2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評第五章5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算理含解析北師大版

PAGE7-核心素養(yǎng)測評二十七平面對量的概念及其線性運(yùn)算(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列說法正確的是 ()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.長度相等的向量叫做相等向量D.共線向量是在一條直線上的向量【解析】選B.對于選項(xiàng)A,因?yàn)榉较蛳嗤蛳喾吹姆橇阆蛄渴瞧叫邢蛄?所以該說法錯誤;對于選項(xiàng)B,因?yàn)榱阆蛄烤褪?,所以該說法正確;對于選項(xiàng)C,方向相同且長度相等的向量叫相等向量,所以該說法錯誤;對于選項(xiàng)D,共線向量所在直線可能重合,也可能平行,所以該說法錯誤.2.在△ABC中,D,E,F分別是AB,BC,AC的中點(diǎn),則= ()A.+ B.+C.+ D.+【解析】選D.如圖,因?yàn)?,又因?yàn)?+,所以=+.【變式備選】如圖,向量a-b等于 ()A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】選C.由題圖可知a-b=e1-3e2.3.(2024·蚌埠模擬)已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d共線反向,則實(shí)數(shù)λ的值為 ()A.1 B.-QUOTEC.1或-QUOTE D.-1或-QUOTE【解析】選B.由于c與d共線反向,則存在實(shí)數(shù)k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共線,所以有QUOTE整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-QUOTE.又因?yàn)閗<0,所以λ<0,故λ=-QUOTE.4.(2024·唐山模擬)在等腰梯形ABCD中,=-2,M為BC的中點(diǎn),則=()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選B.因?yàn)?-2,所以=2.又M是BC的中點(diǎn),所以=QUOTE(+)=QUOTE(++)=QUOTE=QUOTE+QUOTE.5.(2024·黃山模擬)已知向量a,b是兩個不共線的向量,若向量m=4a+b與n=a-λb共線,則實(shí)數(shù)λ的值為 ()A.-4 B.-QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選B.由已知得m=kn,即4a+b=k(a-λb).所以QUOTE解得QUOTE6.矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn),若=λ+μ(λ,μ為實(shí)數(shù)),則λ2+μ2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE-QUOTE,所以λ=QUOTE,μ=-QUOTE,所以λ2+μ2=QUOTE.7.(2024·長治模擬)設(shè)向量a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選B.因?yàn)?a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以,共線.設(shè)=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.二、填空題(每小題5分,共15分)8.在如圖所示的方格紙中,向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上,若c與xa+yb(x,y為非零實(shí)數(shù))共線,則QUOTE的值為________________.

【解析】設(shè)e1,e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量,則向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c與xa+yb共線,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以QUOTE所以QUOTE則QUOTE的值為QUOTE.答案:QUOTE9.(2024·侯馬模擬)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=________________.

【解析】因?yàn)橄蛄喀薬+b與a+2b平行,所以可設(shè)λa+b=k(a+2b),則QUOTE所以λ=QUOTE.答案:QUOTE10.直線l上有不同的三點(diǎn)A,B,C,O是直線l外一點(diǎn),對于向量=(1-cosα)+sinα(α是銳角)總成立,則α=________________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】因?yàn)橹本€l上有不同的三點(diǎn)A,B,C,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,所以-=λ(-),即=QUOTE+λ,所以QUOTE所以sinα=cosα,因?yàn)棣潦卿J角,所以α=45°.答案:45°(15分鐘35分)1.(5分)(2024·晉城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿意=QUOTE+QUOTE,則等于 ()A.1 B.2 C.3 D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)?-=QUOTE+QUOTE-=QUOTE,=-=QUOTE+QUOTE-=QUOTE,所以=3.2.(5分)(2024·朔州模擬)在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,則 ()A.y=3x B.x=3yC.y=-3x D.x=-3y【解析】選D.因?yàn)?=2,所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),又因?yàn)?=0,所以點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),所以有:=+=-+QUOTE=-+QUOTE×QUOTE(+)=-QUOTE+QUOTE,因此x=-QUOTE,y=QUOTE?x=-3y.3.(5分)(2024·合肥模擬)設(shè)D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+2+3= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镈,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),所以+2+3=QUOTE(+)+2×QUOTE(+)+3×QUOTE×(+)=QUOTE+++QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+=QUOTE+=QUOTE.4.(10分)如圖,在△ABC中,D為BC的四等分點(diǎn),且靠近B點(diǎn),E,F分別為AC,AD的三等分點(diǎn),且分別靠近A,D兩點(diǎn),設(shè)=a,=b. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)試用a,b表示,,.(2)證明:B,E,F三點(diǎn)共線.【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)?a,=b,所以=-=b-a,=+=+QUOTE=a+QUOTE(b-a)=QUOTEa+QUOTEb,=+=-+QUOTE=-a+QUOTEb.(2)因?yàn)?-a+QUOTEb,=+=-+QUOTE=-a+QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb=QUOTE(-a+QUOTEb),所以=QUOTE,與共線,且有公共點(diǎn)B,所以B,E,F三點(diǎn)共線.5.(10分)經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)=m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】設(shè)=a,=b,由題意知=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(a+b),=-=nb-ma,=-=QUOTEa+QUOTEb,由P,G,Q