīng)為C1cosx+C2sinx；同時(shí)y"+y=cosx的特解應(yīng)具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．即y1*(x)=另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解應(yīng)具形式y(tǒng)2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．這樣，即得所解方程的通解為y(x)=+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)曲線L位于Oxy平面的第一象限內(nèi)，過L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，把交點(diǎn)記作A，則總有長度，若L過點(diǎn)，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)L的方程為y=y(x)，過點(diǎn)M(x，y(x))的切線與y軸的交點(diǎn)為A(0，y(x)－xy’(x))，又=x2+[y(x)－(y(x)－xy’(x))]2=x2+x2y’2，=(y－xy’)2，按題意得x2+x2y’2=(y－xy’)2，即2xyy’－y2=－x2．積分得ln(1+u2)=－lnx+C1，1+u2=代入u=得y2+x2=Cx．由初始條件，得C=3．因此L的方程為y2+x2=3x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)熱水瓶內(nèi)熱水溫度為T，室內(nèi)溫度為T0，t為時(shí)間(以小時(shí)為單位)．根據(jù)牛頓冷卻定律知：熱水溫度下降的速率與T－T0成正比．又設(shè)T0=20％，當(dāng)t=0時(shí)，T=100℃，并知24小時(shí)后水瓶內(nèi)溫度為50℃，問幾小時(shí)后瓶內(nèi)溫度為95℃?標(biāo)準(zhǔn)答案：溫度變化的速率即，牛頓冷卻定律給出了這個(gè)變化率滿足的條件，寫出來它就是溫度T所滿足的微分方程：=－k(T－T0)，其中k為比例常數(shù)，且k＞0．其通解為T=T0+Ce－kt．再由題設(shè)：T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以這樣，溫度T=20+80．若T=95,則t==1．58,即在1．58小時(shí)后熱水的溫度降為95℃．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、要設(shè)計(jì)一形狀為旋轉(zhuǎn)體水泥橋墩，橋墩高為h，上底面直徑為2a，要求橋墩在任意水平截面上所受上部橋墩的平均壓強(qiáng)為常數(shù)p．設(shè)水泥的比重為ρ，試求橋墩的形狀．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先建立坐標(biāo)系，如圖6．3所示，x軸為橋墩中心軸，y軸為水平軸．設(shè)橋墩側(cè)面的曲線方程為y=y(x)．其次列出y(x)滿足的方程．由于頂面的壓強(qiáng)也為p，則頂面承受的壓力為F=pπa2．考察中心軸上點(diǎn)x處的水平截面上所受總壓力，它應(yīng)等于壓強(qiáng)×截面積=pπy2(x)，另一方面又等于頂面的壓力+該截面上方橋墩的重量=pπa2+∫xhρπy2(s)ds．于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds．再將積分方程轉(zhuǎn)化為微分方程的初值問題．將上述方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2pπyy’=－ρπy2．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到最后求解初值問題．這是一階線性齊次方程的初值問題，易求得y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求下列方程的通解：(Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；(Ⅱ)xy’=+y．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)屬于變量可分離的方程．分離變量改寫為=(sinlnx+coslnx+a)dx．兩端求積分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx，所以通解為ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C1，或y=cexsin(lnx)+ax，其中C為任意常數(shù)．(Ⅱ)屬齊次方程．令y=xu，并且當(dāng)x＞0時(shí)，原方程可化為兩端求積分，則得arcsinu=lnx+C，即其通解為=lnx+C，其中C為任意常數(shù)．當(dāng)x＜0時(shí)，上面的方程變?yōu)?，其通解?yīng)為=－ln｜x｜+C，其中C為任意常數(shù)．所得通解公式也可統(tǒng)一為y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此處還需注意，在上面作除法過程中丟掉了兩個(gè)特解a=±1，即y=±x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求解二階微分方程的初值問題標(biāo)準(zhǔn)答案：此方程不顯含x，令p=y’，并以y為自變量，則y"=，并且方程變?yōu)槠浣鉃?+p2=Cy2．代入初始條件，可知C=1，即p2=y’2=y2－1，從而±dx．這是一個(gè)變量可分離的方程，兩端求積分(ln(y+)=±x+c)，并代入初始條件，則無論右端取正號(hào)，還是取負(fù)號(hào)，其結(jié)果均為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求微分方程xy"－y’=x2的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程看作不顯含y的二階方程，則屬于可降階的范圍．令p=y’，p’=y"，代入原方程，則化為p的一階線性非齊次方程xp’－p=x2，即p’－=x．而，于是兩邊同乘=1．因此y’=p=Cx+x2．再積分一次，即得原方程的通解為y=x3+C1x2+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、利用代換u=ycosx將微分方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令ycosx=u，則y=usecx，從而y’=u’secx+usecxtanx．y"=u"secx+2u’secxtanx+usecxtan2x+usec2x．代入原方程，則得u"+4u=ex．這是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次方程，其通解為u=+C1cos2x+C2sin2x．代回到原未知函數(shù)，則有y=+2C2sinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、當(dāng)△x→0時(shí)α是比△x較高階的無窮小量，函數(shù)y(x)在任意點(diǎn)x處的增量△y=+α，且y(0)=π，求y(1)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先嘗試從△y的表達(dá)式直接求y(1)．為此，設(shè)x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)－y(x0)=y(1)－y(0)=y(1)－π，代入△y的表達(dá)式即得y(1)－π=π+α<=>y(1)=2π+α．由于僅僅知道當(dāng)△x→0時(shí)α是比△x較高階的無窮小，而不知道α的具體表達(dá)式，因而從上式無法求出y(1)．由此可見，為了求出y(1)必須去掉△y的表達(dá)式中包含的α．利用函數(shù)的增量△y與其微分dy的關(guān)系可知，函數(shù)y(x)在任意點(diǎn)x處的微分這是一個(gè)可分離變量方程，它滿足初始條件y｜x=0=π的特解正是本題中的函數(shù)y(x)，解出y(x)即可得到y(tǒng)(1)．將方程dy=分離變量，得求積分可得由初始條件y(0)=π可確定，從而y(1)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)是以ω為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：一階線性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω為周期的特解，并求此特解，其中k≠0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：此線性方程的通解即所有解可表示為y(x)=e－kx[C+∫0xf(t)ektdt].y(x)以ω為周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即對(duì)應(yīng)于這個(gè)C的特解就是以ω為周期的函數(shù)，而且這樣的常數(shù)只有一個(gè)，所以周期解也只有一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求下列方程的通解或特解：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)相應(yīng)齊次方程的特征方程λ2－4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解y*=ax2+bx+c，代入方程得2a－4(ax2+bx+c)=4x2．=>－4a=4，b=0，2a－4c=0=>a=－1，c==>y*=－x2－=>通解為y=C1e2x+C2e－2x－x2－．(Ⅱ)相應(yīng)齊次方程的特征方程λ2+3λ+2=0，特征根λ1=－1，λ2=－2．由于非齊次項(xiàng)是e－xcosx，－1±i不是特征根，所以設(shè)非齊次方程有特解y*=e－x(acosx+bsinx)．代入原方程比較等式兩端e－xcosx與e－xsinx的系數(shù)，可確定出，所以非齊次方程的通解為y=C1e－x+C2e－2x+e－x(sinx－cosx)，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)y=y(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且在x＞0處的增量△y=y(x+△x)－y(x)滿足△y(1+△y)=+α，其中當(dāng)△x→0時(shí)α是△x的等價(jià)無窮小，又y(0)=2，求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)等式可得從而y=y(x)是如下一階線性微分方程初值問題的特解：方程兩邊乘，兩邊積分得=C+ln(4+x)<=>y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)．令x=0，y=2可確定常數(shù)C=－2ln2，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)有微分方程y’－2y=φ(x)，其中φ(x)=，試求：在(－∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，由于其自由項(xiàng)為分段函數(shù)，所以應(yīng)分段求解，并且為保持其連續(xù)性，還應(yīng)將其粘合在一起．當(dāng)x＜1時(shí)，方程y’－2y=2的兩邊同乘e－2x得(ye－2x)’=2e－2x，積分得通解y=C1e2x－1；而當(dāng)x＞1時(shí)，方程y’－2y=0的通解為y=C2e2x．為保持其在x=1處的連續(xù)性，應(yīng)使C1e2－1=C2e2，即C2=C1－e－2，這說明方程的通解為再根據(jù)初始條件，即得C1=1，即所求特解為y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的三個(gè)特解．試求其通解及該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求得該微分方程相應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)特解y1*－y3*=e－x，y2*－y3*=2e－x－e2x進(jìn)一步又可得該齊次方程的兩個(gè)特解是y1=e－x，y2=2(y1*－y3*)－(y2*－y3*)=e2x，它們是線性無關(guān)的．為簡(jiǎn)單起見，我們又可得該非齊次方程的另一個(gè)特解y4*=y1*－y2=xex．因此該非齊次方程的通解是y=C1e－x+C2e2x+xex，其中C1，C2為任意常數(shù)．由通解結(jié)構(gòu)易知，該非齊次方程是：二階線性常系數(shù)方程y"+py’+qy=f(x)．它的相應(yīng)特征根是λ1=－1，λ2=2，于是特征方程是(λ+1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2=0．因此方程為y"－y’－2y=f(x)．再將特解y4*=xex代入得(x+2)ex－(x+1)ex－2xex=f(x)，即f(x)=(1－2x)ex因此方程為y"－y’－2y=(1－2x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)p(x)在(a，b)連續(xù)，∫p(x)dx表示p(x)的某個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)，證明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閷?duì)任意常數(shù)C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又設(shè)y是原方程的任意一個(gè)解，則[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常數(shù)C，使得ye∫p(x)dx=C，即y=Ce－∫p(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、在[0，+∞)上給定曲線y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．已知x＞0，[0，x]上一段繞x軸旋轉(zhuǎn)所得側(cè)面積等于該段旋轉(zhuǎn)體的體積．求曲線y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，x]上側(cè)面積與體積分別為．按題意①y(0)=2．②(Ⅱ)轉(zhuǎn)化．將①式兩邊求導(dǎo)得2y(x)=y2(x)(在①中令x=0，得0=0，不必另附加條件)．化簡(jiǎn)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)曲線y=y(x)上點(diǎn)(x，y)處的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，求曲線y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)列方程．曲線y=y(x)在點(diǎn)(x，y)處的切線斜率為，與原點(diǎn)連線的斜率為(Ⅱ)解方程．將方程改寫為ydy+xdx=0，即d(x2+y2)=0．于是通解為x2+y2=C(C＞0為常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有一彈性輕繩(即重量忽略不計(jì))，上端固定，下端懸掛一質(zhì)量為3克的物體，又已知此繩受一克重量的外力作用時(shí)伸長厘米，如果物體在繩子拉直但并未伸長時(shí)放下，問此物體向下運(yùn)動(dòng)到什么地方又開始上升?標(biāo)準(zhǔn)答案：取物體剛放下時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，位移s，向下為正．s=?時(shí)，v(速度)=0．(Ⅰ)受力分析．彈性恢復(fù)力f=ks，由條件知g==>k=24g=>f=24gs，g為重力加速度．重力mg=3g．(Ⅱ)加速度表示．由題目的需要，加速度a=(Ⅲ)列方程與初始條件．由牛頓第二定律得=3g－24gs．初始條件：t=0時(shí)s(0)=0，=0=>v(s)｜s=0=0．(Ⅳ)求解初值問題分離變量得vdv=(g－8gs)ds=gs－4gs2+c．由v(0)=0=>c=0=>=gs－4gs2．(Ⅴ)當(dāng)物體開始向下運(yùn)動(dòng)到它再開始向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)v=0．解gs－4gs2=0得s=0，s=．因此，s=為所求．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式為()．A、ae2χ＋bχ＋cB、aχ2e2χ＋bχ＋cC、aχe2χ＋bχ2＋cχD、aχe2χ＋bχ＋c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y〞－4y＝0的特征方程為λ2＝4＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式為y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式為y2＝bχ＋c，故原方程特解形式為aχe2χ＋bχ＋c，選D．2、設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，則該微分方程為()．A、y″′－y〞－y′＋y＝0B、y″′＋y〞－y′－y＝0C、y″′＋2y〞－y′－2y＝0D、y″′－2y〞－y′＋2y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由y1＝eχ，y2＝2χe－χ，y3＝3e－χ為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程為(λ－1)2(χ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0，所求的微分方程為y″′－y＋y＝0，選A．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(χ＋C)cosχ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上非負(fù)連續(xù)，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2χ知識(shí)點(diǎn)解析：∫0χf(χt)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χ(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，則F2(χ)＝χ4＋C0．因?yàn)镕(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．5、連續(xù)函數(shù)f(χ)滿足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e3χ知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce-∫-3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，則C＝2，故f(χ)＝2e3χ．6、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)可導(dǎo)，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是當(dāng)△χ→0時(shí)的無窮小量，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝知識(shí)點(diǎn)解析：由得－2χ＝y(tǒng)2，則8、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(χy)＝Cχ知識(shí)點(diǎn)解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分離變量得，積分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解為ln(χy)＝Cχ．9、微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C知識(shí)點(diǎn)解析：令＝u＋χ，則，代入原方程得，兩邊積分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分離變量得＝(1＋χ)dχ，兩邊積分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求微分方程χy′＝y(tǒng)ln的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy′＝y(tǒng)ln可寫為，令u＝，原方程化為u＋χ＝ulnu，變量分離得，積分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解為y＝χeCχ＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y′＝p，則原方程化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)χ＞0時(shí)，f(χ)可導(dǎo)，且滿足：f(χ)＝1＋f(t)dt，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因?yàn)镕(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的滿足初始條件y(1)＝0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，則原方程化為，積分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即＝Cχ，將初始條件y(1)＝0代入得C＝1．由即滿足初始條件的特解為y＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y－χ2)dχ－2χdy＝0，得即原方程的通解為y＝(其中C為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，則，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解為y2(y＋3χ)＝C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求微分方程cosy－cosχsin2y＝siny的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由cosy－cosχsin2y＝siny得－cosχsin2y＝siny，令u＝siny，則－u＝cosχ.u2，令u-1＝z，則z＝－cosχ，解得z＝[－cosχ)e∫dχdχ＋C]e－∫dχ＝[－∫eχcosχdχ＋C]－χ＝[－eχ(sinχ＋cosχ＋C]e－χ＝Ce－χ－(sinχ＋cosχ)則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求微分方程χy＝χ2＋y2滿足初始條件y(e)＝2e的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由χy＝χ2＋y2，得，令＋u，得，解得u2＝lnχ2＋C，由y(e)＝2e，得C＝2，所求的特解為y2＝χ2lnχ2＋2χ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程χ2y′