2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元評估檢測二含解析新人教B版

PAGE單元評估檢測(二)(第四章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.如圖,角α的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn),半徑為1)交于其次象限的點(diǎn)PQUOTE,則cosα+sinα= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.由隨意角三角函數(shù)的定義知sinα=QUOTE,又α是其次象限角,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE,因此cosα+sinα=-QUOTE.2.(2024·全國卷Ⅰ)tan255°= ()A.-2-QUOTE B.-2+QUOTE C.2-QUOTE D.2+QUOTE【解析】選D.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.3.(2024·遵義模擬)若sinQUOTE=-QUOTE,且α∈QUOTE,則sin(π-2α)= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閟inQUOTE=cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以sin(π-2α)=sin2α=2sinαcosα=2×QUOTE×QUOTE=-QUOTE.4.(2024·衡水模擬)若cosQUOTE=QUOTE,則cos(π-2α)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.由cosQUOTE=QUOTE,得sinα=QUOTE,所以cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.5.(2024·威海模擬)函數(shù)y=sinQUOTE的圖象可由y=cos2x的圖象如何得到 ()A.向左平移QUOTE個單位B.向右平移QUOTE個單位C.向左平移QUOTE個單位D.向右平移QUOTE個單位【解析】選B.y=sinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE,所以把y=cos2x的圖象向右平移QUOTE個單位,得到y(tǒng)=cosQUOTE的圖象.6.(2024·煙臺模擬)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=2A,則b的取值范圍為 ()A.(0,4) B.(2,2QUOTE)C.(2QUOTE,2QUOTE) D.(2QUOTE,4)【解析】選C.因?yàn)閍=2,B=2A,所以0<2A<QUOTE,A+B=3A,所以QUOTE<3A<π,所以QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<cosA<QUOTE,因?yàn)閍=2,B=2A,由正弦定理得QUOTE=QUOTEb=2cosA,即b=4cosA,所以2QUOTE<4cosA<2QUOTE,b的取值范圍為(2QUOTE,2QUOTE).7.(2024·洛陽模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4),則sinQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4),所以sinα=QUOTE,cosα=QUOTE.所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=cosα=QUOTE.8.在△ABC中,AB=3,BC=QUOTE,AC=4,則邊AC上的高為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】選B.由已知及余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE,邊AC上的高h(yuǎn)=ABsinA=QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)9.下列函數(shù)中,是周期函數(shù)且最小正周期為2π的是 ()A.y=sinx+cosx B.y=sin2x-QUOTEcos2xC.y=cos|x| D.y=3sinQUOTEcosQUOTE【解析】選ACD.對于A,y=sinx+cosx=QUOTEsinQUOTE的最小正周期是2π,符合題意;對于B,y=sin2x-QUOTEcos2x=QUOTE(1-cos2x)-QUOTE(1+cos2x)=QUOTE-QUOTEcos2x的最小正周期是π,不符合題意;對于C,y=cos|x|=cosx的最小正周期是2π,符合題意;對于D,函數(shù)y=3sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinx的最小正周期是2π,符合題意.10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個說法中正確的是 ()A.若QUOTE=QUOTE=QUOTE，則△ABC肯定是等邊三角形B.若acosA=bcosB，則△ABC肯定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b，則△ABC肯定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0，則△ABC肯定是銳角三角形【解析】選AC.由QUOTE=QUOTE=QUOTE，利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE=QUOTE，即tanA=tanB=tanC，A=B=C，△ABC是等邊三角形，A正確；由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正確；由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sinQUOTE=sinB，sinA=sinB，則A=B，△ABC是等腰三角形，C正確；由余弦定理可得cosC=QUOTE>0，角C為銳角，角A，B不肯定是銳角，D不正確，故選AC.11.已知向量m=(sinx,-QUOTE),n=QUOTE,函數(shù)fQUOTE=m·n+QUOTE,下列說法正確的是 ()A.y=fQUOTE的最小正周期為πB.y=fQUOTE的圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱C.y=fQUOTE的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱D.y=fQUOTE的單調(diào)增區(qū)間為QUOTE(k∈Z)【解析】選AB.fQUOTE=m·n+QUOTE=sinxcosx-QUOTEcos2x+QUOTE=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x=sinQUOTE,其最小正周期為T=QUOTE=π,A正確;又sinQUOTE=0,因此f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱,B正確;2x-QUOTE=kπ+QUOTE得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z),因此x=-QUOTE是f(x)圖象的一條對稱軸,C錯誤;由2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,即增區(qū)間為[kπ-QUOTE,kπ+QUOTE],k∈Z,D錯誤.12.將函數(shù)f(x)=2sinQUOTE-1的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的QUOTE(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象,則下列說法不正確的是 ()A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱B.函數(shù)g(x)的周期是QUOTEC.函數(shù)g(x)在QUOTE上單調(diào)遞增D.函數(shù)g(x)在QUOTE上最大值是1【解析】選ABD.將函數(shù)f(x)=2sinQUOTE-1的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的QUOTE(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)=2sinQUOTE-1的圖象,由于當(dāng)x=-QUOTE時,g(x)=-1,故函數(shù)g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)QUOTE對稱,故A錯誤;函數(shù)g(x)的周期為QUOTE=π,故B錯誤;在QUOTE上,2x+QUOTE∈QUOTE,g(x)單調(diào)遞增,故C正確;在QUOTE上,2x+QUOTE∈QUOTE,g(x)的最大值趨向于1,故D錯誤.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2024·雅安模擬)函數(shù)f(x)=QUOTEsin2x+QUOTE的圖象在區(qū)間QUOTE上的對稱軸方程為________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE,所以令2x+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,即x=QUOTE+QUOTE,k∈Z,所以當(dāng)k=0時,函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE的圖象在區(qū)間QUOTE上的對稱軸方程為x=QUOTE.答案:x=QUOTE14.如圖,某人在山腳P處測得甲山山頂A的仰角為30°,乙山山頂B的仰角為45°,∠APB的大小為45°,山腳P到山頂A的直線距離為2km,在A處測得山頂B的仰角為30°,則乙山的高度為________【解析】假設(shè)甲山底部為C,乙山底部為D,過A作AE⊥BD于點(diǎn)E.由題意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2km,所以AC=AP·sin30°=1(km),DE=AC=1km,設(shè)BD=hkm,則DP=BD=hkm,BE=(h-1)km,所以BP=QUOTEhkm.因?yàn)椤螧AE=30°,所以AB=2BE=(2h-2)km.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°=QUOTE=QUOTE=QUOTE.解得h=2.所以乙山的高度為2km.答案:215.已知△ABC中,A=QUOTE,cosB=QUOTE,AC=8.則△ABC的面積為________;AB邊上的中線CD的長為________.

【解析】因?yàn)閏osB=QUOTE,且B∈(0,π),所以sinB=QUOTE=QUOTE.所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得AB=7QUOTE,所以△ABC的面積為S=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE×7QUOTE×8×QUOTE=28.在△ACD中,AD=QUOTE,所以由余弦定理得CD2=82+QUOTE-2×8×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以CD=QUOTE.答案:28QUOTE16.(2024·潮州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,BC邊上的高為QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最大值是________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】因?yàn)锽C邊上的高為QUOTE,所以QUOTE×QUOTE×a=QUOTEbcsinA,即a2=2bcsinA,QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE≤QUOTE,故QUOTE+QUOTE的最大值是QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在①B=A+QUOTE，②cosC=QUOTE這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，求(1)a的值；(2)cos2C的值.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=3QUOTE，cosA=QUOTE，_________.

【解析】選①.(1)因?yàn)閏osA=QUOTE，所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE，因?yàn)锽=A+QUOTE，所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE.由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=3.(2)因?yàn)锽=A+QUOTE，所以cosB=-sinA=-QUOTE.所以sinC=sinQUOTE=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以cos2C=1-2sin2C=1-QUOTE=QUOTE.選②.(1)因?yàn)閏osA=QUOTE，所以sinA=QUOTE=QUOTE，因?yàn)閏osC=QUOTE，所以sinC=QUOTE=QUOTE，所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=3.(2)cos2C=2cos2C-1=2×QUOTE-1=QUOTE.18.(12分)(2024·天津模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=QUOTE.(1)求b和sinA的值.(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閍>b,故由sinB=QUOTE,可得cosB=QUOTE.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE.所以b的值為QUOTE,sinA的值為QUOTE.(2)由(1)及a<c,得cosA=QUOTE,所以sin2A=2sinAcosA=QUOTE,cos2A=1-2sin2A=-QUOTE.故sinQUOTE=sin2AcosQUOTE+cos2AsinQUOTE=QUOTE.19.(12分)(2024·山東新高考模擬)在△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D在BC邊上,在平面ABC內(nèi),過D作DF⊥BC且DF=AC.(1)若D為BC的中點(diǎn),且△CDF的面積等于△ABC的面積,求∠ABC.(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.【解析】(1)如圖所示,D為BC的中點(diǎn),所以BD=CD.又因?yàn)镾△ABC=S△CDF,即QUOTEAB×AC=QUOTECD×DF=QUOTEBC×AC,從而BC=2AB,又∠A=90°,從而∠ACB=30°,所以∠ABC=90°-30°=60°.(2)由∠ABC=45°,從而AB=AC,設(shè)AB=AC=k.則BC=QUOTEk.由BD=3CD,所以BD=QUOTEBC=QUOTEk,CD=QUOTEk.因?yàn)镈F=AC=k,從而BF=QUOTE=QUOTEk,CF=QUOTE=QUOTEk.(方法一)由余弦定理得cos∠CFB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(方法二)cos∠DFB=QUOTE=QUOTE,從而sin∠DFB=QUOTE=QUOTE;cos∠DFC=QUOTE=QUOTE,從而sin∠DFC=QUOTE=QUOTE.所以cos∠CFB=cos(∠CFD+∠DFB)=QUOTE.20.(12分)在△ABC中,AC=2QUOTE,D是BC邊上的一點(diǎn).(1)若AD=1,QUOTE·QUOTE=3,求CD的長.(2)若∠B=120°,求△ABC周長的取值范圍.【解析】(1)在△ADC中,AD=1,AC=2QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=|QUOTE||QUOTE|cos∠DAC=1×2QUOTE×cos∠DAC=3,所以cos∠DAC=QUOTE.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠DAC=12+1-2×2QUOTE×1×QUOTE=7,所以CD=QUOTE.(2)在△ABC中由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4,所以AB+BC=4(sinA+sinC)=4QUOTE=4sinQUOTE,因?yàn)?<A<QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE.所以AB+BC∈(2QUOTE,4]所以△ABC的周長的取值范圍為(4QUOTE,4+2QUOTE].21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=QUOTE,B=2A,b=3. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求a.(2)已知點(diǎn)M在邊BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面積.【解析】(1)由0<A<π,cosA=QUOTE,得sinA=QUOTE,所以sinB=sin2A=2sinAcosA=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,又由正弦定理得a=QUOTE=2.(2)cosB=cos2A=2cos2A-1=2×QUO