第八章 立體幾何訓(xùn)練（三）-異面直線所成的角-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊專項訓(xùn)練

第八章立體幾何專題訓(xùn)練（三）一異面直線所成的角

一.單選題

1.已知正四面體P-ABC,D為A4中點，則與AC所成角的余弦值為（）

Ay/3RV33nx/33

6622

2.如圖，在四棱錐P-A88中，底面A88為矩形.24,底面ABC。，PA=AB=2,

AD=4.￡為PC的中點，則異面直線。。與8E所成角的余弦值為（）

v

A—B.叵

tr.VionLz.3Vio

5101010

3.如圖，在正方體A8CQ-A4CQ中,石為線段A。上不含端點的動點，則直線與CG

所成的角的余弦值不可能是（）

D

B--C

'?9B.；C.—D.立

34

4.如圖，在直三棱柱A8C-AB。中,ZABC=120°,AB=2,BC=\,CC.=72,則異

面直線AB】與BC、所成角的大小為（)

匚

A.60°B.60°或120°C.45°D.135°或45°

5.在直三棱柱中，ZABC=120°,AB=BC=CC、,則異面直線A區(qū)與BQ所

成角的余弦值為（）

A.-且B.--C.-D.且

4444

6.在四棱錐S-71BC。中，SAJ_平面ABC。，ABLAD,AD//BC,SA=AB=AD=1,

BC=3,則異面直線S8與CD所成角的余弦值為（）

Ax/ioRx/io「2石n石

51055

7.已知正三棱錐BCD的底面是邊長為6的正三角形，其外接球球O的表面積為64萬，

且點A到平面88的距離小于球O的半徑，￡為AD的中點，則異面直線與CE所成角

的余弦值為（）

A722R722「Mn719

88442040

8.矩形中，AB=4,AD=2,點￡為CD中點，沿/正把AADE折起，點。到達(dá)點

P，使得平面F4E_L平面A8CE,則異面直線他與PC所成角的余弦值為（）

9.如圖，棱長為2的正方體4BCD-A4GR中，P在線段Bq（含端點）上運(yùn)動，則下列

判斷正確的是（）

A.A.P1B.D

Q

B.三棱錐R-APC的體積不變，為］

C.AP//平面ACR

D.A尸與RC所成角的范圍是(o，()

10.在直三棱柱ABC-A4G中，各棱長均為2,E,尸分別為線段AB,A片的中點，則

()

A.平面AG尸〃平面MCE

B.CEVAF

C.直線AF和C4所成角的余弦值為叵

5

D.該棱柱外接球的表面積為等

11.如圖，正方形ABCD的邊長為1,M、N分別為8C、8的中點，將正方形沿對角線

AC折起，使點。不在平面A8C內(nèi)，則在翻折過程中，以下結(jié)論正確的是()

A.異面直線AC與MN所成的角為定值

B.存在某個位置，使得直線4)與直線8c垂直

C.三棱錐N-ACM與8-ACD體積之比值為定值

D.四面體A8CD的外接球體積為叵

3

12.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D,E,尸分別為各邊的中點，G,”分別

為DE,A尸的中點，將AABC沿DE,EF,「折成正四面體尸-DEF,則在此正四面體

中，下列說法正確的是（）

2

A.PG與?！ㄋ傻慕堑恼抑禐椋?/p>

B.DF與PE成角芻

2

C.GH與尸￡）所成的角為f

4

D.PG與防所成角余弦值為更

6

三.填空題

13.已知正三棱錐P-ABC中，。是BC的中點，若三個側(cè)面是直角三角形，則直線PD與

直線AB所成的角的大小為一.

14.在四面體ABCD中，AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=1,則4?、C￡＞所成的

角的余弦值為一.

15.已知長方體A8CD-ASG。中，AB=2BC=4,E是GR的中點，且異面直線4。與

CE所成的角是60。.則在此長方體的表面上從A到C的路徑中，最短路徑的長度為一.

16.如圖，已知棱長為2的正方體ABC。-中，點尸在線段AC上運(yùn)動，給出下列

結(jié)論：

①異面直線AP與DDt所成的角范圍為g,1］；

②平面PBDiJ.平面4G。；

③點P到平面的距離為定值當(dāng)；

④存在一點P,使得直線"與平面8CC與所成的角為3.

其中正確的結(jié)論是.

17.如圖，已知點P在圓柱。。的底面圓。上，A3為圓O的直徑，。4=2,ZAOP=120。,

三棱錐A-4PB的體積為手.

(1)求圓柱的表面積；

(2)求異面直線AB與OP所成角的余弦值.

18.正三棱柱ABC-ASG中，。是3c的中點，AB=2,M=3.

(1)求三棱錐G-ABC的體積；

(2)求證：A8”平面AD￡；

(3)求異面直線A8、CQ所成的角的正弦值.

19.如圖直三棱柱ABC-A4G,在底面A8C中，CA=CB=l,ZBCA=9Q°,棱AA=2,

M,N分別為A4,44的中點.

（1）求證：平面GMN；

（2）求異面直線地、所成角的余弦值.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA^ABCD,AB=BC=2,AD=CD=S，PA=6

ZABC=120°,G為線段PC上的點.

（1）證明：301,平面P4C;

（2）若G是PC的中點，求DG與A4C所成的角的正切值；

（3）在（2）的條件下，求異面直線8G與PD所成角的余弦值.

第八章立體幾何專題訓(xùn)練（三）一異面直線所成的角答案

設(shè)正四面體的棱長為2,

貝|」3。=8%=7^1=6，ND=\,且DN//AC,

.?.NBDN是異面直線與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），

故異面直線。3與4c所成角的余弦值為：

BD2+DN2-BN23+1-3G

cos/BDN=

2xBDxDN2x^x1-6

故選：A.

2解：以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為x,了，z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2),。(0,4,0),8(2,0,0),C(2,4,0),E(1,2,1),

PD=(0,4,-2),BE=(-1,2,1),

——PDBE8-2x/30

,,\PD\\BE\V16+4XV610

???異面直線PD與BE所成角的余弦值為我.

A

故選：B.

3.解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示;

設(shè)正方體的棱長為1,則與(1,0,1),

設(shè)E(0,a,\-a),

所以庭=(-1,a,-。)(0<“<1),西=麗.=(0,0,1),

r?CC|?B|E—a?

cos<C---C--.-,Bn\E>=/=-.<0；

|CC,|x|B,￡|J2a2+1

令f(x)=-^=^=,xe(0,l),

V2JC2+1

則…扁，立

所以/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

易知y（x）=

（一孚0），

所以/(x)e

則直線B\E與CC,所成的角的余弦值的范圍為

故選：C.

4.解：以8為坐標(biāo)原點，BA,8%為X軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因為NABC=120。，AB=2,BC=1,CC、=6,,

.A

則A(2,0,0),B,(0,0,V2),B(0,0,0),C,,y,75),

_______1/o

所以福=(-2,0,&),眄夜)，

設(shè)異面直線ABi與BCt所成角為e,

則cos。=|cos<ABt,BC；\=世型=包,

IABt||BC,|2

又0°＜。,,90°,

所以6=45。，

故異面直線AB1與8G所成角的大小為45。.

5.解：如圖所示，不妨設(shè)A3=l.

AB[=AB+BB；,BC\=BC+CQ=BC+CC；.

AAB,-.BC；=(AB+BB,)(BC+CC；)

=AB-BC+AB-CC.+BB；?BC+8瓦?CCX

3

=cos60°+0+0+l=-.

2

設(shè)異面直線Ag與BG所成的角為。,

3

3

則cos”2

IABJ-IBCJV2x5/24

3

故異面直線Aq與BG所成角的余弦值為

故選：C.

6.解：以A為原點，AB,AD,AS所在的直線分別為x,V,z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則S(0,o,1),3(1,0,0),C(l,3,0),D(0,1,0),

SB=(1,0,-1),CD=(-1,-2,0),

——SBCD-1M

?cos<SB，CD>=--：-----=—j=--7==----,

|SB|?|CD|6.x小10

???異面直線夾角的取值范圍為(0,

???異面直線SB與CO所成角的余弦值為叵.

10

故選：B.

7.解：因為外接球球O的表面積為64%，

設(shè)其半徑為廠，則有44，=64〃，解得r=4,

設(shè)點A到平面BCD的距離為x,

則有(x-4)、(6xg)2=42,解得x=2或x=6(舍),

取班>的中點Q,則EQ//AB,

所以異面直線■與CE所成角為NQEC或它的補(bǔ)角，

AB=yJx2+B'O2=V4+12=4>即AC=AD=4,

所以EQ=2,而CQ=6x=3\/3,

d2a-d2—6~

故cos/CAD=t—2

2x4x48

所以C￡2=AC72+AE2-2ACAECOSZC4T>=164-4H--X4X2=22,

4

所以CE=也，

/c”CE2+gE2-Ce222+4-27后

Wr以cosZQEC=-------------------=-----；=——=---------

2CExQE2x722x288

故異面直線AB與CE所成角的余弦值為叵.

88

故選：A.

8.解：如右圖，因為AB〃CE,異面直線AB與PC所成角就是NPCE或其補(bǔ)角,

在APCE中，EC=2,PE=2,

在左圖中作垂足為O,則。0=0,OC=M，

所以PC=yJPO2+OC2=72+10=2G，

PC2+EC2-PE212+22-22_>/3

所以cosNPCE=

2PCEC2x26x2-2

故選：D.

H

?

9.解：棱長為2的正方體438-ABC。中，P在線段8c（含端點）上運(yùn)動，

對于A,B,C1BC,,CD±BCt,B,CQCD=C,B、C、COu平面C￡>g,

BQ_L平面CDB、,丹￡>u平面CDBt,：.B,D±BCt,

同理，BID±AICI,-,■4GQsq=q,AG、sgu平面ARB,二線。，平面AGB,

?.?APu平面AGB,故A正確：

對于B,P在線段BC,(含端點)上運(yùn)動，BC\〃AD\,Bq<jt平面ACDt,A〃u平面ACDt,

BCJI平面ACDX,p到ACR的距離是定值，

以A為原點，44為x軸，RG為y軸，2。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

4(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),8(2,2,2),

取=(2,0,2),麻=(0,2,2),取=(2,2,2),

設(shè)平面AAC的法向量用=(x,y,z),

m-D,A=2x+2z=0

則_L,取x=i,得成=(i,i,-i),

m-DXC=2y+2z=0

P到平面RAC的距離d=叱丁=2=2^(

ImlV33

二.三棱錐R-APC的體積為：

%-用=匕,小=35ixJ=1xlxV22+22XV22+22xsin60°x^=p故B錯誤;

對于C,-：ADJIBC,,CDJ/A.B,/ID.QCD,=D,,BC}p\A,B=B,

二平面A￡>|C//平面8GA,A?u平面BC|A,AP//平面AC￡)|,故C正確；

對于O,在線段8G(含端點)上運(yùn)動，

???當(dāng)P與5重合時，吊尸與2c所成角為0,

當(dāng)p與G重合時，AP與所成角為?，故。錯誤.

故選：AC.

10.解：在直三棱柱ABC-ABC中，各棱長均為2,E,F分別為線段4?,4片的中點,

對于A,-：QF//CE,AF//B.E,CtF^\AF=F,CE^\BtE=E,

平面AC///平面gCE,故A正確；

對于8,???CELA8,CELAA,,AB^AA,=A,鉆，A4,u平面ABqA，

7

.?.CEJ_平面ABBA,?.?4(=平面筋44，，(為_14產(chǎn)，故8正確；

對于C,以E為坐標(biāo)原點，￡4為x軸，EC為卜軸，EF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A(l,0,0),F(0,0,2),C(0,叢,0),4(-1,0,2),

AF=(-1,0,2),西=(-1,_+,2),

設(shè)直線AF和C與所成角為。,

\AF\-\CB{\75-784

直線AF和Cg所成角的余弦值為我，故C錯誤;

4

對于。，過A48C的重心G作平面ABC的垂線GO,在GO上取GO=1,

則。是該棱柱外接球的球心，連接X,

*..GC=^EC=當(dāng),二球半徑R=OC=/2+（苧j=g

該棱柱外接球的表面積為S=47X故。正確.

故選：ABD.

11.解：對于A,取AC中點O,連接03,OD,則AC_LO3,且ACJ_O￡),

.?.4。_1平面08。，.?.4。_18。，異面直線AC與比）所成的角為90。,

又MN//BD,.?.異面直線AC與MN所成的角為定值，故A正確；

對于3,若直線4）與直線3c垂直，

??,直線與直線3c也垂直，則直線3C_L平面

..直線BCJ.直線如，又8O_LAC,.?.比>_1_平面ABC,:.BDVOB,

而△05是以08和6?為腰長的等腰三角形，與題意不符，故B錯誤;

對于C,M,N分別為正方形43CD的邊8C、8的中點，

A4C￡>與AACV面積比為2:1,

B到面ACD的距離與M到面ACN的距離之比為2:1,

三棱錐N-AC/必與體積之比值為定值,故C正確；

4

對于。，外接球球心。在AC中點，由題意解得外接球半徑R=也，

2

???四面體A88的外接球體積為V=g；rx（￥）3=舞，故。正確.

故選：ACD.

12.解：對于A,AABC的邊長為4,折成正四面體P-Z）EF后，如圖,

-,D,E,尸分別為各邊的中點，G,“分別為小，"'的中點，

:.DHkFP,DEA.GP,

連結(jié)FG,取GF中點用，則MW//GP,

???異面直線PG馬DH所成角為ZDHM,

GP=yf3>HM=——,連結(jié)MD,WDM———，DH=>

22

；.PG與叫所成的角的正弦值為：■，故4錯誤；

對于3,正四面體P-。上尸中，取。尸中點N,連結(jié)PN,EN,

則取_1_/)尸，EN±DF,.?.￡)F_L平面尸EN,

冗

..DFA.PE,.?.。廠與收成角彳，故8正確；

對于C,連結(jié)GN,HN,則NH//DP,

異面直線GH與PD所成的角為NGHN,

GH=JGP2_（9）2=GH=HN=\,

cosNGHN=a十二.=立，NGHN=-,

2xV2xl24

.?.G”與P力所成的角為￡,故C正確；

對于。，異面直線PG與￡F所成角為NPGN,

PG?+GN?-PN?3+1—3g,故D正確.

cos/PGN=

2xPGxGN2x6x1o

故選：BCD.

13.解：取AC中點E,連接PE、DE,

設(shè)以=1,則AB=AC=BC=\lf+12=6,

DE!/AB,S.DE=-AB=—,

22

.?.NPDE是直線PD與直線45所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

:PA=PC=PB=\,ZAPC=N8PC=90°,

:.PE=PD=—,

2

.?.MDE是等邊三角形,

ZPDE=60°.

直線PD與直線AB所成的角的大小為60°.

故答案為：60°.

14.解：作出四面體ABCZ）的外接長方體如圖所示，

設(shè)長/）'C=a,寬C4'=〃，高A'O=c,

a2+Z?2=72

則由勾股定理可得，\a2+c2=62,解得/=6,

b2+C2=52

連結(jié)A9交8于點E,則異面直線回、8所成的角為NA'ED（或補(bǔ)角），

Arp2np2_Afn2

在△AEO中，由余弦定理可得，cosZA'ED-a」—上二

2AEDE

所以回、8所成的角的余弦值為1宗3

13

故答案為：—.

取8中點E,連接。尸，可得〃尸〃CE,

???異面直線AR與CE所成的角是60°,NARF=60°,

設(shè)。。=〃，-.-AB=2BC=4,:.AD=DF=2,則且AF=20,

又NARF=60。，AD^^+n2=272,求得〃=2.

可得長方體A8C。—ASGR中，AB=2BC=2AA]=4,

則在此長方體的表面上，從A到c的路徑中，最短路徑是沿co剪開，

繞4?把平面ABC。翻折至與AA與8所在面重合，連接AC所得線段長度，

大小為J（2+2>+42=4&（另外兩利1情況長度相等為2而，不是最小值）.

故答案為：4&.

16.解：對于①，當(dāng)尸在C點時，ORL4C,

7T

異面直線AC與。2所成的角最大為1,

TT

當(dāng)P在四點時，異面直線AB,與所成的角最小為/￡>℃==,

異面直線AP與。。所成的角的范圍為亨如故①錯誤；

對于②，因為平面AG。，所以平面平面ACQ,故②正確;

對于③，片c//平面AG。，所以點P到平面AG。的距離為定值，且等于8A的g,

即2y3,故③正確；

3

對于④，直線AP與平面BCG4所成的角為NAP瓦tanZAPB=—,

BP

當(dāng)3PJ,81C時，BP最小,tanNAPB最大，最大值為正＜tan?,故④不正確，

故答案為：②③.

17.解：(1)由題意，在AAOP中，OA=OP^2,ZAOP=\20°,所以AP=26，

在ABOP中，OB=OP=2,ZBOP=GO0,所以3P=2,

因為三棱錐A-APB的體積為華.

所以%-AP3=gxgx2有x2xA4,=|百，解得例=4,

故圓柱0。1的表面積為S表=2^-x22+2zrx2x4=24^-.

(2)取A4,中點。，連接OQ,PQ,則。。//4田，

得NPO?；蛩难a(bǔ)角為異面直線AQ與OP所成的角，

又AP=2下＞，AQ=AO=2,得OQ=2亞,尸。=4,

由余弦定理得cosNPOQ=+整魯=W，

2xPOxOQ4

???異面直線A8與OP所成角的余弦值為它.

18.解：(1)?.?正三棱柱ABC-A耳G中，。是BC的中點，鉆=2,M=3.

二三棱錐G-A8C的體積為:

匕-板=gx%8cxec?=1xlx2x2xsin60°x3=>/3

(2)證明：連接AC,交AG于點O,連接8,

???ACCA是矩形，是AC的中點，

?.?。是BC的中點，.?.48//。。，

?.?48《平面4。6，8匚平面4。6,

??.48//平面4。。一

(3)?.?A8//O。，.?.NOQG是異面直線48、CQ所成的角,

CQ=?+32=M,

13⑺13

OO+CW-OC；-+10-----

cosZODCj44

2xODxCD

}2x姮xM

2

19.(1)證明：在直三棱柱A8C-A與G中，?.?“為A耳的中點，GA=G4,

:.C,MI\BX,平面4gA4,?.?BNu平面A4BA,

CXM1BN,

.CA=CB=\,NBC4=90。，M=2,N為的中點,

易得MN=亞,BN=G,

2

連接MB,得MB=￡^,

2

.-.MN2+BN2=MB2,

則NBNM=90。，即BN_LA?V.

?.?MVu平面JAIN,C|Mu平面C|MN,-M,

.?.8N1,平面GMN.…（6分）

（2）連接8G交BC于點。，作AC，gG的中點分別為E,F,

連接DE,EF,FD,則NEDB］即為異面直線8A、CB,所成的角，

易求得DE=4EF2+DF?=旦,DB,=—,EB.=—,

2'212

65_5

_DE2+DB；-EB；4+4~4而

則在AEL型中，cosZ?,=一示=』金=不「…。2分）

2DE-DB,八，46,510

2x——x——