專轉(zhuǎn)本高數(shù)第七章第七節(jié)-二重積分

特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.1、曲頂柱體的體積一、二重積分的概念柱體體積=底面積

╳高第七節(jié)二重積分1播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．2步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積分割求和極限32、二重積分的定義4積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素即5在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為63、二重積分的性質(zhì)下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積.

性質(zhì)2線性性質(zhì)

這里A為D的面積.

性質(zhì)17性質(zhì)4性質(zhì)3區(qū)域可加性

推論1推論28性質(zhì)5估值性質(zhì)證所以于是9性質(zhì)6(二重積分的中值定理)證由性質(zhì)5知,

即得證。10abxyo如果積分區(qū)域?yàn)镈：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、二重積分的計(jì)算11應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,12積分區(qū)域?yàn)椋阂话愕兀葘積分，后對x積分的二次積分記為abxyo13dxyoc如果積分區(qū)域?yàn)椋骸葘

積分，后對y積分的二次積分14將化為二次積分,其中

D

由直線圍成。解法1先畫出積分區(qū)域D，將D

向y

軸投影，先x后y,例1xyo15xyo解法2先y后x,

將D

向x

軸投影,16計(jì)算其中

D

由直線解

先畫出積分區(qū)域D，先y后x,將D

向x

軸投影，例2圍成。17解例3先求兩曲線的交點(diǎn)先對

y

積分，18解例419解例5先x后y,兩曲線的交點(diǎn)20解例5兩曲線的交點(diǎn)選擇積分次序的原則：

若選擇先y

后x,(1)積分容易；

(2)盡量少分塊或不分塊.

麻煩。21解例622解積分區(qū)域?yàn)閷

向y

軸投影,

改變積分的次序.例723解設(shè)則例8交換下面積分的次序:24設(shè)將D

向y

軸投影,25例9交換下面積分的次序:26利用對稱性簡化二重積分的計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y

軸對稱，yxox-x(1)若f(x,y)關(guān)于

x是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D的右半?yún)^(qū)域。27利用對稱性簡化二重積分的計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，(1)若f(x,y)關(guān)于

y

是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D的上半?yún)^(qū)域。yxo28例10設(shè)有平面區(qū)域解oxy29解oxy選(A).30例11求二重積分解oxy區(qū)域D分別對稱于x軸和y軸，312、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分：

1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時(shí),D的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單；

2)被積函數(shù)具有等形式時(shí),用極坐標(biāo)積分較為容易.

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

32所以面積元素為33二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分的公式區(qū)域特征如圖34解例12在極坐標(biāo)系下,xyo35例13解區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，用極坐標(biāo)，xyo36xyo37例14解直接做麻煩,化為極坐標(biāo),38例15解所以在極坐標(biāo)系下,圓方程為直線方程為39解計(jì)算二重積分例16由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，可只考慮第一象限部分，xyo40解法1例17xyo41所以42xyo解法2例17用直角坐標(biāo)系，先對

x積分，43所以44例18解45練習(xí)：P324習(xí)題七46求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．47求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．48求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．49求曲頂柱體的體積采用