2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-拓展拔高4-極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【導(dǎo)學(xué)案】

PAGE拓展拔高4極值點(diǎn)偏移問(wèn)題【高考考情】極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣,導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱(chēng)性.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中,這類(lèi)題往往對(duì)思維要求較高,過(guò)程較為煩瑣,計(jì)算量較大,難度大.【研究對(duì)象】一般地,證明兩數(shù)x1,x2之和(之積)的不等式問(wèn)題,常涉及函數(shù)的極值點(diǎn)偏移.解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的關(guān)鍵是消元,有時(shí)待證的結(jié)論需要利用不等式轉(zhuǎn)化變形.【極值點(diǎn)偏移的定義】一般地,若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)x0,對(duì)于任意的x1,x2∈[a,b],當(dāng)f(x1)=f(x2)時(shí)有x1+x22≠x0,則稱(chēng)函數(shù)(1)左偏移:當(dāng)x1+x22>x0時(shí),極值點(diǎn)x0在[a(2)右偏移:當(dāng)x1+x22<x0時(shí),極值點(diǎn)x0在[a(3)無(wú)偏移:當(dāng)x1+x22=x0時(shí),極值點(diǎn)x0在[a視角一極值點(diǎn)偏移問(wèn)題之消參減元、比值代換[例1]已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(x>0),a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1≠x2).證明:x1x2>e2.【證明】不妨設(shè)x1>x2>0,因?yàn)閘nx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,所以lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2),所以lnx1欲證x1x2>e2,即證lnx1+lnx2>2.因?yàn)閘nx1+lnx2=a(x1+x2),所以即證a>2x1+x2,所以原問(wèn)題等價(jià)于證明lnx令c=x1x2(c>1),則不等式變?yōu)閘nc令h(c)=lnc-2(c-所以h'(c)=1c-4(c所以h(c)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(c)>h(1)=ln1-0=0,即lnc-2(c-因此原不等式x1x2>e2得證.思維升華比值換元法的解題策略(1)聯(lián)立消參:利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a.(2)抓商構(gòu)元:令t=x1x2,消掉變量x1,x2,構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)h((3)用導(dǎo)求解:利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(t)的最值,從而可證得結(jié)論.視角二極值點(diǎn)偏移問(wèn)題之消參減元、差值代換[例2]若函數(shù)f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2<-2lna.【證明】由題知x1-aex1+b=0,x2-aex2故要證x1+x2<-2lna,只需證x1+x2<-2lnx1-x2ex1即證(x1-x2)2<ex1-x2-2+ex2-令x2-x1=t>0,則需證t2<e-t-2+et.設(shè)g(t)=t2-e-t+2-et,則g'(t)=2t+e-t-et.設(shè)h(t)=2t+e-t-et,則h'(t)=2-e-t-et<0,所以h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(t)<h(0)=0,即g'(t)<0,所以g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(t)<g(0)=0,故原不等式成立.思維升華差值換元法的解題策略(1)取差構(gòu)元:記s=t2-t1,則t2=t1+s,利用該式消掉t2.(2)巧解消參:利用g(t1)=g(t2),構(gòu)造方程,解之,利用s表示t1.(3)構(gòu)造函數(shù):依據(jù)消參之后所得不等式的形式,構(gòu)造關(guān)于s的函數(shù)G(s).(4)轉(zhuǎn)化求解:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(s)的單調(diào)性和最值,從而證得結(jié)論.視角三極值點(diǎn)偏移問(wèn)題之對(duì)稱(chēng)構(gòu)造[例3]已知函數(shù)h(x)=xe-x,如果x1≠x2且h(x1)=h(x2),證明:x1+x2【證明】h'(x)=e-x(1-x),令h'(x)=0,解得當(dāng)x變化時(shí),h'(x),h(x)的變化情況如表:x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調(diào)遞增1單調(diào)遞減由x1≠x2,不妨設(shè)x1>x2,根據(jù)h(x1)=h(x2)可知x1>1,x2<1.令F(x)=h(x)-h(2-x),x∈[1,+∞),則F'(x)=(x-1)(e2x-因?yàn)閤≥1,2x-2≥0,所以e2所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)镕(1)=0,所以x>1時(shí),F(x)>F(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因?yàn)閤1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因?yàn)閔(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得證.思維升華對(duì)稱(chēng)構(gòu)造法,主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和(積)相關(guān)的不等式問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下:(1)定函數(shù)極值點(diǎn):利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0;(2)構(gòu)造函數(shù):根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判斷單調(diào)性:利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性;(4)比較大小:判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系;(5)轉(zhuǎn)化:利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0-x之間的關(guān)系,進(jìn)而得到所證或所求.遷移應(yīng)用已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x-1x+a,函數(shù)g(x)滿足ln[g(x)+x2]=ln(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;【解析】(1)由已知得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-a,+∞),則f'(x)=1x+a-x所以當(dāng)-a≥1,即a≤-1時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)-a<1,即a>-1時(shí),若-a<x<1,則f'(x)<0,若x>1,則f'(x)>0,所以f(x)在(-a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)a≤-1時(shí),f(x)在(-a,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>-1時(shí),f(x)在(-a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.(2)若g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1x2<1.【解析】(2)因?yàn)閘n[g(x)+x2]=lnx+x-a,所以g(x)=x·ex-a-x2=x(ex-a-x),其定義域?yàn)?0,+∞),g(x)=xex-a-x2=x(ex-a-x)=0等價(jià)于ex-a-x=0,即x-lnx=a,設(shè)h(x)=x-lnx(x>0),所以h'(x)=1-1x=x令h'(x)>0,則x>1,令h'(x)<0,則0<x<1.所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即h(x)=a有兩個(gè)不同的根,所以a>h(1)=1,所以g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2且0<x1<1<x2,且h(x1)=h(x2)=a,令φ(x)=h(x)-h(1x)=x-1x-2ln