初中數學50道經典難題

初中數學

50道經典幾何難題合集

第一題:

已知：A43C外接于。O,ABAC=60°,AE±BC,CF1AB,AE、CT相交

于點，，點。為弧8c的中點，連接AD.求證：為等腰三角形

筒證：易證N6HC=12()°,ZBOC=120°,：.B.H、

()、c四點共圓。A

DB=DO=DC,；.DH=DO=()4又4H〃OD,/.

4〃)O是菱形J/v\

：.AH=HD,△*”。為等腰三角形。//\\\、

第二題：

如圖，方為正方形/灰刀邊（刀上一點，連接4C、

AF,延長力少交4C的平行線。方于點￡,連接

（力，且AC=AE。求證：CE=CF

簡證：作點E關于AD對稱點G,則DE1.DG

△CDGQAADE,△力CG是等邊三角形。

NG力C=60°,ND4F=15°,ZCEF=30°,

ZI）EF=3O°,ZCFE=30°,

???△CE尸是等腰三角形。CE=CFO

S

第三題:

A

已知：A4/TC中，AB=AC,ABAC=20°,ZBDC=30°0口

求證：AD=BC

簡證：以AD為邊作正三角形ADE（如圖）

易知△4AC四△C4E

：,AD=AE=BCo

B

第四題:

已知：AJ/r中，。為/C邊的中點，ZL4=3ZC,ZADB=45。。求證：AB±BC

簡證：過D作DE_L4C交于E

由已知得力￡=￡C,ZEAD=ZC

又/力=3/C,AABAE=ABEA

BA=BE,由N4M=45°得NEDK=45°

D、E、區(qū)四點共圓，Z.ABE=ZADE

90°

即ABA.BC,

第五題:

如圖，四邊形力3。）的兩條對角線力C、BD交于點、E,ABAC=50°,/ABD=60。,

ZCBD=20°,ACAD=30°,ZADB=40°0求4CD。

解：設/ID、BC交于點F,過D作DG〃/出

交BF于點G,AG交BD于H0則

△力6”是等腰三角形，力、B、G、D四點共

圓。

ZDAG=ZDBG=<20°,AZBAG=60°

ZBDG=ZB/1G=6O°,AAGD=AABD

=60。是等邊三角形。△月BH是

等邊三角形

BH=AB=BC,：.ZBHC=80°,ZCHG

=40°

/.ZHGC=40°,：.HC=GC,：./\HCD^

△GCD

AZIIDC=3O°,AZACD=80°。

第六題:

已知，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC。求證：AB2+BC2=BD2

簡證：以/〃3為邊向外作正三角形

則8CJL6E,BE2+BC2=CE2

易證加絲△(?月E,BD=CE

于是AB?+BC2=BD?.

c

第七題:

如圖，〃('切。。于('，4。為圓的直徑，為。。的割線，AE、4”與直線八9相

交于B、De求證：四邊形力5CQ為平行四邊形

證明:過C作CG_LPO于G,

則由AAE€=ZPG('=90°得

E、B、G、。四點共圓

同理F、D、G、C四點共圓

是。0切線，P(、2=pEpF

在.RTAPCO中，PC2=PGPO

：.PEPF=PGPO,

：.E.G、0、尸四點共圓。AZOGF

=N()EF,NBGE=NOEF,AZ

OGF=NBGE

又CG_L/＞。得N￡GC=NRGC,NEGF=NE0F=2/E/F,：.ZEGC=Z.FGC=ZE.IF

乂NEGC=ZEBC,^FGC=NFDC,：.ZEBC=ZFDC=^EAF

：./"'〃BC,北〃CD,...四邊形，始CD是平行四邊形。

□

第八題:

已知：在A46C中，AB=AC,44=80。，ZOBC=10°,AOCA=20°o

求證：AB=OB

簡證：延長C。交N5于D,以OC為邊作正三角

形OCE(如圖)

易知月C=DC,BD=OD,OC=AD

△z/CE^AC//D,XACgXAEO,

ZCA()=-ZCAE=\O°

2

/.ZBAO=7O°,Z^BO=40°

：.ZBOA=7O°,：.AB=()B.

第九題:

已知：正方形45CD中，ZOAD=ZODA15°,求證：ACMC為正三角形。

簡證：以為邊作正三角形月co'（如圖）

D

則48=0'B,Z/1B0'=30°,A

：?4BAO'=75°,/DAO'=15°O

同理NRDO'=15°Of

于是△/DO'四△力DO

.??0與O'重合

△OBC是正三角形。

BC

第十題：

已知：正方形/BCD中，E、F為AD。。的中點，連接BE、AF,相交于點P,連

接PC。求證：PC=BC

簡證：易知/

BEX.AF,：.B.C、F.P四點共圓

ZBPC=ZBFC

ZPBC=ZBEA

而/△￡〃=/石尸(,

：.ZBPC=ZPBC

：.P(=BCo

BC

第十一題:

如圖，力與A4OE都是等腰直角三角形，NADE=NACB=90。,NCDF=45。，DF

交BE于F,求證：NCND=90°

證明：只要證明△(￡>/,'是等腰直角三角形時，E

共線即可。

設C=0,6=1,A=i,D=x+yi(x,yeZI)

AD=1)-A=x+(y-l)z,

TE=>l2ADe^=>[2\x+(y-\)i]-^-(\-iy-

:?E—A+/E=i+x+y-\+(y-x-l)z=x+y-1+(y-x)7

—6——---

DF=—DCeA,

2

——J27211

F=D+DF=x+y/(1+/)=-(x+^)+-(y-x)/

???E+B=x+y+(y-x)i=2/「

J尸是EB中點，???△「DF是等腰直角三角形，ZCFO=90°O

第十二題:

已知：中，N('BA=2N('AB,N(力力的角平分線8。與NU5的角平分線力。相

交于點。，且=求證：4(3=60。

簡證:作Z.ABD的平分線3E交NC于E,

易得四邊形ABDE是等腰梯形

AD=BE,HC=BE

ZC=ZCEB=3Z/1BE

NCBE=3//BE

???△/3C￡為等邊三角形

N*(13=6O°O

BA□

第十三題:

已知：在A48c中，AC=BC,ZC=100°,AD平分NCAB0求證：AD+CD=AB

簡證：作BE使得N力笈E=8O。交直線AC于E,AD延長線與BE交于點F

則BC是N/1BE的平分線，NC，B=4O°

ZAEB=60°

ZCDF=120°,C、D、F\￡四點共圓

ZDFC=ZDEC=ZDEF=ZDCF

(D=DF,AD+CD=AF=AB0

第十四題:

已知：A43C中，AB=BC,。是NC的中點，過。作Q￡_L3C于后，連接取DE

中點方，連接即。求證：AEA.BF

DECE

BDBD、DCAC

-----=2=2=,△BDFS/\ACE

DFDECECE

NDBF=NC4E,:.A、D、G、5四點共圓。

NBG,4=NBD力=90°,/1E1BFO

第十五題:

已知：A45C中，4=24。，ZC=30°,。為NC上一點，AB=CD,連接8Q。

求證：ABBC=BDAC

簡證：以48為邊作正三角形(如怪I)

由NC=3O。WOC=OB

N2OC=2/8ZC=48°

ZA()C=\O8°,NOCD=36°

OC=OD,NCOQ=72°

ZBOD=^°

4/1BDqLOBD,N/BD=3O°

叢/IBDs叢/KB,AB?BC=BD-AC.

第十六題:

已知：ABCD與ABK'Qi均為正方形,4、B1、C、/萬分別為44、(、3、DD、

的中點。求證：4層「2。2為正方形

4

簡證：只要證明AA必1%是等腰直角三角形即可。

設3=0,C=1,A=i,B\=b,Ci=cCb,C€J).則Bi

41)1

4=^+(C「8”=b+(cW

.A+A,i+(c-b)i+b

“2=M=-2—

B,=—=2

22Bi

/?2C2i=(C2—Z?2)z=-~—i

i+(c-b)i+bbc-h+\,

BA=A2-^2=--------------------=----------z

222

:.R2c2上氏4,I&GI=I顯出I

HC回

第十七題:

如圖，在三邊上，向外做三角形力8A、BCP、CAQ,使=NG40=45。,

ABCP=ZACQ=30°,AABR=Z.BAR=15%求證：RQ與RP垂直且相等。

簡證：以6R為邊作正三角形（如圖）

則△0/〃是等腰直角三角形，

△QUBsAPCB,AORPs△月BC

△ORPg△nRQ

:,理尸RP,R^±RPO

B

A

R

第十八題:

如圖，已知/￡＞是。。的直徑，。是中點，AB、ZC交OO于點￡、方，EM、FM

是。。的切線，EM.RW相交于點M,連接〃M。求證：DMLBC

簡證：如圖，過0作G"_LDM,

△OGEs△MI)E,△OHFs△八〃)尸

.OG_OEOF_OH

：.OG=OH

AGDII是平行四邊形，D是AC中點

，G、H分別是力八、/C的中點

AGH//BC,DMLBCo

M

第十九題:

如圖，三角形/BC內接于。0,兩條高4。、應1交于點〃，連接49、OH。若AH=2,

BD=3,CD=],求三角形力0H面積。

解：設HD=.c,/是3c中點，OF=d

由R-CDsRt/\BUD得

—解得1=1

3x

AD=3,由OB=O力得

拉+/=7（3-t/）2+l2得d=1

OHDF為正方形，011=1

三角形力?！娣e為，x2xl=l。

2

第二十題:

如圖，ADAC=2x,ZACB=4x,ZABC3x,AD=BC,求/BAD.

解：延長8c至￡,使CE=8D,則

/1D=DE,設/￡=￡,則N￡4C=4.Z—￡,

由AD=DE得6i—t—t,t=3%，

：.AB=AE,A/BDmA/IEC

：?4D=AC,NZDC=4I,

...2N+4Z+4Z=180°,1=18°

即NR〃)=18°O

第二十一題:

已知：在火/A4^(r中，AABC=90°,。為上一點，片是8。的中點，Zl=Z2o

求證：ZADB=2ZABD

簡證：過A作BD平行線，交CE于F,

交CB于G,則G卜、

FA=FG=FB,

易得△力DEg△尸跳：

ZADE=ZFBE

ZCBE=ZBGF=ZGBF

NFB戶/月BD

//DB=2/jBD0

ADC

第二十二題:

已知正方形"CD,〃是CO上的一點，以48為直徑的圓。。交/〃、PB于E、卜,，

射線?！?、（戶交于點求證：點A7在。。上。

證明：設DE與圓0交于N,

DEDM=DA2=DC2

：./\DN€^/\DCE

：.ZDCE=ZDNC

B、C、P、E四點共圓，

/.ZDCE=ZPBE=ZFNE

:.NDNC=/FNE

:.N、AC三點共線，即DE、C尸的交點為

N,M與N重合。

故點M在。O上。

第二十三題:

已知，點。是A4BC內一定點，且有ZDAC=ZDCB=ZDBA=30。0

求證：AzfBC是正三角形。

證明：顯然當AJBC中DA=DB=DC^,

△/"C是正三角形。

當△/〃3c中D,4、DB、DC有兩個相等時，

易證是正三角形。

卜面證明△/〃3（,中DA、DB、DC互不相等

是不可能的。

1）/1、DB、DC互不相等,不妨設D力最小，

Q/?最大。以1）為圓心，QC為半徑作圓，

則/在圓D內部，B在圓D外部。

圓D上取點E,使得NCDE=120°,BC

與圓D交于點R則△（/；2'是正三角形。

ZDAC=ZDEC=30°,有D、力、E、C

四點共圓。

ZJED=ZJCD<30°,有點，在△FED內部。

設43與E尸交于點G,由NG5D=NG尸D=30°知D、G、B、尸四點共圓。

/.ZFGD=ZFHD<ZCFD=SO°,而/FGD>N/」￡D=30°這是矛盾的。

故△是正三角形。

/"C□

第二十四題:

如圖，過正方形的頂點A的直線交BC、CD于-M、N,DM與BN交于點L,BP1BN,

交DM于點、P。求證：(1)CL1MN,(2)AMON=ABPM

證明：(1)設C=0,D=—l,B=i,

A——1+i,M—aitN—b(a,be」)

A、M.N共線，有上絲e口，

N-M

即T+—a/w口得6

b-ai1-a

DM^\+ai,BN--i,求得

\-a

L=

-a~+a

+/?)

(72-a+1

,AN=——F1—Z=-------i

1-a1-a9

_J__.

B=一L一=匕"1/,小里?。?CLLMN.

CLa—aa-a

a2-a+ly/

,、7777.?Q11.cQ11.1(1T

(2)BN?/=1+-----1,0=——+-/,ON=----+-----/=一一

I-a221-a222l1-

1+a-2a2+(3a-l)z

2(一)2

11+a-la24-(367-1)/

DM?。/=(1+叫.十

22

BN-i-ONWN-i10M

，且

DM-OM(1-a)2DM(1-a)2ON

由BPI.MV得ZM0N=arg,ZBPM=arg

：.ZM0N=ZBPMo

第二十五題:

已知：在正方形43（。中邊長為1,￡是（'￡＞上一點，AE交BD于點、G,交8（,的延長

線于點F,連接O廠，交CO于點〃，連接G，。

CF-CH

求證：（1）當且僅當￡為（'￡＞中點時，OG+GH=A（）；S）S=——--

證明：（1）E為（N）中點

<^>OE//BC,AD=CF

<,'>-E--H-----O--E--..1.

CH~FC~2

DH2ADDG

----=-=-----=-----

CHiraBG

DHDG,…、

O——=——（0是?。┲悬c）

CHGO

OGH//OC

0GH=GD

=OG+GH=OD=AO

（2）取8（1中點K,則由/

sRi叢FKO

CHCF.CHCFLTTR，，廣/，〃CF-CH

----=,即一；一=-------r，展開得（rCH=-----------

KOKF1J2

Cr+—

22

1CF-CH

所以S//cF=5C/'?'"=y—

□□

第二十六題:

已知：ABCD與AEFG均為正方形,連接（戶，取CF的中點/，連接。A/、ME。

求證：△的)后為等腰直角三角形

證明：設01、0?分別是正方形/BCD、

力E尸G的中心，則

(XM//AF,02M//AC

()}M=AO.=O2E,

().M=AOx=OxD,

/D0IM=90°-N/OIM=9O°-

ZAO2M=NMO?E,

/.△DO^f^AAfOoE,MD=EM

又OXM±O2E,O2M±O1D,MD

LEM

故△△〃)￡：為等腰三角形。

DE

第二十七題:

四邊形力80。中，對角線8。交于點。，1.AB=ADA()=OCo請你猜想

/8+及9與40+0。的數量關系，并證明你的結論。

解：過力作AELBD于￡,過C作CFA.BD于F,

由力0=0('得力EC/是平行四邊形

又AB=AD得E是6D中點

設BE=z,AE=d,()E=t

AB=\/x2+d2,BC=yj(x+2l)2+d2)

B()=x~\'t,()D~x—t(j：>/)"

當BO>0D時，/>0,AB+BO>BC-\-

yjx~+t/~+x+/>yj(x+2/)~+d~+x_t

o(-Jx2+d2+2/)>

當6O=OD時t=o,AB+BO=BC-￥0D

由對稱性，當BO<OD時48+BO<BCA-OD

綜上，當40>0D時，AB+BO>BC-]-OD；

當B0=OD時，AB+B0=BC+OD；

當B0<OD時，AB+B0<BC+ODo

第二十八題:

已知：四邊形ABDC中，ZABC=ZACB=58°，NCAD=48°,NBCD=30。，求N協(xié)

的度數。

解：作△8CD的外心O,則由N石CD=3O°得

△△DO是等邊三角形，

AABC=ZACB,()B=OC

:./\AB(足&ACO,

力。平分NR/C,

Z.BA()=-NB4C=32°

2

而N6〃Q=64?！?8°=16。

ZD平分NH4O,又BD=BO

：./\ABD^/\AOD(否則/6D0>6()°),

.?.//?>;=30°o

D

第二十九題:

在AJBC中，。是4片的中點，ZJ）AC=2ZDCA,NQ（力=30。，求NA的度數。

解：作GD的垂直平分線交NC于￡

作△8CD的外心0,則

ZDEA=2ZD€E=ZDAE,

：.AD=DE,又D是力3中點

：.BE.L/1E,又NDC/3=8O°

△BD0是等邊三角形，于是DO=BD

ZBO/l=f）O°,：.A.B、0、E四點共圓

若O與E重合（如上圖），則N46C=105°；

若0與七不重合（如下圖），則四邊形DOCE

是菱形，

ADO//AC,且NQQ7=3O°

ZDAE=60°,△/〃）￡是等邊三角形

；?￡是/7C中點，??.△々C是等邊三角形

，ZJBC=60°

故所求N8=105°或60°。

第三十題:

在四邊形48CD中，AD=CD,AC=BI),ABLAC,求N4EC的度數。

解:取AC中點F,則由AD=CD得

DF±JC,又MLLHC得

AFFF

Rt/\ABE^Rt/\FDE,—-=—

BEDE

.AEFEAE+FE_AF

，9HE~~DE~BE+DE

，N〃E3=60°,NBEC=120°o

BC

第三十一題:

在RAABC中,ZACB=90°,ZCAB=60°,CDA.AB,M、N為直線力〃上的兩

點，且NMC4=NNa?=8。，求NEAG的度數。

S

第三十二題:

如圖，A4BC中，8DJ.4C于O,￡為8/)上一點，且480=38°,ZCHD=68°.

ABCE=\4°.求/。4￡的度數。

ED

3嗡CD

tan8°tan52°

tanZ.EAI)=tan24°

tan22°

ZDE//=a4°o

已知BD是AABD邊AC上高，ZABD=38o,ZCBD=680,ZBCE=140,ZDCE=8°,

求/CAE

證明設NDAE-x,

BEABsln(52°-x)BCsln140

因為點二一----------------，得到

ADsinxDCsln8°

sin(52°-x)sln14°

，可知sln68。61n80sln(52。

sln38°slnxsln68°sln8°

=sin38°slnxsin14°,進而，1。24。，1m52。一)

=4?ln520sln380sinx?ln140*sln280?inx,TS

?ln24°sln520

9襁=s|n24°C852°+sln28-'=tan24°,W以NDAE=x=24°

□

第三十三題:

CD為。。的直徑，/、8為半圓上兩點，為過點。的切線，AB爻DE于E,連接

0E,交CBFM,交NC于N。求證：ON=OM

證明：設0=o,D=i,C=—i,A=e,a,B=e,p

(a,J3eJ),E=\+ah由4B、E共線得

B-Anncos4-zsmB-CQsa-zsintz

G_,即——------------------；---------eJ

E-A1+az-cosa-zsina

解得,=sina-sin乃-sin(a—尸)=____2____

cosa-cos/?cot￡+cot^

22

令M=4?，N=Z,/:

由力、a時共線得上yw口,即

M—(

空生"口，解得

4+1+4"，

aB

cot+cot

sina_1

4=22

a(\+cosa)-sina^a_ap

aQCQcot-cot

2~22

Pa

cot—+cot—

同理4=―J--------叁，故M+N=0,IMI=IAZI,即0N=0M

~pao

cot—一cot

22

第三十四題:

如圖，四邊形力以7）中，BC=CD,NAC4=21。，ACAD=39°,ZCDA=78°,求

N/MC的度數。

解：作△4BD的外心0,則由右C=CD,0心=OD知

△C6g△CD0,

易知NACD=84°得NCD8=48°，ZBC0=^°,

ZBDA=30°

ZB0A=60°,△3。4是等邊三角形，

ZACO=ZBC0~ZBCA=21°,

4C平分N6c0,XAB=AO

.??△4BCgZV70C（否則NZM0>60°）,

ZBDA=SO°O

第三十五題:

如圖，四邊形48CD中，AD=CD,ABAC10°,ZABD=50。，ZACD=20%求

NCBD的度數。

解：作△472的外心0,由NBD4=

30°得N80D=6()°,/\B()D是等邊

三角形，

ZOBJ=10°,又N64C=10°/?

AOB//AC,又AD=DC,D0=UB知

△D^O^ABBC,

4O6C是等腰梯形，ABCA=AOAC=D

20°,ZCBD=160°—60°=100°

第三十六題:

如圖，BD=CE,G、H為BC、DE中點,AB=.

求證：AFHGH

證明：將平移至△/LMN,7是中點，1\

Q、R、S分別是CD、BE、EM.DN中點，則四邊形

ABMF.ACNF.AGTF.6CNM都是平行四邊形。

易得LFMD出AFNE,MD=NE

PHI-CE^GQ,PGI-BDLHQ

又BD=CE得四邊形PHQG是菱形，PQLGH

同理SB1TIL

PS1-CNA-BM=QR,PO//SR,

~2~2

，T在GH上，又GT〃AF

：.AF//GHO

第三十七題:

如圖，在正方形/ACQ中，有任意四點￡'、F、G、H,且以'=4、GH=3,四邊形

EGFH的面積為5,求正方形ABCD的面積。

解：如圖，作BM//EF交4D于M,AN//GII

交CD于N,則BM=EF,AN=GH

易知四邊形EGFH的面積等于四邊形

力△的面積

設DN=b,正方形邊長為工，則

7x2+a~=4

>Jx2+b2=3

解得一=一。即正方形ABCD的面積是一。

55

B

x

第三十八題:

已知2NC=34,2BC'=AB,求44。

解：N力=30°o/8=60°,ZC=90°顯然符合已知條件。

由2BC=/B,則C點在4為圓心，-AB為半徑的圓上

2

ZC=90°有C在以為直徑的圓O上

取圓3上異于C的點，

若點在圓。內部（如點Q）,則ND>90°,ZABD<60°,2ND>3//R）不合題意;

若點在圓O外部（如點E）,則NEV90°,ZABE>6Q°,2/EV3N4BE不合題意。

故只有/力=30°。

第三十九題:

在A45C中，/4BC=46°,。是5c邊上一點，DC=AB,4X48=21。，求NC。

解：如圖，做平行四邊形R石ED,

ZEDC=ZBAC=^6°,

ZBDC=460+21°=67°

DE=AB=DC,：.ZD€E=61°

BECD是等腰梯形

ZBCD=ZEDC=46°

即NC=46°o

AD

第四十題:

在A48「中，AB=AC,。為3r邊上一點，E為AD上一點、,且滿足N〃ED=2NC￡D

=NB/C,求證：BD=2CDo

證明：在BE上作BF'=AE,過廠作FG//AD與NBED

的平分線交于點G,交6D于H。

由N8ED=N&/C,得N/1BE=NC/ZE,XAB=AC

△ABFm/\CAE,Z.AFE=ZCED,

ZBED=2ZCED,AAFE=ZFAE,AE=FE

故F是跳:中點。EG平分N3ED,ZGED=/FAE

：.EG//AF,四邊形AFGE是平行四邊形。EG=力尸=CE,

「?△C/E四△GNE。

.?.力D平分GC,又FG〃AD,D是HC中點。

又尸是班中點，得〃是8D中點。故6D=2DG

G

第四十一題:

己知，尸。是正方形和正方形ZKFG上的點尸、r的連線，點H是改'的中點,

連接EH、DH。求證：EH=DH且EH±DH。

E

AD

BC

同二十六題

第四十二題:

己知：^CAJ)=ZDAB=\00,N('8/)=40。，N/)BA=20°,求證：Z('D/i=70°

簡證：作點/關于直線及)對稱點O,則名△3)4,ZADB=150°

△/on是等邊三角形，ZOBD=20°,ZDO/i=10°,N08C=40°-20°=20°

以O為圓心”/為半徑的圓。與直線〃C交于點C,

由NC//n=10°,得NDOC'=20°,NBOC'=10°

.?.△no8g△(:'OB,NOBC'=NOBD=20°=NOBC

所以C與C'重合。BC=BD,NCDB=70°?

第四十三題:

如圖，E、△'分別是圓內接四邊形4）臺（’的

對角線如？、CD的中點，若

乙DEB=NCEB。

求證：ZAFD=/LBFD

證明：延長CE交圓。于G點，

由已知得0E_L，/3,

NDEB=NCEB

OZDEO=ZGEO

?！鱀OEgAGOE

<=>NEDO=NEGO=NECO

=1)、E、0、，四點共圓

OZD€B=ZD0B=~(ZBOE-ZDOE)

=；(NHOE-NDOE)=5(N“O1)-2N

D()E)=1(2ZACD-2ZDOE)=ZACD-N

1)CE=NdCE

sinZ/XWsinZACE

=N，CD=/BCE=（易證）

sinZACD~sinZBCE

02=g=BDAC=ADBC

ADAC

同理ON月FD=NBFD。

第四十四題:

已知：AB=AC,ZADB=60°,ZBCE=30。o求證：BA=BE

證明：作點￡關于石C對稱點凡則

△ECF是等邊三角形，又N月1)4=60°

D、C、F四點共圓,

ZECD=ZEFD,NFDB=60°

ZBAC=1800-2AACB

=180°—2(ZECD+so°)

=180°-(ZEFD+ZECD+6O0)

=180°-ZEFD-^DCF=180°-Z/

EFD-ZBEF=180°-NBFDB、

：.A.D、F、上四點共圓，

ZAFB=ZADB=60°,NB4B=Z

FDB=6()°

/XABF是等邊三角形，BA=BF=BE.

第四十五題：

已知：直角三角形4?，，乙4為直角，/為內心，BD、《支分別為兩內角平分線。MI3C

的面積為S。求四邊形BCDE的面積。

A

BZ

解：設△功C三邊分別為〃、/)、C,其中/=加+C2o

SDie_SB1E_"S_D1EDI-E1

⑻

SRIC~nrSB,c~CI'ScBI.CI'

DI_E1

「DI-EIc

D，OItlL-一,

JDie一'JBIE-Q'D,iBICI

DiCDbEIHEc

CD=—,BE=—,

^7~CB~7+C'Cl~^C~a7b

a+ca+Z>

>chC\c

SDie+SRIE+So/E=~—i------------1-----------------------LS

\-ca+ba+ca+b)

b2+c2+ab+ac+bc、a、ab+ac+bc「

---------------------------------------3=,iS—3

(6/+c)(a+b)a+ah+ac+bc

二四邊形BCDE的面積為28。

第四十六題:

AB=AC