高考數(shù)學一輪總復習 第十一篇 第4講 古典概型 理 湘教版

第4講古典概率模型A級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·北京海淀期末)一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為()．A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)解析由題意知，事件中元素個數(shù)有eq\f(Aeq\o\al(2,4),2)＝12個，滿足條件的元素個數(shù)就一個，故所求概率為P＝eq\f(1,12).答案A2．(·皖南八校聯(lián)考)一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析元素總個數(shù)有Ceq\o\al(2,5)＝10個，其中為同色球的有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4個，故所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案C3．(·云陽一模)甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析(甲送給丙，乙送給丁)，(甲送給丁，乙送給丙)，(甲、乙都送給丙)，(甲、乙都送給丁)，共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案A4．在一次班級聚會上，某班到會的女同學比男同學多6人，從這些同學中隨機挑選一人表演節(jié)目．若選到女同學的概率為eq\f(2,3)，則這班參加聚會的同學的人數(shù)為()．A．12 B．18 C．24 D．32解析設女同學有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故該班參加聚會的同學有18人，故選B.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·南京模擬)在集合A＝{2，3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1，2，3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．解析由題意得到的P(m，n)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6個，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點有(2，1)，(2，2)，所以概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．(·鄭州二檢)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是________．解析∵m，n均為不大于6的正整數(shù)，∴當點A(m，n)位于直線y＝x上及其下方第一象限的部分時，滿足θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的點A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個，點A(m，n)的元素總數(shù)為6×6＝36，故所求概率為eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案eq\f(7,12)三、解答題(共25分)7．(12分)(·天津)某地區(qū)有小學21所，中學14所，大學7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查．(1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析，①列出所有可能的抽取結果；②求抽取的2所學校均為小學的概率．解(1)由分層抽樣的定義知，從小學中抽取的學校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學中抽取的學校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從大學中抽取的學校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3，2，1.(2)①在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為A1，A2，A3，2所中學分別記為A4，A5，1所大學記為A6，則抽取2所學校的所有可能結果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．②從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件B)的所有可能結果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).8．(13分)(·廣東)在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1，2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢壕幪杗12345成績xn7076727072(1)求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s；(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68，75)中的概率．解(1)∵這6位同學的平均成績?yōu)?5分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，這6位同學成績的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標準差s＝7.(2)從前5位同學中，隨機地選出2位同學的成績共有Ceq\o\al(2,5)＝10種，恰有1位同學成績在區(qū)間(68，75)中的有：(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4種，所求的概率為eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同學成績在區(qū)間(68，75)中的概率為0.4.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．甲、乙兩人喊拳，每人可以用手出0，5，10三種數(shù)字，每人則可喊0，5，10，15，20五種數(shù)字，當兩人所出數(shù)字之和等于甲所喊數(shù)字時為甲勝，當兩人所出數(shù)字之和等于乙所喊數(shù)字時為乙勝，若甲喊10，乙喊15時，則 ()．A．甲勝的概率大 B．乙勝的概率大C．甲、乙勝的概率一樣大 D．不能確定解析兩人共有9種出數(shù)的方法，其中和為10的方法有3種，和為15的方法有2種，故甲勝的概率要大，應選A.答案A2．(·奉節(jié)二模)將號碼分別為1，2，3，4的四個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個小球，其號碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個小球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為 ()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析由題意知(a，b)的所有可能結果有4×4＝16個．其中滿足a－2b＋4<0的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，共4個，所以所求概率為eq\f(1,4).答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\r(5)的概率是________．解析e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，∴b>2a，符合b>2a的情況有：當a＝1時，b＝3，4，5，6四種情況；當a＝2時，b＝5，6兩種情況，總共有6種情況．則所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)4．(·上海)三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽．若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是________(結果用最簡分數(shù)表示)．解析因為每人都從三個項目中選擇兩個，有(Ceq\o\al(2,3))3種選法，其中“有且僅有兩人選擇的項目完全相同”的元素個數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)個，故所求概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),（Ceq\o\al(2,3)）3)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)三、解答題(共25分)5．(12分)(·棗莊二模)袋內(nèi)裝有6個球，這些球依次被編號為1，2，3，…，6，設編號為n的球重n2－6n＋12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號的影響)．(1)從袋中任意取出一個球，求其重量大于其編號的概率；(2)如果不放回的任意取出2個球，求它們重量相等的概率．解(1)若編號為n的球的重量大于其編號．則n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1，2，5，6.∴從袋中任意取出一個球，其重量大于其編號的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)不放回的任意取出2個球，這兩個球編號的所有可能情形共有Ceq\o\al(2,6)＝15種．設編號分別為m與n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.滿足m＋n＝6的情形為(1，5)，(2，4)，共2種情形．由古典概型，所求事件的概率為eq\f(2,15).6．某省實驗中學共有特級教師10名，其中男性6名，女性4名，現(xiàn)在要從中抽調(diào)4名特級教師擔任青年教師培訓班的指導教師，由于工作需要，其中男教師甲和女教師乙不能同時被抽調(diào)．(1)求抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師的概率；(2)若抽到的女教師的人數(shù)為ξ，求P(ξ≤2)．解由于男教師甲和女教師乙不能同時被抽調(diào)，所以可分以下兩種情況：①若甲和乙都不被抽調(diào)，有Ceq\o\al(4,8)種方法；②若甲和乙中只有一人被抽調(diào)，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)種方法，故從10名教師中抽調(diào)4人，且甲和乙不同時被抽調(diào)的方法總數(shù)為Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＝70＋112＝182.這就是事件含元素總數(shù)．(1)記事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且恰有2名男教師，2名女教師”為A，因為含有女教師丙，所以再從女教師中抽取一人，若抽到的是女教師乙，則男教師甲不能被抽取，抽調(diào)方法數(shù)是Ceq\o\al(2,5)；若女教師中抽到的不是乙，則女教師的抽取方法有Ceq\o\al(1,2)種，男教師的抽取方法有Ceq\o\al(2,6)種，抽調(diào)的方法數(shù)是Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6).故隨機事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師”含有的元素的個數(shù)是Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＝40.根據(jù)古典概型概率的計算公式得P(A)＝eq\f(40,182)＝eq\f(20,91).(2)ξ的可能取值為0，1，2，3，4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，則選出的4人中，可以含有女教師乙，這時取法為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5)種，也可以不含女教師乙，這時有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,6)種，