高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五篇 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 理 湘教版

第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·合肥檢測)已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么 ()．A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))解析由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可知，O是底邊BC上的中線AD的中點(diǎn)，故eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).答案A2．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則()．A．a(chǎn)－b＋c－d＝0 B．a(chǎn)－b－c＋d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0解析依題意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即有eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，則a－b＋c－d＝0.選A.答案A3．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)的值為()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).故選A.答案A4．(·山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下列說法正確的是 ()．A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C、D可能同時(shí)在線段AB上D．C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上解析若A成立，則λ＝eq\f(1,2)，而eq\f(1,μ)＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，則0＜λ＜1，且0＜μ＜1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＞2，與已知矛盾；若C，D同時(shí)在線段AB的延長線上時(shí)，λ＞1，且μ＞1，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＜2，與已知矛盾，故C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上，故D正確．答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·開縣模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為________．解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，又A，B，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－16.如圖，在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|＝________.解析根據(jù)向量的三角形法則有|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.答案4三、解答題(共25分)7．(12分)如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).試用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))及eq\o(MN,\s\up6(→)).解由題意知，在平行四邊形OADB中，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.8．(13分)(1)設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．(2)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．(1)證明因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝10e1＋15e2.又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，得eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．(2)解Deq\o(B,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，若A，B，D共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥Deq\o(B,\s\up6(→))，設(shè)Deq\o(B,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝2λ，,4＝λk))?k＝－8.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·濟(jì)南一模)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋2\o(OC,\s\up6(→))))，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的()．A．AB邊中線的中點(diǎn)B．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C．重心D．AB邊的中點(diǎn)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，M，C三點(diǎn)共線，且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．答案B2．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM與△ABC的面積比為 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，即3eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→)).如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為eq\f(3,5)，選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________．解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形．答案直角三角形4.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________．解析∵O是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，則m＋n＝2.答案2三、解答題(共25分)5．(12分)如圖所示，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取一點(diǎn)M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延長線上取點(diǎn)P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延長線上取點(diǎn)Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))時(shí)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，試確定λ的值．解∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).6．(13分)已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)．(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ過△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.(1)解∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，又2eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\