自控理論第三章

3-1系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)一﹑典型輸入信號工程上經(jīng)常碰到的典型輸入信號有以下幾種:(1)階躍信號(階躍函數(shù))其數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形為:上式中R為常數(shù),當(dāng)t=0時,r(0)不定,且當(dāng)R=1時,稱為單位階躍信號,記為1(t).(2)等速度信號(斜坡函數(shù))其數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形為:上式中R為常數(shù),當(dāng)R=1時,稱為單位等速度信號.(3)等加速度信號(拋物線函數(shù))其數(shù)學(xué)表達(dá)式和圖形為:上式中R為常數(shù),當(dāng)R=1時,稱為單位等加速度信號.(4)脈沖信號(脈沖函數(shù))先看下面圖型:具有左圖形狀的信號被稱為矩型脈動信號,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:由圖可見,脈動信號的面積為R.當(dāng)脈動信號的寬度時,其高度為,但面積乃為R.把寬度時的矩型脈動信號定義為脈沖信號,而其面積R稱為脈沖信號的脈沖強(qiáng)度.當(dāng)R=1時,叫做單位脈沖信號,用表示,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為而其面積為:單位脈沖信號用下圖表示:強(qiáng)度不為1而為R的脈沖信號用表示.(5)正弦信號(正弦函數(shù))其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:(6)信號的延遲假如有兩個信號如下左圖所示,曲線和曲線的形狀完全一樣,只不過前者比后者延遲了時間才發(fā)生,曲線可用如下數(shù)學(xué)式表達(dá):上式中是單位階躍信號延遲時間才發(fā)生,圖形見上面右圖.二﹑動態(tài)性能指標(biāo)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo),是在系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號時,對系統(tǒng)的輸出進(jìn)行定義的.系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出隨時間的變化,叫系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),常用h(t)表示.穩(wěn)定的系統(tǒng),其h(t)的變化曲線見下圖:其動態(tài)性能指標(biāo)有如下幾項(xiàng):(1)延遲時間:響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間.如下圖所示.(2)上升時間:響應(yīng)曲線無振蕩時定義為響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到其穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間.如上圖所示.響應(yīng)曲線有振蕩時定義為響應(yīng)從0第一次上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時間.如上圖所示.(3)峰值時間:響應(yīng)超過其穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個峰值所需的時間.如下圖所示.(4)調(diào)節(jié)時間(過渡過程時間):響應(yīng)到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%或±2%誤差范圍內(nèi)所需的最短時間.

如上圖所示.(5)最大超調(diào)量:響應(yīng)的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差,即如下圖所示.(6)最大百分比超調(diào)量:定義為3-2一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析典型一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示:其閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,當(dāng)時,則h(t)曲線見上右圖,經(jīng)分析可得下面結(jié)論:,故叫非周期響應(yīng),無超調(diào).3-3二階系統(tǒng)的時域分析典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為:具有上述形式傳遞函數(shù)的典型二階系統(tǒng)叫無零點(diǎn)的二階系統(tǒng),其時間響應(yīng)取決于和兩個參量,極點(diǎn)為:叫無阻尼自然振蕩角頻率,單位為弧度/秒.叫阻尼系數(shù),當(dāng)叫無阻尼,叫臨界阻尼,叫欠阻尼,下面主要討論欠阻尼時的動態(tài)性能,欠阻尼時系統(tǒng)的兩個極點(diǎn)為:上式中,叫衰減系數(shù),叫阻尼振蕩角頻率,兩個極點(diǎn)在s平面上的分布如下圖所示,圖中以順時針方向?yàn)橛?jì)量角度的正方向,當(dāng)輸入為單位階躍信號時,輸出的拉氏變換表達(dá)式為:叫過阻尼,對前式進(jìn)行部分分式得:對上式進(jìn)行拉氏反變換得單位階躍響應(yīng)為:由上一屏的表達(dá)式可見,無零點(diǎn)的典型二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下,其輸出是衰減振蕩的,其曲線隨值的不同而有一簇,見教材P.87圖3-10.根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)的定義,推導(dǎo)各項(xiàng)動態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式.(1)延遲時間:由定義,令,下面由,代入上式利用計(jì)算方法中的曲線擬合法,可得:其關(guān)系曲線見教材P.88圖3-12.(2)上升時間:因輸出有振蕩,由定義,令得:因在時刻所以由得:(3)峰值時間:由定義,令得:所以(4)最大超調(diào)量:由定義,(5)最大百分比超調(diào)量:由定義,(6)調(diào)節(jié)時間(過渡過程時間):由定義,因?yàn)檎`差信號是幅值衰減的正弦曲線,如右圖所示.而幅值表達(dá)式是幅值衰減的正弦曲線的按指數(shù)規(guī)律衰減的包絡(luò)線,如下圖紅色虛線所示.由圖可見,只要誤差曲線的包絡(luò)線即到達(dá)調(diào)節(jié)時間,則對上式求解得:當(dāng)時.當(dāng)誤差帶時,同理可得三﹑二階系統(tǒng)性能的改善下圖閉環(huán)是一典型的二階系統(tǒng),而其開環(huán)為一型,故其速度誤差系數(shù)若欲使則而使有二條途經(jīng):一是使上升,從而導(dǎo)致均下降,但使有阻尼振蕩頻率上升,但不能使下降.二是使下降,則雖上升,但導(dǎo)致均上升,使動態(tài)性能變壞.可見,單靠調(diào)整系統(tǒng)本身的固有參數(shù),已無法同時滿足系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的要求,必須另加裝置,采用其它控制方法來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.(1)比例—微分控制比例—微分控制的結(jié)構(gòu)圖如下所示:由上圖可得,其開環(huán)傳遞函數(shù)而其閉環(huán)傳遞函數(shù)令,則為一帶有零點(diǎn)的二階系統(tǒng),其動態(tài)性能指標(biāo)的求取公式請見教材P.97—P.98,下面僅定性討論比例—微分控制對系統(tǒng)性能的影響.若欲使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值下降,可使下降,則上升,滿足系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差值的要求.因下降而導(dǎo)致的下降可通過調(diào)整參數(shù)給以彌補(bǔ),從而使系統(tǒng)同時滿足預(yù)定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的要求.(2)測速反饋控制測速反饋控制的結(jié)構(gòu)圖如下所示:由上圖可得,其開環(huán)傳遞函數(shù)而其閉環(huán)傳遞函數(shù)令,則為一不帶零點(diǎn)的典型二階系統(tǒng),其動態(tài)性能指標(biāo)的求取公式前已介紹測速反饋使系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)降低,從而導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差上升,但這一缺點(diǎn)可通過減小原系統(tǒng)的阻尼系數(shù)給以彌補(bǔ),使測速反饋后系統(tǒng)的滿足動態(tài)性能的要求.3-4高階系統(tǒng)的時域分析

1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為把上式的分子及分母因式分解得:上式中在單位階躍信號作用下,輸出的拉氏變換式為上式中待定系數(shù)而和是與在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常系數(shù).將進(jìn)行拉氏反變換,則2.高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)由的推導(dǎo)過程可見,其第二和第三項(xiàng)由閉環(huán)極點(diǎn)所產(chǎn)生,叫的動態(tài)分量,其各系數(shù)的大小與閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)而動態(tài)分量中各項(xiàng)的類型僅與閉環(huán)極點(diǎn)有關(guān).當(dāng)閉環(huán)穩(wěn)定時所有的閉環(huán)極點(diǎn)都在s的左半平面上,動態(tài)分量隨時間的增長而衰減.閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越近,即其實(shí)部的絕對值越小,則它所對應(yīng)的動態(tài)分量中這一項(xiàng)就衰減得越慢,對動態(tài)性能的影響就越大,閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn),即其實(shí)部的絕對值越大,則它所對應(yīng)的動態(tài)分量中這一項(xiàng)就衰減得越快,對動態(tài)性能的影響就越小.由上面分析,可得如下閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念:在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中,距虛軸最近的極點(diǎn)且其周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn),而其它閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸,這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就叫作閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn).

閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)極點(diǎn),也可以是復(fù)數(shù)極點(diǎn),一般總希望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),從而可將高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng),用二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式來估算高階系統(tǒng)的動態(tài)性能.也可在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念下,考慮到高階系統(tǒng)其它閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn)對動態(tài)性能的影響,而導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式,進(jìn)而推導(dǎo)出計(jì)算高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的近似計(jì)算公式.設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞系數(shù)為1,且其一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)為:則對上式進(jìn)行拉氏反變換,得高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式為:當(dāng)高階系統(tǒng)閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的模比主導(dǎo)復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)部的模大三倍以上時,可由上式并根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)的定義導(dǎo)出近似計(jì)算公式.(1)峰值時間由上式對時間求導(dǎo),并令其導(dǎo)函數(shù)為零得:因而有:上式中(2)最大百分比超調(diào)量根據(jù)最大百分比超調(diào)量的定義,且,則上式中由及得則將式(2),(3)代入式(1)得因?yàn)榛楣曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn),所以最后可得P叫閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)影響修正系數(shù),Q叫閉環(huán)零點(diǎn)影響修正系數(shù).(3)調(diào)節(jié)時間的計(jì)算根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義,有由得上式中是余弦函數(shù)的幅值,且隨時間的增長而衰減,故由上式可得由前面的推導(dǎo)可知:則對左式兩邊取對數(shù)解得3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一﹑線性系統(tǒng)穩(wěn)定的定義及充分必要條件定義:若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的作用下,其輸出隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零,則該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定,簡稱穩(wěn)定;反之,稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定.上述定義可用數(shù)學(xué)語言表示為:上式中,為特征方程的實(shí)數(shù)根,為特征方程的共軛復(fù)數(shù)根,為特征多項(xiàng)式中S的最高次方,即系統(tǒng)的階數(shù).將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式,得:上式中因?yàn)闉閺?fù)數(shù),所以與也是復(fù)數(shù),又因?yàn)闉楣曹棌?fù)數(shù),所以與也是共軛復(fù)數(shù),把上式中后兩項(xiàng)合并,得:令均為實(shí)數(shù),則因?yàn)橄到y(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù),故對上式進(jìn)行拉氏反變換得:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部,或者說,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均在根平面的左半S復(fù)數(shù)開平面上(不包括虛軸).

需指出的是,系統(tǒng)的穩(wěn)定與否,僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),而與輸入信號的形式和大小無關(guān).

二﹑線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步簽定線性系統(tǒng)特征方程的一般形式可表為:由上兩式可見,只有當(dāng)即所有極點(diǎn)均在極點(diǎn)平面的左半平面上,將上面第二個等式展開后,第一個等式S各次方前的系數(shù)必都為大于零的正數(shù).由此可得系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為:系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的所有系數(shù)均大于零.必要條件只起否定作用,也即只要不滿足必要條件,系統(tǒng)必不穩(wěn)定,必要條件不起保證作用,也即滿足必要條件,系統(tǒng)不一定穩(wěn)定.

三﹑赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

n階系統(tǒng)的特征方程為:構(gòu)造的系數(shù)主行列式:赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容為:n階特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部的充要條件是,特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正,且的系數(shù)行列式的各階主子式均大于零,即而教材P.112給出了n<=4時,赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的簡單表示形式.例:設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍.解:構(gòu)造特征方程的系數(shù)行列式.時系統(tǒng)穩(wěn)定.四﹑勞思穩(wěn)定判據(jù)n階系統(tǒng)的特征方程為:式中,構(gòu)造如下勞思行列表:表中,最左邊一列和最上面兩行構(gòu)成勞思行列表的表頭,表中其它各行各列的元素值按如下公式計(jì)算:以下各行各列的元素值可依上幾式的規(guī)律依次算得.則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞思表中第一列各值均大于零.如勞思表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值,系統(tǒng)就不穩(wěn)定,且第一列各數(shù)值符號的改變次數(shù),就是系統(tǒng)特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目,即系統(tǒng)在極點(diǎn)平面的右半平面上的極點(diǎn)個數(shù).例1:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?解:因?yàn)榈谝涣杏?25,且正﹑負(fù)號改變兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個根在s的右半平面上.例2:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?解:因?yàn)榈谝涣杏?0.5,且正﹑負(fù)號改變兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個根在s的右半平面上.兩種特殊情況的處理.第一種特殊情況是在計(jì)算各行各列元素值的過程中出現(xiàn)某一行第一列的元素值為零,而這一行其它各列的元素值不全為零.例3:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為解:用一大于零的無窮小量代替第三行第一列的零參與以下各行各列元素值的計(jì)算.因?yàn)槭谴笥诹愕臒o窮小量,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個根在s的右半平面上.教材P.115介紹了處理第一種特殊情況的另一種方法.第二種特殊情況是在計(jì)算各行各列元素值的過程中出現(xiàn)某一行的元素值全為零.例4:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為再往下計(jì)算這一行就全為零,則由這一行各元素為系數(shù)構(gòu)造一輔助方程:然后F(s)對s求一次導(dǎo)得用8,24替換這一行的零元素,再往下計(jì)算.第一列的元素都大于零,沒有正實(shí)部的特征根,但由于有全零行,必有純虛根,而純虛根的值可令輔助方程F(s)=0求得.令得則五﹑勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用例5:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍.解:欲使系統(tǒng)穩(wěn)定,第一列的元素應(yīng)全大于零,則例6:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為試在以K為橫坐標(biāo),T為縱坐標(biāo)的K-T平面上確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域.解:下面分二種情況討論:當(dāng)時當(dāng)時在K-T平面上作出曲線如下圖所示,再作出曲線由右圖可見,在K-T平面上使系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域?yàn)閮蓚€影陰區(qū).3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算一﹑基本概念控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,是系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度(即精度)的一種度量,通常叫作穩(wěn)態(tài)性能.在具體介紹穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法前,先明確以下幾個基本概念:1)只有當(dāng)系統(tǒng)本身是穩(wěn)定的前提下,討論系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差才有意義.2)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外還與系統(tǒng)輸入信號的形式和大小有關(guān).3)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)性能一般來說是有矛盾的.

誤差的定義:系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差.

見右圖:誤差傳遞函數(shù)為:則誤差信號的拉氏變換表達(dá)式假設(shè)是的極點(diǎn),也即閉環(huán)極點(diǎn).是的極點(diǎn).則:式中的第一項(xiàng)由的極點(diǎn)所引起,叫做e(t)的瞬態(tài)分量,第二項(xiàng)由的極點(diǎn)所引起,叫做e(t)的穩(wěn)態(tài)分量.如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,則所有的均在s的左半平面上,即則當(dāng)時,e(t)的瞬態(tài)分量趨于零,只剩下穩(wěn)態(tài)分量.定義:當(dāng)時,e(t)剩下的穩(wěn)態(tài)分量,叫系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.表示為:當(dāng)時,可能是一個確定的數(shù),也可能是一個不確定的數(shù),即仍然是t的函數(shù).當(dāng)為一個確定的數(shù)時,用表示,叫穩(wěn)態(tài)誤差值.當(dāng)仍然是t的函數(shù),則叫穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù).顯然,穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)表現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律.穩(wěn)態(tài)誤差值有兩種基本的求法.第一種是先求出然后令可得,但當(dāng)表達(dá)式較為復(fù)雜時,求的解析式較困難,一般并不采用.第二種是對采用拉氏變換的終值定理,即:但終值定理有一個使用條件,即要求表達(dá)式在s右半平面及虛軸上解析,即表達(dá)式的所有極點(diǎn)都在s的左半平面上.否則,用終值定理得出的與令的時得到的值不一致.但對于工程實(shí)際上來說,當(dāng)在s平面的原點(diǎn)上有極點(diǎn)時,仍可用終值定理.例:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求當(dāng)輸入信號分別為和時控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值.解:可見,雖然在s平面的原點(diǎn)上有極點(diǎn)s=0,仍可用終值定理.二﹑靜態(tài)誤差系數(shù)

1.控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類上式中K叫系統(tǒng)的開環(huán)增益(也叫系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)).v為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的極點(diǎn)個數(shù),因1/s是理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),所以v也表示了系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中串接的積分環(huán)節(jié)個數(shù).規(guī)定:v=0,叫0型