2025年高考一輪復(fù)習(xí)-4.7-正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考一輪復(fù)習(xí)-4.7-正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°A.6km B.2km C.3km 2.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CDA.30° B.45° C.60° 3.如圖，小明同學(xué)為了估算某建筑物的高度，在該建筑物的正東方向找到一座建筑物AB，高為(153?15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、該建筑物頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂AA.20m B.30m C.203m4.在△ABC中，內(nèi)角A的平分線與BC交于點(diǎn)D，若AB=2，AC=1，AD=1，則△ABC的面積為()A.374 B.734 C.375.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿著OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到CA.505米 B.507米 C.5011米 6.如圖,為了測(cè)量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為3003m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB，以該路段的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)測(cè)得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P7.微型航空遙感技術(shù)以無人機(jī)為空中遙感平臺(tái)，為城市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖所示，有一架無人機(jī)在空中P處進(jìn)行航拍，水平地面上甲、乙兩人分別在A，B處觀察該無人機(jī)（兩人的身高忽略不計(jì)），C為無人機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲、乙兩人相距100m，甲觀察無人機(jī)的仰角為45°，若再測(cè)量兩個(gè)角的大小就可以確定無人機(jī)的飛行高度PC，則這兩個(gè)角可以是①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB；③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC.8.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若B=π3，c=2，且sinA=3sinC，AC的中點(diǎn)為9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a+b=ccos（1）求角C的大?。唬?）設(shè)CD是△ABC的角平分線，求證：1CA[B級(jí)綜合運(yùn)用]10.三峽大瀑布是國家5A級(jí)景區(qū)，峽谷內(nèi)溪水常年不斷，構(gòu)成30多道形態(tài)各異的瀑布鑲嵌于峽谷內(nèi)，其中最壯觀的是高102米、寬80米的三峽大瀑布.為了測(cè)量三峽大瀑布的某一處實(shí)際高度，李華同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端仰角的正切值為32,沿山道繼續(xù)走20m，抵達(dá)B點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端的仰角為πA.60m B.90m C.108m 11.（多選）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若b=ccosA,角A的平分線交BC于點(diǎn)D，AD=1，A.AC=34 B.C.CDBD=18 D.12.如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，且滿足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=2，則△BCD的面積為13.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,3(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA,則a+bc14.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos（1）求cosA（2）若b=4，點(diǎn)M在線段BC上，且AB+AC=2AM，[C級(jí)素養(yǎng)提升]15.在△ABC中，B=120°，AB=2，∠BAC的平分線AD的長為數(shù)列{anA.2 B.3 C.6 D.2316.如圖，在銳角△ABC中，sin∠BAC=2425,sin∠ABC=45,BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2DC，點(diǎn)E在邊AC上，且BE⊥AC，（1）求AC的長；（2）求cos∠DAC及AF2025年高考一輪復(fù)習(xí)-4.7-正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，則AA.6km B.2km C.3km [解析]選A.如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB=45°，所以ACsin60°2.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CDA.30° B.45° C.60° [解析]選B.由已知，AD=2010m，AC=305m，又CD=50m由余弦定理的推論得cos∠CAD=A又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°，所以從頂端A看建筑物3.如圖，小明同學(xué)為了估算某建筑物的高度，在該建筑物的正東方向找到一座建筑物AB，高為(153?15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A、該建筑物頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得該建筑物頂CA.20m B.30m C.203m[解析]選D.在Rt△MBA中，MA=ABsin15°=153?156?24=15(3?1)2(3?1)4=302.在△MAC中，4.在△ABC中，內(nèi)角A的平分線與BC交于點(diǎn)D，若AB=2，AC=1，AD=1，則△ABC的面積為(C)A.374 B.734 C.37[解析]選C.因?yàn)锳D在內(nèi)角A的平分線上，所以ABAC=設(shè)BD=2x，CD=x，結(jié)合已知得cos∠BAD=cos所以1+4?4x22×2×1=1+1?x22×1×1所以cosA=A則sinA=1?所以S△ABC=5.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿著OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為(BA.505米 B.507米 C.5011米 [解析]選B.設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO.由題意，得CD=150米，OD=100米，∠CDO=60°,在△CDO中，CD2+OD2?2CD?OD?6.如圖,為了測(cè)量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為3003m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB，以該路段的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)測(cè)得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P[解析]由已知,得∠QAB=∠PAB?∠PAQ=30°.又∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠AQB=30°,所以AB=BQ.又PB為公共邊,所以△PAB?△PQB,所以PQ=PA.在Rt△PAB中,AP=AB?tan60°=900,故PQ=9007.微型航空遙感技術(shù)以無人機(jī)為空中遙感平臺(tái)，為城市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖所示，有一架無人機(jī)在空中P處進(jìn)行航拍，水平地面上甲、乙兩人分別在A，B處觀察該無人機(jī)（兩人的身高忽略不計(jì)），C為無人機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲、乙兩人相距100m，甲觀察無人機(jī)的仰角為45°，若再測(cè)量兩個(gè)角的大小就可以確定無人機(jī)的飛行高度PC，則這兩個(gè)角可以是①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB；③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC.[解析]①：當(dāng)已知∠BAC和∠ABC時(shí)，在△ABC中利用內(nèi)角和定理及正弦定理可得AC，然后在Rt△PAC中，由三角函數(shù)定義可得PC②：當(dāng)已知∠BAC和∠PAB時(shí)，在△ABC中已知一角一邊，在△PAB中已知一角一邊，顯然無法求解，故②錯(cuò)誤；③：當(dāng)已知∠PAB和∠PBA時(shí)，在△PAB中已知兩角一邊，可解出PA，然后在Rt△PAC中，由三角函數(shù)定義可得PC④：當(dāng)已知∠PAB和∠ABC時(shí)，可先由最小角定理求得∠BAC，解△ABC可得AC，最后在Rt△PAC中，由三角函數(shù)定義可得PC8.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若B=π3，c=2，且sinA=3sinC，AC的中點(diǎn)為D[解析]因?yàn)閟inA=3sinC，由正弦定理得，a=3c,所以由余弦定理得，b2=所以b=27所以cosA=b因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以AD=7所以BD2所以BD=139.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a+b=ccos（1）求角C的大??；[答案]解：因?yàn)閍+b=ccosB?bcosC因?yàn)閟in(B+C)=sin所以sin(B+C)+sin所以2sinB因?yàn)锽∈(0,π),所以sinB≠0,所以又C∈(0,π),所以C=（2）設(shè)CD是△ABC的角平分線，求證：1CA[答案]證明：因?yàn)镃D是△ABC的角平分線，且C=2π所以∠ACD=∠BCD=π3在△ABC中，S△ABC=即CA?CB=CA?CD+CD?CB，兩邊同時(shí)除以CA?CB?CD,得1CA+[B級(jí)綜合運(yùn)用]10.三峽大瀑布是國家5A級(jí)景區(qū)，峽谷內(nèi)溪水常年不斷，構(gòu)成30多道形態(tài)各異的瀑布鑲嵌于峽谷內(nèi)，其中最壯觀的是高102米、寬80米的三峽大瀑布.為了測(cè)量三峽大瀑布的某一處實(shí)際高度，李華同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端仰角的正切值為32,沿山道繼續(xù)走20m，抵達(dá)B點(diǎn)位置測(cè)得瀑布頂端的仰角為π3;已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為A.60m B.90m C.108m [解析]選A.根據(jù)題意作出示意圖,其中tanα=32，β=θ=π3設(shè)OH=3x，則OA=2x，OB=3x在△AOB中，由余弦定理的推論得cosθ=A即12=整理得x2?40x+400=0，解得x=20所以該瀑布此處的高度約為OH=3x=60m11.（多選）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若b=ccosA,角A的平分線交BC于點(diǎn)D，AD=1，cos∠BAC=A.AC=34 B.C.CDBD=18 D.[解析]選ACD.在△ABC中，b=ccosA,根據(jù)正弦定理得sinB=sinC?cosA，因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(A+C)=sinC?cosA,整理得sinAcosC=0對(duì)于A，在Rt△ACD中，AC=ADcos對(duì)于B，在Rt△ABC中，cos∠BAC=ACAB=對(duì)于C，根據(jù)角平分線定理知,CDBD=對(duì)于D，在△ABD中，由cos∠BAD=34，得sin∠BAD=712.如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，且滿足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=2，則△BCD的面積為1[解析]設(shè)BD=x，則AD=3x，AC=2?3x，BC=2?x，因?yàn)椤螦DC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=?cos∠BDC,由余弦定理的推論可得9x2+2?(2?3x)22×2×3x=?x2+2?(2?x)22×2×x,解得13.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,3(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA,則a+bc=[解析]由3(tanA+tanB)=tan化簡(jiǎn)得3(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB,即3sin(A+B)=sinA+sinB=3sinC,由正弦定理得，a+b=3c,所以a+bc=3.在△ABC中，CA?CB=(CD+DA)?(14.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos（1）求cosA[答案]解：由正弦定理及題意得sinAcos即sinAcos可得sin(A+B)=4sin即sinC=4sin因?yàn)樵凇鰽BC中，sinC≠0，所以cosA=（2）若b=4，點(diǎn)M在線段BC上，且AB+AC=2AM，[答案]方法一：由AB+AC可知點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).構(gòu)造?ABDC，如圖所示，則cos∠ABD=?cos∠CAB=?14,且|在△ABD中，利用余弦定理可得AD2即(26)解得AB=2或AB=?4（舍去）.由cos∠CAB=14得所以△ABC的面積S=