新高考數(shù)學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）30 阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（原卷版）

素養(yǎng)拓展30阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、阿波羅尼斯圓1.阿波羅尼斯圓的定義在平面上給定兩點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0點在同一平面上且滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（SKIPIF1<0時SKIPIF1<0點的軌跡是線段SKIPIF1<0的中垂線）2.阿波羅尼斯圓的證明設SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），則點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0，其軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓．證明：由SKIPIF1<0及兩點間距離公式，可得SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0①，（1）當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，此時動點的軌跡是線段SKIPIF1<0的垂直平分線；（2）當SKIPIF1<0時，方程①兩邊都除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化為標準形式即為：SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的軌跡方程是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓．圖①圖②圖③【定理】SKIPIF1<0為兩已知點，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的定比為SKIPIF1<0的內(nèi)外分點，則以SKIPIF1<0為直徑的圓SKIPIF1<0上任意點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點的距離之比為SKIPIF1<0．證明：以SKIPIF1<0為例．如圖②，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，由相交弦定理及勾股定理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0同時在到SKIPIF1<0兩點距離之比等于SKIPIF1<0的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點的距離之比恒為SKIPIF1<0．同理可證SKIPIF1<0的情形．3.阿波羅尼斯圓的相關結(jié)論【結(jié)論1】當SKIPIF1<0時，點B在圓SKIPIF1<0內(nèi)，點A在圓SKIPIF1<0外；當SKIPIF1<0時，點A在圓SKIPIF1<0內(nèi)，點B在圓SKIPIF1<0外．【結(jié)論2】因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條切線．若已知圓SKIPIF1<0及圓SKIPIF1<0外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然．【結(jié)論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0．【結(jié)論4】過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為切點），則SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的內(nèi)、外角平分線．【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分SKIPIF1<0和外分SKIPIF1<0所得的兩個分點，如圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)分點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外分點，此時必有SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．證明：如圖①，由已知可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．由等角的余角相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．【結(jié)論6】過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0重合的弦SKIPIF1<0，則AB平分SKIPIF1<0．證明：如圖③，連結(jié)SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．二、蒙日圓1.蒙日圓的定義在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1．證明：設橢圓的方程為SKIPIF1<0，則橢圓兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0交點SKIPIF1<0的軌跡是蒙日圓：SKIPIF1<0．①當題設中的兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0斜率均存在且不為SKIPIF1<0時，可設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），過SKIPIF1<0的橢圓的切線方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由其判別式值為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是這個關于SKIPIF1<0的一元二次方程的兩個根，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0點SKIPIF1<0的坐標滿足方程SKIPIF1<0．②當題設中的兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0有斜率不存在或斜率為SKIPIF1<0時，可得點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0也在圓SKIPIF1<0上．綜上所述：橢圓SKIPIF1<0兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0交點SKIPIF1<0的軌跡是蒙日圓：SKIPIF1<0．2.蒙日圓的幾何性質(zhì)【結(jié)論1】過圓SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．證明：設SKIPIF1<0點坐標SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由其判別式的值為0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是這個關于SKIPIF1<0的一元二次方程的兩個根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【結(jié)論2】設SKIPIF1<0為蒙日圓O：SKIPIF1<0上任一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，交橢圓于點SKIPIF1<0為原點，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0．【結(jié)論3】設SKIPIF1<0為蒙日圓O：SKIPIF1<0上任一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0為原點，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0（垂徑定理的推廣）．【結(jié)論4】過圓SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，O為原點，則SKIPIF1<0平分橢圓的切點弦SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0點坐標SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，由切點弦公式得到SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由點差法可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0是中點．【結(jié)論5】設SKIPIF1<0為蒙日圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0上任一點，過點P作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，交蒙日圓O于兩點C，D，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0．【結(jié)論6】設SKIPIF1<0為蒙日圓SKIPIF1<0上任一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0為原點，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值：SKIPIF1<0．【結(jié)論7】設SKIPIF1<0為蒙日圓SKIPIF1<0上任一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0為原點，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．【結(jié)論8】設SKIPIF1<0為蒙日圓SKIPIF1<0上任一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面上兩點，則滿足SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的點SKIPIF1<0的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求點SKIPIF1<0所在圓SKIPIF1<0的方程.（2）已知圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左邊)，斜率不為0的直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，證明：SKIPIF1<0.【典例2】已知橢圓SKIPIF1<0的一個焦點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．（I）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（II）若動點SKIPIF1<0為橢圓外一點，且點SKIPIF1<0到橢圓SKIPIF1<0的兩條切線相互垂直，求點SKIPIF1<0的軌跡方程．【題型訓練-刷模擬】1.阿波羅尼斯圓一、單選題1．我們都知道：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且該平面內(nèi)的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0的軌跡關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．20 C．30 D．402．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0長軸的端點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0短軸的端點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0面積的最小值為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比SKIPIF1<0，那么點SKIPIF1<0的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點SKIPIF1<0的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為SKIPIF1<0，定點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一點，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點SKIPIF1<0到兩個定點的距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），那么點SKIPIF1<0的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離比為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，得到動點SKIPIF1<0的軌跡是阿氏圓SKIPIF1<0.若對任意實數(shù)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恒有公共點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0三點不共線時，則SKIPIF1<0C．在C上存在點M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<07．已知平面上兩定點A，B，則所有滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為SKIPIF1<0的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體SKIPIF1<0的一個側(cè)面SKIPIF1<0上運動，且滿足SKIPIF1<0，則點P的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．曲線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切C．曲線SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0D．曲線SKIPIF1<0上恰有三個點到直線SKIPIF1<0的距離為19．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值SKIPIF1<0的點的軌跡是圓．”后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有公共點C．曲線SKIPIF1<0被SKIPIF1<0軸截得的弦長為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<010．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．設點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，則（

）．A．軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．在SKIPIF1<0軸上存在異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點不共線時，射線SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線D．在SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<011．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點不共線時，則SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0三、填空題12．阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P滿足SKIPIF1<0，則點P的軌跡方程是．13．阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為3，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的范圍為.14．阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的面積最大時，則SKIPIF1<0的長為.15．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值SKIPIF1<0的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是滿足SKIPIF1<0的阿氏圓上的任一點，若拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為.16．已知平面上兩定點A、B，則所有滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為SKIPIF1<0的圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓．已知棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動點P滿足SKIPIF1<0，則點P的軌跡長度為．四、解答題17．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0無公共點，求SKIPIF1<0的取值范圍.18．平面上兩點A、B，則所有滿足SKIPIF1<0且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓SKIPIF1<0上的動點P滿足：SKIPIF1<0其中O為坐標原點，A點的坐標為SKIPIF1<0.(1)直線SKIPIF1<0上任取一點Q，作圓SKIPIF1<0的切線，切點分別為M，N，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點并寫出該定點坐標.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點SKIPIF1<0與兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個常數(shù)，那么動點SKIPIF1<0的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線SKIPIF1<0上．已知動點SKIPIF1<0的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為SKIPIF1<0，定點分別為橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0與右頂點SKIPIF1<0，且橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）如圖，過右焦點SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方），點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩點，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范圍；②將點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．2.蒙日圓一、單選題1．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓為SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的蒙日圓為SKIPIF1<0，則橢圓Γ的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．定義：圓錐曲線SKIPIF1<0的兩條相互垂直的切線的交點SKIPIF1<0的軌跡是以坐標原點為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的一點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線與橢圓相切于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0是坐標原點，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為直角時，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓為圓SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0不透明，則一束光線從點SKIPIF1<0出發(fā)，經(jīng)SKIPIF1<0軸反射到圓SKIPIF1<0上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．86．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，其蒙日圓方程為SKIPIF1<0，M為蒙日圓上的一個動點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若SKIPIF1<0面積的最大值為36，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形SKIPIF1<0的四邊均與橢圓SKIPIF1<0相切，則下列說法錯誤的是（

）

A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓方程為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0 D．長方形SKIPIF1<0的面積的最大值為188．研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．設橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的任意一點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圓為C：SKIPIF1<0，過C上的動點M作SKIPIF1<0的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交SKIPIF1<0于A，B兩點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．M到SKIPIF1<0的左焦點的距離的最小值為SKIPIF1<0D．若動點D在SKIPIF1<0上，將直線DA，DB的斜率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0二、多選題10．加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓SKIPIF1<0相切，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓C的蒙日圓方程為SKIPIF1<0C．橢圓C的蒙日圓方程為SKIPIF1<0 D．長方形R的面積最大值為1811．法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線，分別與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的左焦點的距離的最小值為SKIPIF1<0D．若動點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，將直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<012．在橢圓SKIPIF1<0中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓SKIPIF1<0上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圓由法國數(shù)學家SKIPIF1<0最新發(fā)現(xiàn).若橢圓SKIPIF1<0，則下列說法中正確的有（

）A．橢圓SKIPIF1<0外切矩形面積的最大值為SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0為蒙日圓SKIPIF1<0上任意一點，點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最大值時SKIPIF1<0C．過橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓上一點SKIPIF1<0，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0D．若橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，過橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0和原點作直線SKIPIF1<0與蒙日圓相交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<013．）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已